《百分数的意义和写法》是人教版小学数学第十一册第五单元百分数中较为重要的教学内容。它是在学生学过整数、小数，特别是分数的概念和应用题的基础上进行教学的。百分数的意义和写法，是这部分内容的基础，学生只有理解了百分数的意义，才能正确地运用它解决实际问题。
2、学生分析
对于百分数，学生在生活中已有一定的经验积累，如何激活学生的相关经验，适时进行数学化，让学生完成百分数意义的建构，是本课教学的关键。
3、教学目标
(1)知识与技能：使学生理解百分数的意义，掌握百分数的读、写法，应用百分数解决简单的实际问题。
(2)过程与方法：通过观察思考、比较分析、综合概括，经历百分数意义的探索过程，让学生主动参与，学会交流讨论。
(3)情感、态度、价值观：结合相关信息，让学生体会百分数与生活的密切联系。
4、重点、难点：借助生活经验，通过生活实例来理解百分数的意义。
二、说教法
《数学课程标准》强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供充分的从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识、数学思想和方法，同时获得广泛的数学活动经验。本节课我在教学中主要体现以下的教学方法:
1、选择与学生生活背景有关的情境导入新课,为学生发现数学问题、探索数学问题提供丰富、生动、有趣的资源。新课开始,联系学生生活的具体实例引出百分数,再让学生试着找出日常生活见到的百分数,使学生感受到数学与日常生活的密切联系,感悟到数学来源于生活,生活中处处有数学。
2、自主探究、合作讨论、引导学生积极思维,体现学生的主体作用。这节课主要通过几条信息让学生探索、发现规律,进而概括百分数的意义。然后让学生自学课本,理解百分数的读、写法,发挥教科书的示范作用。最后让学生分组讨论分数与百分数的区别,进一步深化百分数的意义。这样教学循序渐进,不仅使学生获得知识与技能,同时关注学生的数学思考、解决问题、情感态度与价值观。
三、说学法
1、通过学生自主探索、独立学习、合作交流，逐步理解百分数的意义，培养学生初步的概括能力和自学能力。
2、利用所学的知识去探索解决实际问题，培养学生运用知识的能力、分析解决问题的能力和初步的创新能力。
四、说教学流程
(一)创设生活情境，初步理解百分数
给学生一段含有百分数的信息:期末考试，我们班的数学成绩情况如下：得优的学生占65%，得良的学生占25%，及格的学生占10%。
师：在这条信息中出现了一种我们没有学过的数，你们知道这是什么数吗?并让学生试着说一说，是怎样理解这里的百分数的?在生活中你见过百分数吗?说一说自己收集到的信息。
(二)自主探究,解决问题。
1、百分数的意义
(1)出示两条信息：①长城干红葡萄酒的酒精度是
11%;②五粮液酒的酒精度是39%。问:喝同样多的长城干红葡萄酒和五粮液酒,哪个容易醉?为什么?
(2)出示信息:某小学六年级的100名学生中有三好学生17人,五年级的200名学生中有三好学生30人。提问学生哪个年级的三好学生人数占的比率大。学生通过计算，比较，得出六年级三好学生人数占的比率比五年级大。
(3)概括百分数的意义。
2、自学百分数的读、写法
分三个层次学习：(1)、学生先自由看书;(2)、指名学生汇报百分数的写法，老师要重点指导百分号的写法，做示范;(3)、汇报百分数的读法,学生容易把分母100的分数的读法与百分数的读法混淆，要指出两者的区别，并出示不同的百分数让学生读
3、探究百分数与分数有什么区别和联系
师提供信息，下列三句话中的分数，哪些可以改成百分数?哪些不能?
(1)修了一条路的3/5。(2)杨树的棵数是松树的1/4。(3)一根绳长5/8米。
学生在做出判断后，组织学生讨论百分数和分数有什么区别和联系，并小结。
(三)拓展延伸,深化提高
1、先读出下列百分数，再用合适的百分数填空。
100%2%120%90%10%
(1)小汽车的速度是卡车速度的()
(2)今天来这上课的同学占全班同学的()
(3)由于这次测验，同学们准备很充分，不及格人数只占总人数的()
(4)去年植树节，我班植树中，成活的棵数占总棵数的()，死亡的棵数占总棵数的()。
2、出示信息:(1)我国的耕地面积约占世界的7%。(2)我国的人口占世界的22%。
看了这两条信息,你想到什么?
笔者听过多节五年级“分数的意义”的课，有常态课，也有观摩课，尽管这些课上教师行为、学生课堂表现有较大差别，但是他们的课堂教学结构却大同小异。笔者新近对某小学五年级数学教师的教学计划决策和课堂交互决策作质性研究，以其中的一节“分数的意义”为例，该教师的课堂情况可以大致归纳如下：学生动手操作学具用语言（或具体分数）表示结果。即在课堂上，每个学生都有一副学具，有糖果、棋子、圆形纸片和方形纸片等。学生任意“操作”一个分数，教师再抽查学生用语言表述自己分物的过程和具体分数，比如“我有八个棋子，把它们平均分成4份，其中的1份占这个整体的四之一，用表示。”
类似这样的教学过程可以图示如下：
图1 “分数的意义”现实教学过程图
在课前和课后的及时访谈中我们了解到，教师之所以作出这样的教学决策主要基于对教材的认识和解读。教材（人教版）提供了四条信息（图2）：（1）言语“你能举例说明的含义吗？”（2）圆纸片、方纸片和线段图；（3）香蕉和面包，并附“每根是这把香蕉的”“每份是这盘面包的”的示范语言；（4）分数意义和单位“1”含义的描述语言。教师由信息（1）（3）（4）决策课堂活动的主要形式是学生动手操作并言语表述；由信息（2）和（3）决策学生的操作活动是“分实物”。也就是说，教师从上述信息中作出了两个推理和决策，一是视纸片和面包为起到等同作用的实物；二是视言语表述为分数意义学习的唯一路径。于是，便产生了图1所示的教学过程。
基于这种现实教学中并不鲜见的现象，通过对教材资源进行深度挖掘，并对信息的意义及信息之间的关系进行深度剖析，我们不禁要追问：纸片与面包完全等同吗？分数意义学习只有“分实物言语表述”的单一走向吗？
二、分数意义教学中的纸片：由实物走向模式
对问题“纸片与面包是否完全等同”，在了解关于分数及其意义的一些基本原理后便可明确作答。
（一）表达“部分与整体关系”意义的模式
我们知道，分数的重要意义之一就是表示了“部分与整体的关系”，这个看似简单的命题，我们的孩子实际上很难达成认识和理解。除了分数本身比较抽象外，更主要的原因在于教师没有明确引导学生建立一些能更形象、更全面说明分数意义的模式。
关于“部分与整体关系”意义的模式有四个渠道可以建立：范围、长度、集合和面积。范围模式对儿童来说是最具体也最容易操作的，整体（单位“1”）是一个范围，而部分是大小与形状的叠合。教师们通常采用这个模式进行分数学习的后续讲解，教师们最常用到的范围模式有圆形和矩形，其实三角形也是一个不错的选择：
图3 “部分与整体关系”之范围模式图例
但是，它们各自有些特点需要注意。圆形模式便于儿童发现整体却对部分较难理解，矩形模式易于儿童理解部分却难于理解整体，而三角形模式两方面都比较困难。
集合模式则用一个集合作为整体，如图4所示：
图4 “部分与整体关系”之集合模式图例
集合模式对于儿童理解分数有一定困难，因为他们连分实物都会产生一些困难，何况这种抽象的模式。不过，教师可以通过操作实物渗透集合均分的思想，也可以渗透一个整体中可以包含不同类别的物体的意义，比如教师可以在提供的学具中既包含糖果，也包含棋子。需要注意的是，即使教师不准备这样做，自己也应该很清楚这一点，因为教师对分数意义全面、完整的理解对学生建构分数的意义具有重要作用。
线段图属于长度模式，小学生比较熟悉，也比较容易理解。面积模式包含了范围模式所涉及的情况，这个模式适合于较大儿童（四年级及其以上），图5可以帮助孩子更好地理解这类模式。
图5 “部分与整体关系”之面积模式图例
由上可知，分数表达了“部分与整体的关系”，而范围、长度、集合和面积则把这种关系和意义模式化，使孩子们对分数意义的理解更直观、渐进和全面。进一步地，如果能够意识、找到并恰当运用这些模式，我们的教学也许会更有效。
(二)教材中具有“模式”功能的信息源
那么，教材中是哪些信息在提示我们要构建并运用模式作为学生认识和理解分数意义的桥梁呢?
我们回到图2，结合上述的分析便不难理解，教材中呈现的线段图、圆纸片和方纸片，特别是纸片，除了是实物外，更重要的是兼具了“模式”的功能。线段图属于长度模式，圆纸片和方纸片既属于范围模式也属于面积模式。如此的话，教材中的信息源除了“分实物”“言语表述”和“符号”外，又多了一个元素，即“模式”。
相对于以往对教材中纸片的认识，通过今天的讨论，纸片便“返璞归真”，兼具实物与模式的功能，其中，模式的功能似乎更富含教学的意蕴。通过对“分数的意义”教材的重新解读，纸片实现了由实物走向模式的角色转换，并将因此给“分数的意义”的教学带来新的生机和活力。
三、构建“模式主导，双向多维”的教学结构
(一)模式的核心地位
在教材所呈现的四个元素，即实物、模式、言语和符号中，模式是联结其余三个元素的桥梁。
首先，纸片是面包、香蕉等实物平均分的模式化。模式是实物操作的数学转化，从实物走向模式是学生经历数学思维抽象、归纳并建立逻辑关系结构的过程，是数学化的过程，即模式化的过程就是数学化的过程。弗赖登塔尔说“没有数学化就没有数学”，真正的数学知识应当是关于抽象的数学对象的研究，而并非对于真实事物或现象量性属性的直接研究。所谓数学是模式的科学，由实物操作走向模式走出了数学味。
其次，模式与符号和言语之间分别建立了双向逻辑关系，即模式?圮符号、模式?圮言语、符号?圮言语(经模式表象)。这样的关系可图示如下：
在上述图形中，模式元处于中心地位。模式由实物操作数学化而来，形成“分数意义”抽象的研究对象，并为分数意义的学习提供直观材料和意义建构的载体。例如，平均分香蕉为4份(实物操作)，将该过程模式化为平均分成4份的长方形纸片，该模式与符号、言语“把香蕉平均分成4份，其中的一份是整体的四分之一”形成双向逻辑关系，而符号与言语之间经由长方形纸片模式建立了双向逻辑关系。这里提到的双向逻辑关系在后面的探讨中，将更详细地予以解释。
据此，通过分析教材、提取信息解读信息背后的含义建构信息之间的关系等步骤，纸片的“模式”功能在上述关系图中的核心地位凸显出来，它不仅能使分数意义的教学活动的数学味更加显现，也能使该教学过程显得立体多元。
(二)“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义
如果把上面对模式、符号、言语、实物之间的关系的分析和探讨相应地进行教学过程化，那么，“模式主导，双向多维”的教学结构便水到渠成。如图6：
图6“分数意义”之“模式主导，双向多维”教学结构示意图
把这样的双向关系转化为相应的分数意义的学习活动，则至少有六种路径：
(1)由模式写符号；(2)由符号选模式；(3)根据符号进行言语表述(借助模式表象)；(4)由表述写符号(借助模式表象)；(5)根据模式进行言语表达分实物的过程(结合符号)；(6)言语表达分实物过程后再选模式或画模式。
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其中，(1)与(2)，(3)与(4)，(5)与(6)，是三组互逆的学习过程，能够培养学生的逆向思维，进而使传统教育中所忽视的发散思维能力得到很好的培养，从而促进学生创造性思维的养成。而实物操作到模式的数学化过程则是分数意义学习的逻辑起点。
以上解析了分数意义的学习过程，对于教师而言，“模式主导，双向多维”教学结构的操作要义如下。
要义一：(1)创设情境，引导学生经历由实物操作走向模式的数学化过程；(2)给模式写符号，同时给符号选模式；(3)借助模式表象，给符号进行言语表述，同时给表述写符号；(4)给模式，儿童言语表达分实物的过程，同时儿童言语表达分实物的过程后再选模式或画模式。
要义二：(1)分实物后引导学生经历实物操作到模式的数学化过程，然后写出分数符号；同时，先给出符号由学生选模式，然后再表述分实物的过程；(2)给符号后要求学生言语表达(或画)模式，再依此描述分实物的过程；同时，言语表述模式后，描述分实物的过程，再写出符号。
前者将实物操作到模式的数学化过程相对独立化，后者则将该过程糅合于各个双向的逻辑关系之中。
(三)两种教学结构的比较
图1和图6分别基于教学现实和理论分析勾勒出两类小学五年级“分数的意义”的教学结构，即“分数的意义”现实教学过程和“模式主导，双向多维”的教学过程。前者呈现断裂性和单向性的特点，学生学习分数意义的活动断裂进行(分实物言语表述符号或分实物言语表述分物过程)，跨越了“实物到模式”的数学化的过程，并构建了“实物到言语”的单向学习活动，使整个学习活动显得单一和断裂，不利于学生全面、深刻地理解分数的意义，不利于学生体悟和积累数学化的数学经验，其根本是不利于学生数学思维的发展。逆向思维是发散思维的一种重要形式，发散思维又是创造性思维的基础。所以归根结底是不利于学生创造性思维的培养。
后者呈现多维性和双向性的特点，模式元素是整个结构的核心，各个元素之间的关系是双向互动的关系，从多个维度(实物模式?圮符号、实物模式?圮言语或实物模式、模式?圮符号?圮言语等维度)实现学生对分数意义的全面理解，有利于学生积累丰富的数学活动经验，更有利于学生数学思维、创造性思维的良好发展，为学生未来的数学学习生活注入活力。
调研中有教师说，在一次小学数学毕业会考中，有一道题目是要求学生根据给出的分数在给出的方格图中用阴影表示出来(即给出符号选择模式)，绝大多数学生没有做出来。这实际上就是在教学中没有注意到“模式主导，双向多维”的教学模式所致。
四、“模式主导，双向多维”教学结构的教学意义
我们归结分数意义的教学结构，并非仅仅追求外在教学形式的简单改变，意在深入挖掘其内蕴的教学意义，使教学形式的改变由内至外而发生，而非外力强加的、缺乏灵魂的生硬动作。
“模式主导，双向多维”的分数意义的教学，其内涵的意义至少有以下两点。(1)数学化是数学学习的逻辑起点。数学的研究对象是从现实事件中抽象出来的模式，而不是现实事件本身。从现实事件抽象出模式的过程，是数学化的过程。(2)数学学习过程是各路径双向互动、多路径融会贯通的有机整体。数学学习过程是多路径交错的动态过程，各路径相对独立，又整体关联，相互依存。独立的路径双向互动，并非单一走向；关联的路径融会贯通，以一定的模式相互整合，构成数学知识意义生成的有机载体。
小数是数的概念的重要扩展，其概念的形成有两条基本途径：一是通过分数“部分与整体”关系引入，二是利用整数的位值概念引入。
一、利用知识迁移学习小数概念，理解小数意义
首先，要把握小数认识中的两个阶段：小数的初步认识限制在元、角、分和测量的背景下，把它们作为一种生活原型初步认识，在这一阶段，《义务教育数学课程标准》规定要学习小数的读、写和一位小数的大小比较，不涉及小数的计数单位和数位；到第二阶段学习小数意义时，则是借助这些背景最终又脱离这些背景，从实际情境过渡到一般意义下对小数意义的认识，《义务教育数学课程标准》再次规定学习小数的比较大小和加减法，抽象出计数单位和数位，以及完善数位顺序表。两个阶段重点不同，呈现方式也不同，教材根据学生实际选择合适的方法，帮助学生理解小数的意义。
其次，建立整数、小数、分数之间的关系，利用知识迁移，进一步理解小数的意义。在数概念的建立过程中，整数、分数、小数之间有很多相似之处。小数与整数的计数方法是一样的，相邻两个单位的进率都是10，小数的计数方法是整数计数方法的扩展。小数和分数，主要是意义上的沟通，使学生主要理解小数是十进制分数，也就是一位小数就是十分之几，两位小数就是百分之几，三位小数就是千分之几。这样每相邻两个计数单位之间的进率都是10得到了全面的概括。看来利用十进制找到小数与整数、小数与十进制分数之间的关系，巧妙地进行知识迁移，会深化学生对小数意义的理解。
二、多角度，分层次，建立小数与整数、小数与十进制分数之间的联系，深化小数意义的理解
北师教材是用以下三个课时完成的。
首先，小数意义的第一课时先通过生活中的元、角、分直观模型（1.11元）和长度素材（1.11米），认识小数与十进制分数的关系，进而抽象到一般意义上小数与十进分数的关系，并找生活中的直观模型进一步交流，从而理解小数的意义。例如，在理解1.11元是什么意思时，我组织学生利用附页中的人民币图说一说：一张1元，一张1角，一个一分合起来就是1.11元；并且学生直观地看出1角就是1元的十分之一，可以写成0.1元；1分就是1元的百分之一，可以写成0.01元，很容易建立小数、整数和十进制分数间的联系。同样又从长度的角度认识了1.11米，从而理解1.11是由1个一，1个十分之一，1个百分之一组成的。
其次，在第二课时中结合测量长度、称重等活动，体会把较小的度量单位转化为较大的度量单位是产生小数的现实背景。而且根据小数的意义，逐步熟练会用小数表示长度、质量等常见的量。
最后，第三课时借助计数器介绍小数部分的数位名称及数位的相互关系，理解和掌握小数数位顺序表，认识小数各个数位的计数单位及其进率关系。同时知道小数末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变的性质。
总之，从直观模型―活动情境―抽象出小数数位顺序表，是逐层递进的三个课时，学生经历实物―平面图形―数线―数位顺序表的过程，使学生更加深刻地体会了小数的意义。
三、从具体到抽象，理解算理，探究算法，进一步深化对小数意义的理解
学习小数加减法，抓住其本质，即相同的计数单位相加减，使学生进一步深化对小数意义的理解。例如：《买菜》一课在理解1.25+2.41和3.66-1.25算理，探究其算法时，突出了从具体到抽象的过程。
方法一：结合学生熟知的人民币进行加减运算。首先，学生想到1.25元、2.41元就是1元2角5分和2元4角1分，再计算1元2角5分+2元4角1分=3元6角6分（即1元+2元=3元，2角+4角=6角，5分+1分=6分），最后把3元6角6分写成小数就是3.66元，抽象出相同计数单位相加的算理。
方法二：结合具体的面积模型图。1个一加2个一是3个一，2个十分之一加4个十分之一是6个十分之一，5个百分之一加1个百分之一是6个百分之一，故结果写成小数也是3.66元，非常直观地看出相同计数单位的数相加的算理。
方法三：借助数位顺序表，根据小数意义，对齐数位后，相加的结果也是3.66元。
方法四：个别学生还用125个0.01加241个0.01就是366个
0.01，也就是3.66元。
【教学构想】：
小数的意义是一节概念教学课，是在学习了“分数的初步认识”和“小数的初步认识”的基础上教学的，是学生系统学习小数的开始。
小数意义的探究和理解，是本节课的重点和难点，甚至是这单元教学的重点，直接关系到小数的性质、单名数和复名数相互改写等相关知识。本节课开始便指导学生认识一位、两位、三位小数，然后利用正方形、数轴、米尺、钱币等环节设计，花了大量的时间和精力去探究概括一位小数的意义，再利用学生的知识迁移能力，两位、三位小数的意义就水到渠成了，使学生经历了一个螺旋上升的小数概念的体验过程，逐步对知识进行了自我构建。再利用多媒体辅助教学，调动学生对小数计数单位的掌握，让学生感悟到小数的每相邻两个计数单位之间的进率是10。
【教学目标】：
1，知识与技能： 在学生初步认识分数和小数的基础上，使学生进一步理解小数的意义，认识小数的计数单位及相邻两个单位间的进率。
2，过程与方法： 在操作中使学生体会小数产生的必要性。通过观察、比较，以及自主探究建立小数与分数之间的联系。
3，情感态度和价值观： 在学生积极参与数学活动的过程中，渗透数形结合的数学思想，培养学生的抽象概括和迁移能力。
【教学重点】：理解小数的意义，理解小数的计数单位的进率。
【教学难点】：抽象概括理解小数的意义
【教学准备】：课件、练习纸
【教学过程】：
一、课前谈话：
师：孩子们，认识我吗?(课件出示我的个人资料)
个人资料
姓名
xxx
性别
女
工作单位
杨汛桥镇中心小学紫薇校区
身高
1.6米
体重
49.5千克
兴趣爱好
每天用1.5小时看书，用0.5小时运动。
师：请一个同学介绍一下老师。通过刚才这位同学的介绍，大家认识我了吗?大家可以叫我什么?刚才朱老师的个人资料中出现好些数字，大家认识吗?都是什么数?(小数)
【设计意图】：学生已有的知识和经验是重要的教学资源，在学生感兴趣的有关老师的资料中，提供了日常生活中的有关小数的信息，介绍时顺便复习了旧知，了解了学生的起点。
师：我知道我们三年级的时候已经初步认识了小数，对不对?观察我的个人资料中的四个小数，你能发现它们有什么共同点吗?(小数点后面都只有一个数字)在数学上我们把小数点后只有一个数字的小数叫做一位小数。
师：谁能报一个和这些特别不一样的小数呢?(引导学生报出两位小数)
师：还有不一样的吗?(三位小数)，当然还有四位小数、五位小数等等。
师：通过刚才大家的举例，我们已经把小数按数位分了类，接下来我们继续来研究小数。
【设计意图】：开始便将小数按小数位数分类好，为后面的教学活动学习各类小数的意义做好准备。
二、新授
1，学习一位小数的意义
(1)正方形中
师：今天我们从研究最小的一位小数0.1开始。(板书：0.1)看到0.1你想到什么数?(原创：《小数的意义》公开课教学设计)
师：为什么你会想到原创：《小数的意义》公开课教学设计呢?(把一个整体平均分成10份，取其中的1份就是它的原创：《小数的意义》公开课教学设计)
师：很好，我们学小数初步认识的时候知道(原创：《小数的意义》公开课教学设计=0.1)，他们的大小相等，那他们的意义相同吗?(?)
接下来动手画一画，假设练习纸上正方形的大小用“1”来表示，现在请同学们用最快的速度画一画，用阴影表示出0.1。(生独立完成，教师巡视并指导，学生作品展示，分别分析)
师：为什么这几个同学画的阴影部分都可以来表示0.1呢?
师：太棒了!还有谁也能像她一样表达?
生：因为他们都把这个正方形平均分成了十份，取了其中的一份画阴影，就是原创：《小数的意义》公开课教学设计，0.1表示十分之一。
师：说得真好，0.1就表示十分之一，十分之一就是0.1，他们的大小相等，意义也相同。
师：那空白部分表示是多少——(0.9)
师：为什么能用0.9来表示空白部分。(0.9表示十分之九。)
师：谁还想说——(0.9表示十分之九。)
【设计意图】：通过借助正方形分割为条这样的直观形式，数形结合，使学生直观地认识到0.1就是十分之一，初步感知一位小数与十分之几的关系。
(2)数轴中
师：老师这里有个图，谁上来指一下0.1在哪。(屏幕：一个有十个单位的数轴)
师：你说说理由为什么是这里?
师：谁告诉我0.9在哪里?你是怎么找到0.9的?0.9里面有几个0.1?
师：1里面有几个0.1。
师：数轴上还有其它的小数吗?(0.2、0.3、0.7、1.1、1.3 等等)
【设计意图】：利用数学中重要的数轴，再深层次体会一位小数与十分之几的关系。
(3) 生活中
师：同学们真的很聪明，那0.1加一个单位名称米，0.1米表示多少?(老师拿出了一米的米尺)(就是把一米平均分成十份，取其中的一份就是0.1米也就是1分米。)指一指
师：所以0.1米就表示十分之一米。(板书：0.1米就表示十分之一米)
师：现在我把0.9也加一个单位名称元，0.9元的意思是?9角
师：对，就是一元的十分之九。现在再给你们出一道题，1.3元，你们会拿1.3元吗?(先拿一元，再拿三角。)
课件出示三幅图，找一找与1.3元相对应的图。(1，3两幅)
师：这个1元相当于第一幅图中的什么?3角相当于什么?
那第三幅图呢?
师：你们真厉害，我们花了这么长时间来研究一位小数，谁能告诉我一位小数表示什么?(一位小数表示十分之几。)
【设计意图】：在一位小数后加上单位，将抽象的数学又添上生活的实际意义，使学生再次理解一位小数的意义，最后总结出一位小数表示十分之几。
2，学习两位小数的意义。
师：一位小数学完了，接下来我们学习两位小数。学两位小数以前送给你们一句话。(成功等于百分之一的灵感加百分之九十九的努力——爱因斯坦)大家读一遍这句话。
师：看到了小数了吗?(看到了)看到的数是?(百分之一，百分之九十九。)
你们看到的是分数，看到小数了吗?(百分之一就是0.01，百分之九十九就是0.99)
师：对，我们可以看到的分数可以表示为。(屏幕：0.01 0.99)请你在这两张正方形里画0.01你会选择哪一张?(屏幕一个画了竖线的正方形，一个是画满格子的正方形)为什么?
生：因为第二张有一百个格子，就是说这个正方形平均分成了一百份。表示起来方便，简单。
师：为什么不选第一幅呢?(它的格子没有一百，表示的是十分之几?)
师：好，我现在用红色的表示0.01，其它的用空白表示0.99。(屏幕：大正方形里一个红色的格子，九十九个空白的格子)这样表示你们同意吗?
师：现在请你们告诉灵感在哪一部分，努力又在哪一个部分。灵感是哪种颜色?努力又是哪种颜色?
师：从这里说明了努力很重要，那我们现在来努力一下。请你准备好课堂纸，快速准确地完成它。(1、先在()里任意写一个零点几几的两位小数，
(1)()米=()米 (2)选一张图用阴影部分表示出这个小数。
师：请你们自己给自己打分。我们刚才说一位数小数表示十分之几。(屏幕：一数小数表示十分之几)那两位数小数表示——百分之几。(板书：两位小数表示百分之几)
师：那你们知道最小的两位小数是什么吗?(0.01)
【设计意图】：学习了一位小数的意义后，明白一位小数表示十分之几，利用方法类推，学生探究出两位小数表示百分之几会相对容易。
3，学习三位小数的意义
师：依此类推，你们知道三位小数表示什么吗?(板书：三位小数表示())(三位小数表示千分之几。)
师：把1平均分成1000份其中的几分就是千分之几。那么0.001就是——，说说刚才举例中的三位小数的意义。
小练习，口答。
【设计意图】：通过直观认识一位小数、两位小数的意义，学生自然就会联想到三位小数表示的意义，使学生经历了知识的形成过程，学会了迁移。
4，学习小数计数单位的进率
师：最小的一位小数是0.1，两位小数是0.01，三位小数是0.001，四位小数是.....我们把0.1，0.01，0.001……叫做小数的计数单位，你能说清楚0.1，0.01，0.001之间的关系吗?
课件演示观察0.1，0.01，0.001之间的变化过程，沟通三个计数单位之间的联系。
每相邻两个计数单位之间的进率是10。
众所周知，数学概念本身有着严密的体系，且总是随着客观事物本身的发展变化和研究的深入不断地发展演变。学生对数学概念的认识，也需要随着数学学习的程度的提高，由浅入深，逐步深化。因此，教师必须处理好概念自身的连续性和学生学习的阶段性之间的矛盾，随着数学学习的深入，关注学生对同系概念含义的更新与重构，使概念趋于完善。然而现实中，教师往往比较注重概念的阶段性学习，而忽视了在后续教学中的关联、更新与重构，造成概念顺应上的“脱节”，使学习效果大打折扣。下面以“乘除法意义的发展”为例，通过列举学生在解决小数、分数乘除法问题时的常见错误，分析学生在学习乘除法意义时的思维过程，进而提出改进策略。
一、问卷引发的思考
笔者曾对五六年级学生作了一项问卷调查，了解学生对乘除法意义的掌握及相应的解决问题能力。为了便于比较，问卷以题组形式呈现：
题组1：
一种饼干的售价为每千克15元，3千克这样的饼干售价是多少？
一种饼干的售价为每千克15元，0.3千克这样的饼干售价是多少？
题组2：
2升桔汁的售价为8元，每升桔汁的售价是多少？
升桔汁的售价为4元，每升桔汁的售价是多少？
题组3：
某种农药2千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒6公顷麦地需要多少千克农药？
某种农药 千克加水稀释后可喷洒1公顷麦地，喷洒 公顷麦地需要多少千克农药？
应该说，这种以相同的数学结构出现的问题是很有暗示性的，且题目本身也相当基础，然而问卷结果却表现出了明显的差异：40位被测学生中，每项题组中的第一题综合正确率高达98.3%，而第二题的综合正确率仅为67.5%。这说明，学生对第一学段学习的乘除法问题掌握较好，进入第二学段却暴露出了明显的问题。具体看学生的错误类型，多是不知道该选择乘法还是除法来解决相应的问题，或是选择了除法，但不知将哪个数当被除数（如题组2第二题，很多学生用4× 或 ÷4来解决）。笔者以为，此类问题的存在固然可以从数量关系教学这一角度去分析，但这不应被等同于学生的实际思维过程，只有立足于学生已有的知识经验，探求已有经验对学生产生的影响及数域扩展后给学生带来的乘除法学习障碍，才能真正厘清学生的思维走向，进而对症下药。
二、分析与诠释
毫无疑问，在乘除法教学中，意义的教学是首要的。纵观整个小学阶段，乘除法意义实际上呈现不断发展的特点，这同时又可看成一个更为漫长的发展过程（如负数、无理数等概念引进后的扩展）中的一个环节。从宏观的角度看，二年级的乘除法意义学习阶段性十分明显，教师无疑会限于并强调“同数连加”的意义，这时学生所形成的内在表征就会有较大的局限性。特别是，由于学生在开始学习乘除法时所接触到的都是比较简单的情况，也即主要局限于正整数的乘除，从而就很容易形成以下的观念：“乘法总是使数变大，除法则总是使数变小；乘除法中各部分都是整数。”到了第二学段，数概念得到了进一步扩展，此时教师更多关注计算本身，对于乘除运算意义一般都只是寥寥数语带过，或简单地以“与整数乘除法意义相同”过场，而恰恰忽视了乘除运算意义在新数域的推广过程及所获得的新的含义，以乘法为例，增加了“已知整体求部分”，如“6的 是多少？”，相应的除法则是“求取整体”，即如“已知一个数的 是4，求这个数？”
显然，从这样的角度去分析，前面所提及的错误的发生也就不足为奇了，因为，这在很大程度上反映了这样的现实：第一组中，学生依据直觉意识到第二个问题的答案应小于15，进而，按照他们已建立的观念，乘法总是使数变大，而只有除法才能使数变小，因此，选择了除法；第二组中出现了分数，而学生头脑中的乘除法各部分应是整数，所以一下子就变得茫然，即便正确选择了除法，也不知该将哪个数放在前面；第三组第二题则是与学生之前建立的“同数连加”的乘法意义相冲突，因为这时分数的乘法显然已不能看成“重复的加法”，而是“求一个数的几分之几是多少”，因此就容易出错。
事实上，以上尽管通过分析学生思维找到了其错误的根源，但我们也应看到这种错误的“合理性”，站在学生的角度，他们不过是将仅仅适用于正整数乘除的某些“规律”错误地推广到了正有理数的情况，这当然应当被看成学生思维发展的一个必然过程。关键是，作为教师应清楚地认识学生在乘除法意义学习中的局限性和困难，采取适当的措施引导学生较为自觉地去实现对乘除法意义的必要的推广与更新。
三、小学阶段发展乘除法意义的策略研究
（一）丰富原型，加深对意义的多角度理解
格里尔在“作为情境模型的乘除法”一文中指出：为了使纯形式的推广在直观上能够被接受，必须辅以一些具体情境，在其中所说的推广可以被认为十分必要和完全合理的。对于乘除法意义本身而言，其内容是很枯燥的，但它植根于现实的沃土，意蕴丰富。在第二学段的教学中，我们仍应牢牢把握情境这条主线，实现乘除法意义的内涵发展。
在小学阶段，乘除法意义大致有以下几种：
（1）等量组的聚集。即通常所说的“连加”。在这一情境下，两个因数的地位并不相同，也就是过去所说的“每份数”、“份数”，从而，也就有两种不同的除法逆运算，即通常所说的“平均分”、“包含除”。
（2）倍数问题。
（3）配对问题。
（4）长方形的面积。
这几种原型在第一学段均已出现，但在学生头脑中的印象是浅显的、零散的，仅限于正整数，且并未形成对乘法意义的阶段性完整认识。随着学生数概念的发展，相应的乘法意义应与其相互促进。在教学中，教师仍应努力丰富学生头脑中的乘除法意义原型，提高其对意义的表征能力。
如在五上“小数乘法”单元，笔者设计了这样一道题：请用你喜欢的情境表达“1.3×5”的意义。
经过充分的思考、讨论、交流，学生中产生很多想法：有的编制了购物、长度、质量、面积等数学问题，有的画实物图或线段图，有的用文字或加法算式直接说明。作品很多，但均从不同角度反映了不同个体对乘法意义在小数域中的认识表征。此时，我不失时机地引导学生对作品进行归类，寻找异同，理解作品背后所表示的意义。学生在整理后发现：1.3×5既可以表示5个1.3（等量组的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍数问题），还可以用在面积计算中等。也正是在这样的交流共享中，学生原先停留在正整数领域中的乘法意义有了进一步的发展，在丰富的原型中体会到乘法意义在小数领域的本质推广与延伸。
（二）制造冲突，促进学生对概念的主动更新
建构主义认为，对于学生在概念学习中发生的错误不应单纯依靠正面的示范和反复练习去纠正，而应以引发主体内在的“观念冲突”为必要前提，使其经历“自我否定”的过程。高年级学生正处于形象思维向抽象思维发展的过渡阶段，已经具备一定的思考能力，如果教师只是简单地将乘除法意义“教”给学生，缺少学习主体的自我内化过程，那么概念的发展就如浮光掠影。因此，教师应创设能引发学生概念冲突的情境，引燃学生思维的火花，引导学生主动对先前的乘除法意义的认识作出必要的调整，将新的含义悦纳到已有的知识体系中。
以分数乘法的教学为例，一位教师在教学中出现这样一组情境：
（1）我的绳子长 米，小明的绳长是我的3倍，小明的绳子有多长？
（2）我的绳子长3米，小明的绳长是我的 ，小明的绳子有多长？
引导学生通过画图、讨论得出算式，反馈时，教师适时追问：都是 ×3，表示的意义相同吗？这就引发学生的思维冲突：如果说第一题可用“3个 ”解释，那么后一题显然不能，这题的意义又该怎样表述？这样，在对同一算式不同含义的挖掘中，学生很直接地感受到只用以前的“同数连加”的乘法意义已不足以解释分数乘法出现的新问题，产生了认知冲突，有了扩展新含义的需要。
在此基础上，教师及时引导学生对第二题的算式意义进行研究，注意其发展变化。并指出在引入分数以后，“倍”的概念发展了，既包含了原来的“整数倍”、“小数倍”，也包括了这节课所学的“一个数的几分之几是多少”。这样，学生经历了“冲突——建构——顺应”的学习过程，新概念的融入便不再是教师强加，而是主动的更新与顺应。
（三）提取本质，引导学生转换关注视角
前文的分析中曾提及，学生在数域扩展后，容易将在整数乘除法意义学习中的一些“规律”错误地推广到小数、分数乘除法学习中，繁杂的数据构成了学生在学习小数、分数乘除法中的一大障碍。面对新题目，学生往往更多地关注情境中所包含的数量，而不注意其中的文字内容，以及内容背后的运算意义。对此，教师不妨立足学生的思维方式，化繁为简，抓住本质，以此修正认识误区。
基于这样的思考，笔者在实践中进行了尝试。以分数的除法意义教学为例，教材在编排中已经考虑到了学生的学习困难，采用由整数乘除法改编数据后过渡到分数乘除法的方式，帮助学生理解“分数除法的意义与整数除法的意义相同”，即“分数除法是分数乘法的逆运算”。从表面上看，学生通过旧有知识已经促成了新知理解，而事实上，学生此时的理解仅仅是在特定题组中的，脱离题组这根“拐杖”，学生又会受到数据的干扰。因此，我紧接着出示了一组题，要求学生只列式不计算：
（1）把 平均分成2份，每份是多少？
（2） 里面有几个1/5？
（3）10是 的几倍？
（4）一个数的是 是8，这个数是多少？
（5）两个因数的积是 ，其中一个因数是 ，另一个因数是几？
可以发现，这组题虽然脱离了具体的情境，但都直指除法意义本身。在学生列式后，我追问：你是凭什么选择用除法计算的？是否用除法计算，与题目中的数据有关吗？这时，学生就会走出情境，思考题目背后的意义，思考自己选择的初衷。“分数除法的意义与整数除法相同”，但具体表现在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍数问题逆运算”、“已知部分求整体”等，这些都是除法意义在具体问题中的结构本原。学生知道了这一点，也就能避开数据产生的干扰，而更关注于问题本身的含义，将视角从“关注数据”转换到“关注意义”中来，进而，在面对复杂的情境、复杂的数据时，能以运算意义为依托，将问题简化。
综上所述，小学阶段乘除法意义的教学应着力在阶段性与发展性之间寻求平衡。换言之，对于任何数学概念的教学，教师都要立足于学生的思维状态，关注其对概念的不断更新、发展、重构，及时排除概念发展中的障碍，从而达成概念教学效果的最大化。
乘法意义的教学是小学数学的一个古老内容，在传统的乘法意义教学中，强调“几个几”，要求学生说出谁是“几个”和谁是“几”，即相同加数是多少，和相同加数的个数是几。好多教师为了学生能熟练掌握这“几个”和“几”，花费了大量的精力和时间。但是，“新课标”教学理念却淡化了“几个几”的严格要求，只要按照乘法交换律的意义，一个乘法算式怎么说明它的意义都可以，如“3×4”，既可以理解为“3个4”相加的和是多少？也可以理解为“4个3相加的和是多少？还可以是3的4倍是多少？和4的3倍是多少？”然而在实际教学中，我们会遇到类似这样的例子：教材在乘法初步认识和口诀的教学中应用的是新理念，但在很多例题中却沿用了旧的内容，这让很多老师们“迷糊”了，使不少奋战在一线的小学数学教师在乘法意义教学中就有了和我一样的困惑。
一、产生困惑的原因
我就自己教学实践的经验来反思新教材关于“乘法意义”简单化的思考。 “乘法意义”的改革在教学实践中产生了一些模棱两可的问题。例如：既然不再区分被乘数与乘数，也就不再区分相同加数与相同加数个数的位置，这样一来，“4×3”或“3×4”都可以用来表示“3个4”或“4个3”，那么整数乘法意义“求几个相同加数的和的简便运算”该怎么理解呢？再如：整数乘分数乘法“5×3/7”根据一个数乘分数的意义应该表示5的3/7是多少，但是根据整数乘法意义的延伸，完全可以理解为5个3/7相加是多少？或者是“3/7的5倍是多少？”我想5×3/7”与“3/7×5”这样的算式在表示意义上的不同。很多的教辅资料仍要求进行严格区分乘法意义。如：“填空5×3/7表示（5的3/7是多少？或者3/7的5倍是多少？或者5个3/7相加是多少？）”如果交换因数的位置来列式，列出来的算式又该如何理解呢？等等如此的问题很难解释清楚。
二、对困惑的初步分析
产生困惑的一个重要原因是对一些算式无法做出“合理”的解释。例如：“4×3”到底表示“4个3相加”还是表示“3个4相加”；“5×3/7”是表示“5的3/7是多少”还是也可以表示“5个3/7是多少”；“同学们去植树，每人植3棵，某班45人，共植多少棵树？”如果列式为“45×3或3×45”该如何理解等等。我认为出现这样的困惑很大程度上与教育改革的进程和新课程理念的落实有一定的关系。事实上，在九十年代，就已确定不再区分被乘数与乘数了。但是直到今天，很多地区仍在使用的人民教育出版社《九年义务教育六年制小学教科书》上，仍将小数乘法的意义与分数乘法的意义作为一个学习的重点与难点来安排，仍在强调“5×3/7”与“3/7×5”这样的算式在表示意义上的不同。很多的教辅资料仍要求进行严格区分乘法意义。如：“填空5×3/7表示（5的3/7是多少？或者3/7的5倍是多少？或者5个3/7相加是多少？）”。这样一来，就与新教材的乘法意义发生了一定程度的冲突，给仍在使用老教材的教师与学生造成了一定程度上的思维“混乱”。但是改革需要一段较长的时间，新课程理念的扎根需要一个漫长的转变过程。面对这样一个“转型”的阶段，我们更应深入地把握教材，深入地领会新课程理念。
三、用新的理念审视新教材中乘法意义，解决教学中的困惑
整数乘法意义是“求几个相同加数和的简便运算”这一提法在过去和今天的教材都是一样的。只是在形式上，新教材允许把“2+2+2+2+2”改写成“2×5”也可以写成“5×2”。反过来，也就是说“5×2”可以表示“2个5相加的和”也可以表示“5个2相加的和，或者是2的5倍”。这可以说是 “乘法意义”的一次突破，使我们对“乘法意义”的认识更接近其本质，因为“5×4”可以表示多种意义，新教材“乘法意义”不再是一个答案了，以前只有一种意义完全是人为规定。有了这样的规定我在教学中遇到的困惑就可以解决了。
四、乘法意义的阶段性与统一性解决教学中的困惑
“乘法意义”在不同阶段有不同的含义，并且可以用“向下兼容”来形容。首先，“几个”是“几倍”的特例。在整数乘法中，两者是等价的，这种思想可以让学生更容易认识“几倍”；当得不到整数倍时，就出现了小数倍，这时“几个”是“几倍”的一种特例，“乘法意义”也就开始了扩展。其次，“一个数的几分之几”也是“一个数的几倍”的特例。当不到1倍时，我们就习惯于说“几分之几”，而不说“几倍”，可见“几倍”和“几分之几”只是说法上的不同而已，本质上却是一样的。这种思想结合实例与直观能让学生更好地理解“一个数的几分之几”的含义进而对“乘法意义”进行有效扩展。在学习了百分数之后，“几倍”和“几分之几”都可以用百分数来表示，这样，“乘法意义”的不同表述的统一性又一次体现出来了。由此可见，“乘法意义”具有阶段性，同时也具有统一性，这也是必然的，因为都是“乘法”嘛！可是，我们过去的思想却一直停在一种不统一的状态，或人为分裂状态。从“单价×数量=总价”到“1倍数×几倍=几倍数”等各种各样数量关系式及相应各种各样的题型中，常碰到这样的实例。“乘法意义”可以说是一个十分基本的概念，老教材和新教材在处理上可以说是有很大的区别。从上述分析中，我们不难看到新教材的更加科学的一面和更加有利于培养创新思维的一面。愿各位同行能带着以上思想去审视新教材中的“乘法意义”，以领悟更加完美的“乘法意义”，也让学生用全新的“乘法意义”更好地掌握“乘除法应用题”（这里用“乘除法应用题”是因为本人看来“乘法”和“除法”本身就是相对统一的）。同时，我们也看到现行教材在分数乘法的意义等方面还有所保守，但愿新教材能更加开放些，让“乘法意义”走向“统一”，让我们对“乘法意义”的认识更加接近它的本质。
总而言之，新教材“乘法意义”的改动是符合新课程理念，符合学生进一步学习需要的正确之举。对于处于一线的我们，应整体把握改革进程，深入钻研新教材，持续学习新理念，这样才能在教学中，避免盲从，减少困惑。
参考文献
[1] 小学数学课程标准
[2] 小学数学课程标准解读（2011年版）
中图分类号：G623.5 文献标识码：C 文章号：1672-1578（2017）02-0170-01
1 小数乘法意义的教学
小数乘法主要可分为乘数为整数（小数的整数倍数）与乘数为小数（整数或小数的小数倍数）两类。前者可视为整数乘法经验的延伸，因此学生在运算符号的选择上比较容易。但后者由于不能以累单位量意义来解释，对学生而言比较缺乏类似经验，因而在学习上就产生问题了。由此，我们建议教师们应循序渐进帮助学生建立小数倍数的乘法意义，并通过很多的小数乘法经验协助学生掌握小数倍数的意义。
配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的差别。当学生能将小数倍数问题以乘法算式表示后，教师可配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的最大不同在于：前者以单位量为主向外累单位量，而后者是先将单位量向内十等分成更小的单位量再累小单位量。前后二者的差异如下图
题目：”哥哥有20 元，妹妹的钱是哥哥的3倍，妹妹有多少钱？”“哥哥有20 元，妹妹的钱是哥哥的0.3倍，妹妹有多少钱？”
由上图可充分说明乘以整数所得的乘积数会比被乘数大，而乘以纯小数所得的乘积数会比被乘数小。
有些教师认为学生已学了那么久的整数乘法，在判断小数乘法情境上应该没什么问题，所以甚少协助学生理解小数倍数应用题的题意。但试着协助学生理解题意的一些教师则又多教导学生：你只要把问题中的小数换成整数来想，如果是乘的，那就是用乘的这样的解题技巧。小数倍数意义的教学往往就这样被忽略掉了。由于无此部分的基础，等学生学了小数除法后就更分不清何时该用乘的，何时该用除的。当学生无法区分整数乘法与小数乘法的差别时，就极易产生疑惑，如认为乘法会使结果变大，除法会使结果变小。而此疑惑就会影响学生解应用题中运算符号的选择，预期结果变大就使用乘法而结果变小就使用除法。因此，纯小数倍数乘法意义的教学一定要小心处理喔！
在小数乘法意义的教学方面，教师可先明确指出有小数倍数的题目，通过整数倍数的引导，让学生熟悉小数倍数的意义。其次，配合对比整数乘法的线段图让学生了解乘以整数与乘以纯小数意义的差别。
2 小数乘法计算的教学
从学生的表现来看，学生学习小数乘法的困难有二：计算时该如何对齐，以及乘积数小数点该如何处理。由于小数加减法是对齐小数点后计算，而小数乘法是向右对齐后来计算，两者间的差异容易让学生感到困惑，因而混用。此外，在小数加法中，和数的小数点是与被加数和加数对齐；在小数减法中，差数的小数点也是与被被减数和减数对齐；并且小数乘以整数、整数乘以小数计算时，乘积数的小数点也是与被乘数或乘数对齐（如下图）。如再遇上教师仅仅教授乘积数的小数位数是被乘数与乘数小数位数的和的规则，却未让学生了解背后的原理，学生仅知其然而不知其所以然，虽暂时记忆了规则，但时间一久，所学得的一些规则便容易张冠李戴了。建议教师在教授相关课程时，除了加强学生乘法的计算能力之外，更应强化小数乘法的概念性知识，使学生了解乘积数的小数点位置与被乘数和乘数小数位数的关系。
由上述教学历程可以发现，教师应先复习整数乘法，等学生熟练后再进入小数乘法教学。而教师在导出乘积数小数点的处理原则后，也应多鼓励学生随时反思这个原则背后的原理，详见解法1-解法5。
知识的增长点就在将小数乘法看做整数乘法计算，然后弄清小数点位置移动的意义，对于小数点末尾的0应该去掉化成最小数即可，在小数乘法的教学过程中，牢牢地把握住这节课的重点和难点，促进学生们的数学能力的提升。
3 结语
在对学生放手之前，教师一点要有扎实的教学功底，对知识的把握不应停留在浅层次上，应当做到透析教材，抓住知识的增长点，进行精准的点拨。只有这样才能使我们的课堂充满活力，才能使学生更加聪慧灵敏，才能促进学生学习能力的提升和数学学习效率的提升。
参考文献：
[1] 陈日铭.小数乘法错例分析[J].读写算（小学高年级），2014年09期.
屏幕上显示：X S D Y Y （人教版四年级下册）。
师：这是五个汉语拼音的字头，猜猜看，什么内容？
师：你们这样会猜，真猜对了，真的是“小数的意义”。（课题由XSDYY变为：小数的意义）
师：如果老师没记错的话，我们三年级的时候，学过一些关于小数的知识，对吗？来看看（课件出示三年级教材：小数的初步认识），这就是我们三年级那篇课文的第一页，第七单元“小数的初步认识”，有印象吗？
师：今天我们就要在小数的初步认识的基础上，更进一步、更深入或者说更系统地学习小数的知识，那么这节课的课题，就叫做“小数的意义”。（板书课题）
【赏析】刘老师巧妙地用课题中每个文字的拼音第一个大写字母”XSDYY”来呈现数学课题，让学生猜要学的内容，引起悬念，激起学生极大的学习热情。课的最后又呼应前面，出现了“XSDYY（小数的意义）、XSDXZ（小数的性质）、XSDJJ（小数的加减）、XSDCC（小数的乘除）、XSDYY（小数的应用）”将小数所涉知识点的内在联系稍作介绍，体现一种大数学观思想。刘老师新课导入部分用的情境是学生三年级学的“小数的初步认识”主题图，再现学生学过的小数的知识，效果远好于让学生回忆。细微处，折射出刘老师以生为本的理念。
【教学片段2】
师：同学们，我们学小数，干嘛还要带上“意义”这两字呢？“意义”是什么意思呢？其实，我原来也不太清楚，特意为这节课查了查词典，就是这本现代汉语词典。
师：我们老师、大人常常用到《现代汉语词典》，它很厚，我在这本词典的第1618页找到了“意义”这个词条。大家看，“意义”有两个意思，一个是什么？（表示什么）还有一个呢？（价值）
师：表示什么，什么意思？就是小数究竟是什么意思，这个小数它代表的是什么呀，就这意思，明白吗？我写写。（板书：表示什么）
师：还有一个意思，叫“价值”，“价值”是什么意思？是说这个小数多少钱一斤呀？
师：很显然不是，那太荒唐了，如果是多少钱一斤的话，那就不是“小数”，而是“小米”或“小白菜”之类了。
师：那么小数的意义，这个“价值”是什么意思？有人知道吗？
师：有点意思，在生活中的价值就是说，我们为什么要学小数，学小数对工作学习有什么用处，有什么帮助，这就是小数的价值，也就是小数的意义。（板书：为什么）
师：所以小数的意义有两层意思――一为表示什么，二为为什么学习小数。
【赏析】当学生说不出“意义”的意思时，刘老师不是直接告诉学生，而是用课件呈现《现代汉语词典》，引导学生“用”词典，让学生知道它也是人们学习数学的工具。当学生知道“意义”的含义是表示“价值”时，刘老师又用通俗、幽默的语言进一步阐述，让学生明白什么是小数的“价值”。
【教学片段3】
课件出示一张正方体图，图下方标有：整数1。
师：这里有一个正方体，把它看做“整数1”。
课件出示：把正方体平均分成10份。
师：数一数，是不是平均分成10份。
师：这一份一份，都像什么呀！（面包片）
师：好，我们看其中的一片，能说出什么数？（ ）
师：真好！他说出了这节课的第一个小数。 用分数表示怎么表示？（十分之一）
师：真好！ 表示 。大家说一遍。（板书： 表示 ）
师：这 其实就是 的意义，很好，再看，（出示两份涂颜色）是什么数？
师：他很会学习，嘴里说“0？郾2表示 ”，眼睛却看着黑板，模仿“ 表示 ”来说，这就很好嘛。（师板书：0？郾2表示 ）不错，再接着看。（出示3份涂颜色的）
教师板书：0？郾3表示 。
师：同学们，是不是还可以写出一些呀！（在板书中添上省略号）还可以写出什么？（0？郾4表示 ，0？郾5表示 ）
师：对了，至少我们还可以说出九句这样的话。不说了，谁能用一句话说出这些小数表示什么？你看， 表示 ，0？郾2表示 ……用一句话来说，谁会说？（零点几表示十分之几）
师：多好啊，谁能再说一遍。
师：对极了，谢谢！请坐。这句话由于特别重要，所以我已经写好了（贴出）。全班同学读一遍。
师：真好！这是关于小数的意义中，一个很重要的基础知识――零点几就表示十分之几。很多同学在数学课上，特别关注自己学到哪些数学知识，这没问题，应该的。其实，我们好像更应该关注的是用什么方法或通过什么途径学到的这个知识，这个很重要，甚至说更重要。什么意思呢？刚才我们认识小数的意义，一句一句非常具体，你看， 表示什么，0？郾2表示什么……特别具体，后来我们用一句话概括出来，零点几表示十分之几，这个过程，人们把它叫做什么？我写写，“抽”什么，知道吗？（抽象）
师：哇，真了不起，果然是抽象呢！抽象是什么意思呢？就由几个具体的知识，然后通过抽象，得到一个概括性的认识。这个过程，就叫抽象。大家比较生疏，好像第一次遇到这个词，其实，我们从一年级到现在，从来没离开过抽象。比如，一年级学习1、2、3、4、5……看大屏幕，这张是一年级学习“10的认识”数学书上的一幅画，10个人，10只和平鸽，10个苹果……都可以用10表示，这个过程就是“抽象”。怎么样？抽象有用吗？难吗？
师：那好极了，那我们再抽一次。再抽的话，这个正方体就不能仅仅停留在平均分成10份的程度了，猜多少份？（100份）
师：四（7）班的同学真会猜！会这样有根据地猜，就是会学习。我写写――平均分成100份。正方体平均分成100份，看什么样子了，这一份一份的可不像面包片了，像什么？
师：像薯条吧，谁会说点什么？（0？郾01表示百分之一）
师：好了，不往下说了，也不往下写了，下面该干什么了？
师：真有抽象意识，谁会抽象出点什么呀？
生：零点零几就表示百分之几。
生：零点几几就表示百分之几。（师贴出）
师：好了，这个知识也是我们通过抽象得到的。怎么样，抽象有用吗？好玩吗？那再抽一回？
师：不抽了，老抽就平了。其实数学思想、数学方法很多，不仅仅有抽象，还有一个也很重要，我写写――推什么？（推理）
师：对了，推理，真棒！推理怎么回事呢？怎么用啊，是这样，你看，刚才我们得到两个重要的知识――零点几表示十分之几，零点几几表示百分之几，根据这两条，你能不能推导出、推测出一个新的结论？那下句话该怎么说，就那么的有道理？（零点几几几就表示千分之几）
师：对不对呀？鼓掌！真的应该鼓掌！读一遍。
师：真好！这个重要的结论是通过抽象得到的吗？（推理得出的）
认识负数的主要目的是为了拓宽学生对数的认识，激发进一步学习数学的愿望。在系统学习小数的意义和性质之前教学负数的认识，主要有两点考虑：第一，让学生联系认识整数的已有经验，着重在整数范围内初步认识负数，把注意力集中于体会量的相反意义，有利于降低学习难度，有利于建立较为合理的有关数的认知结构。第二，希望学生随着对小数和分数的进一步认识，逐步丰富对负数的感知，从而为第三学段理解有理数的意义以及进行有理数的运算打好基础。
一、创设情景，生活实例引入，观察猜想，合作探究
大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？
学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数（正整数）、分数和零（小数包括在分数之中），它们都是由于实际需要而产生的.
为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，……
为了表示半小时、四元八角七分、……，我们需用到分数1/2和小数4.87、……
为了表示“没有人”、“没有羊”、……我们要用到0.
但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示，那么如何来表示一些特殊的数呢？
二、师生共同研究形成正负数概念
某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃.要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚，它们是具有相反意义的两个量。现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多。例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的.又如，某仓库昨天运进货物吨，今天运出货物吨，“运进”和“运出”，其意义是相反的。同学们能举例子吗？学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃（读作正5℃）或5℃，把零下5℃记作-5℃（读作负5℃）。这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的数量明确地表示出来了。让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量：例如：低于海平面8844.43米，记作-8844.43米；低于海平面155米，记作-155米；运进华物1/2吨，记作1/2；运出货物1/2吨，记作-1/2。然后教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数，并对对学生进行情感教育，指出早在两千多年前，我国就有了正负数的概念。在三国时期的学者刘徽则首先给出了正负数的定义，他说：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们。刘徽第一次给出了正负区分正负数的方法。他用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数。我国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加。零减正数得负数，零减负数得正数。异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加。零加正数等于正数，零加负数等于负数。”这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是我国数学家杰出的贡献之一。讲完正负数的历史后，强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量.并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号
三、抽象、归纳正负数的意义
1、读一读
刚才我们用这些数来表示 零摄氏度 以上、以下的温度，也可以表示海平面以上、以下的高度，还能比赛得分情况。你能把它们读出来吗？
出示：+4，-4，40，+8844.43，-155，448，-280，+1200，-180，-85，-70，+1100，-560
2、分一分
同学们都会读了，那你能将这些数分分类吗？
①小组讨论，合作完成。
②汇报、总结（板书：正数负数）
③引导学生结合温度和海拔高度来总结正数和负数。
以0℃为分界线，0℃以上的温度用正数来表示，0℃以下的温度用负数来表示。同样，以海平面为基准，海平面以上高度的用正数来表示，海平面以下的深度用负数来表示。
3、写一写
你能自己写出一些你喜欢的正数和负数吗？
课后在与大家一起反思交流中，我细细品味，并思考着：如何让学生深刻理解、感悟百分数的意义？如何让学生掌握百分数和分数的区别？我认为课堂教学中，教师要引导学生切实感悟教学素材，让学生理解百分数的意义，并机智地拓展主题资源，丰富百分数的内涵，使学生积极主动、自然平实地理解和掌握知识。教师应该努力让数学活动散发自身的魅力，遵循学生渐进渐悟的数学认知活动规律，而不是为了获得结论突兀地设计学生的学习轨道。
基于以上认识，为了对这样的课堂状况做出实际性的回应，于是我有了重上这一课的冲动。
一、结合具体情境，理解百分数的意义
首先，让学生在仔细观察主题图的基础上，任意选择一个百分数说说它在自己心中表示的意义。然后在师生互动交流中引出百分数意义的范例，让学生在四人小组中再自由说说各百分数表示的意义。这样充分利用教材资源，让学生结合具体情境来个性化地解读百分数的意义，既便于学生理解，又印象深刻。而且，在四人小组内说说不同百分数的意义，有助于在同样的时间内，丰富学生了解的信息，提高课堂教学效率。这里，有一个细节教师要予以关注：在小组讨论交流前，经过师生的互动交流，学生有了表述百分数意义的范例，说起来就能把握知识的要义，防止学生小组交流时因失去正确的方向而以无果告终。而在原课堂教学中，教师在发给学生的练习纸上先提供了一个范例，然后让学生照样子填空，写出每个百分数表示的意义。因为教师人为地替学生设计好了统一的学习轨道，致使原本生动有趣的数学学习活动变得单调乏味、齐整划一。
二、联系现实生活，感悟百分数的意义
在理解主题图中各百分数的意义之后，让学生联系生活实际，举例生活中哪儿见到过百分数，这会是很多教师不约而同的设计。原课堂教学中也有学生举例的教学环节，主要目的是为了引出百分数，从而揭示课题，但它削弱了学生对百分数表示实际意义的理解。对学生自我收集的教材资源这样处理，显然使用效率不高，教学效果不好。于是，我做了以下调整：“昨天老师让大家收集自己生活中出现的百分数，现在你能给大家介绍一下吗？同时说说这个百分数在你心中表示的含义。”然后请3～4位学生发言，我随机和学生互动交流。课堂教学实践告诉我们，学生对百分数意义的感悟，因为有了自己收集的素材的加入，他（她）们对百分数意义的感悟更生活化、多元化了。也正因为有了这样的教学调整，数学交流从原来单调的举例变得内涵丰富，课堂教学于无形中充满了无限的张力和活力。
三、丰富概念内涵，拓展百分数的意义
前面提到，学生在四人小组内自由选择百分数说说它表示的意义后，进入集体反馈交流阶段。这时师生之间的反馈交流，教师不能局限于“就数论数”的解读上，不能停留在说得“对”与“错”、“好”与“不好”的评价上，不能束缚在原先百分数意义范例的方框中，而是要顺势而为，积极引导，层层推进，拓展百分数意义的内涵，利于学生对百分数意义全面、深刻的理解。通过这样的数学活动，基于对原教材的拓展解读，学生对百分数意义的理解变得更丰富、更灵动了。请看改进后的课堂教学实录。如下：
生1：图中的合格率为98%，表示合格的产品占这批产品的98%。
师：请你简单评价一下这批产品的质量情况。
生2：质量从整体上说还是不错的，当然还可以更好，因为还有不合格的产品。
师：那么，合格率100%又表示什么呢？
生3：表示合格的产品占这批产品的100%。
生4：也就是说，各个产品都合格。
师：如果合格率是105%呢？
生5：合格的产品占这批产品的105%。（有个别学生笑出声来，师当作不知）
师（指着其中一位笑的学生）：你为什么笑？
生6：合格率最多是100%，不可能超过100%。
师：为什么？
……
1.小学数学分数教学中存在的问题
在小学阶段的数学中，分数部分对以后学习数学非常重要，起到一个基石的作用。小学数学分数教学中主要存在以下几个问题：
（1）小学分数的知识点非常复杂，有许多的知识点组成，涉及的面很广。对于小学生来讲，由于分数涉及到许多的概念和思想，所以小学生对分数知识不能够很好的把握。小学生现在不能很好的把握好分数的知识点，则在数学以后的学习过程中会有许多相关的概念不能很好的把握。分数和整数之间存在许多不同之处，进而导致小学生学习分数困难。
（2）在我们生活中，相比于整数，我们用到分数的机会是很少，小学生比较容易接受整数，对于接受分道此稻筒荒敲慈菀琢恕S行┙淌Χ苑质的整体把握还不是很好，也就不能很好的教给学生分数的概念，进而导致学生只是会记课本上的公式，不能够真正的理解分数精华所在。根据上述原因可知，小学生学习数学分数困难的原因不仅有分数本身不好理解，还和数学教师对分数的把握程度及其教学方法有很大的关系。当然，这与小学生本身对数学分数的学习认真程度也有很大的关系。
2.对小学数学分数教学的一些建议
2.1 加强两种意义的教学。“分数的意义”是教学分数乘除法应用题的起点，“一个乘以分数的意义”是解答分数乘除法应用题的依据。“求一个数的几分之几”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的应用题，都是根据这个意义列出乘法算式或方程的。因此，要让学生切实理解和掌握“分数的意义”和“一个数乘以分数的意义”，是进行分数应用题教学的关键所在。
（1）强化分数意义。所谓“分数”就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。这个概念中有三个知识点：①单位“1”，把要平均分的任何事物看做一个整体，用单位“1”表示，又称整体“1”。②平均分，分数是建立在平均分的基础上的。③表示平均分的一份或几份的数才叫分数。因此，要强化分数意义的教学。重点训练学生说清分数意义这个概念中的三个重点。 例：说出下面每句话中分数表示的意义（1）五（1）班男生人数占全班人数的3/5。（3/5表示把全班人数看做整体，平均分成5份，其中的3 份是男生。）（2）实际比计划超产1/ 4。（1/4表示把计划产量看做一个整体平均分成4份，超产的是这样的1份。）
（2）强化一个数乘分数的意义：（能充分利用好数量关系）学好分数乘法意义，对学好分数应用题至关重要。例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。（就是求100的1/2 是多少？ 应注意当倍数不满1时，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示这样的1 份。） 一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。（（（就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示这样的3 份。）
这样就沟通了求一个数的几倍和求一个数的几分之几之间的联系，其实质是一样的，使学生感到新知不新，增强了学习的信心，也完成了整数乘法的意义向分数乘法意义的过渡。
