1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；
2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．
教学重点和难点
重点：分式约分的方法．
难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．
教学过程设计
一、导入新课
问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？
答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
本性质．
问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？
答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．
二、新课
我们观察：
(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．
(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．
像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．
把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．
为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？
答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．
指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．
例2约分：
分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．
请同学说出解题思路．
答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．
当x=45时，
请同学概括分式约分的步骤．
答：
1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．
2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．
请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？
答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．
三、课堂练习
1．约分：
2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．
四、小结
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．
如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．
分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如
x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
五、作业
1．约分：
2．约分：
3．先约分，再求值：
课堂教学设计说明
1．使学生明确分式的约分概念和理论依据，掌握约分方法；
2．通过与分数的约分作比较，学习分式的约分，渗透“类比”的思想方法．
教学重点和难点
重点：分式约分的方法．
难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化．
教学过程设计
一、导入新课
问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？
答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
本性质．
问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？
答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分．
二、新课
我们观察：
(1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式．
(2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的．
像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．即把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式．
把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．
为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？
答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．
指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．
例2约分：
分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．
请同学说出解题思路．
答：分式的分子、分母都是多项式，可以先分别因式分解，约分，把分式化为最简分式，再求值．
当x=45时，
请同学概括分式约分的步骤．
答：
1．如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂．
2．如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
3．当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边．
请同学思考一个问题：将分式约分时，约去分式中的分子与分母的公因式，为什么分式的值不变？
答：因为所给的分式都是有意义的，也就是说，分母的值不等于零．而分式的分子与分母的公因式一定是分式的分母的一个因式，根据分式的基本性质，约分后分式的值不变．
三、课堂练习
1．约分：
2．指出下列分式运算中的错误，并把它改正．
四、小结
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．
分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．
如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．
分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如
x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．
五、作业
1．约分：
2．约分：
3．先约分，再求值：
课堂教学设计说明
教学目的：使学生学会进行应用乘法分配律简便计算，提高学生的逻辑思维能力。
教学难点：应用乘法分配律简便计算
教具准备：将复习中的题目写在小黑板上。
教学过程：
一、复习
教师出示/tk/Index.html>试题：
1．（35+65）×372．35×37+65×37
3．85×（174+26）4．85×174+85×26
5．（80+8）×256．80×25+8×25
7．32×（200+3）8．32×200+32×3
“根据乘法分配律，都有哪些算式可以用等号连接起来？为什么？”
教师：根据乘法分配律，第1个算式和第2个算练功的得数应该一样，第3个算式和第4个算式的得数也应该一样。下面大家一起来计算。第1、2、3组的同学的第1题和第3题，第4、5、6组的同学第2题和第4题。大家抓紧时间做，比一比看哪几个组的同学算得快。
“哪几组的同学做的快？想一想，为什么第1、2、3组的大部分同学都那么快就算出了得数？”多让几个学生说一说。
教师：第1题和第3题中，两个数的和都是整百数，整百数乘以一个数当然是很方便的。而第2题和第4题都要先算出两个乘积再相加，比较麻烦。
教师：下面还有两组等式，大家再来计算一下，第1、2、3组做第5、7题，第4、5、6组做第6、8题。
“这次哪几组的同学做得快？想一想，这次为什么第4、5、6组的大部分同学都做得快了？”
教师：第6题和第8题分别乘得的两个积，都有整百数，计算比较方便。从上面的计算可以看出，应用乘法分配律可以使一些计算简便。
二、新课
1．教学例7
（1）教师出示例题：计算9×37+9×63。
教师：这道题是要计算两上乘积的和。
“仔细看一看这道题里的两上乘法计算中的因数有什么特点？”
（两个乘法计算有相同的因数9，另外两个因数是37和63，它们的和正好是100。）
“联系上面的复习题，想一想这道题怎样做才能使计算简便呢？“（先把37和63加起来，是100，再同9相乘，得900。）
“这是应用了什么运算定律？”
教师，这道题告诉我们，有些题可以应用乘法分配律使计算简便。再来看一看怎样的计算才能应用乘法分配律使计算简便呢？先让学生说一说。
教师概况，首先，要计算的是要两个乘积的和，两个乘法计算要有一个相同的因数；另外两个因数的和又是整百或是整十数，这样的计算我们就可以应用乘法分配律使计算简便。
（2）教师出示例题：102×43
教师：这道题是一个三位数乘以一个两位数，我们可以用笔算进行计算，但是比较麻烦。
“想一想，这道题怎样计算比较简便，使我们能够用口算就能算出得数呢？”（给学生留出思考时间。）
教师：从上面的复习题我们可以看出，如果两个加数分别要乘以一个数，而这两个加数中有一个整十数或整百数，就先把这两个加数分别乘以那个因数再相加比较简便。现在的题目是102乘以43，想一想，能不能把其中一个因数拆成两个数的和，并且使其中一个加数是整百、整十数？多让几个学生发言。教师肯定学生的回答后。
板书：102×43
=（100+2）×43
=100×43+2×43
=4386
“上面计算中的第二步根据是什么？”（乘法分配律）。
教师概括：两个数相乘，如果其中一个因数可以拆成两个数的和，并且其中一个加数是整百、整十数，这时应用乘法分配律可以使计算简便。
三、课堂练习
做练习十四的题目。
1．第3题，2．让学生口算。当计算101×57和45×102时，3．提问：“你是怎样做的？得多少？”
2、第4题，5．先让学生自己计算。核对时让学生回答。
“如果按运算顺序计算，应该先算什么？”
“怎样计算简便？根据是什么？”
第4小题，如果学生有困难，教题先把算式38×？=38。学生回答后教师把“38×？”中的“？”改为“1”。
“下面应该怎样算呢？”让每个学生先做在自己的练习本上，然后再请一个学生口述计算过程。
3、第7题，7．先让学生独立做，8．然后集体核对，9．核对的要让学生说一说是怎样做的。当核对“26×3”时，10．学生说出计算方法后，11．再让学生说一说计算过程。学生发言后，12．教师说明：26乘以3可以/ws/Index.html>写作（20+6）×3，13．根据乘法分配律等于20乘以3的积再加6乘以3的积，14．这实际上是应用了乘法分配律。这就是说，15．我们过去学过的乘法口算有些应用了乘法分配律。这道题中的第7小题应用乘法结合律比较简便，16．第4、6、8、9题应用乘法分配律比较简便。
4、第9题和第10题，18．先让学生独立做，19．核对时要让学生说出每个算式的意义。
5．提前做完的学生可以做第l9*题。当学生想出一种算法后，还要引导学生想一想其它的做法。这道题的做法有：（80—30）×110一30×110；
（80—30—30）×110；
《义务教育教科书·数学》（青岛版）六年制四年级下册第三单元信息窗三综合实践。
【教材简析】
本信息窗是在学生本课的教学内容是在学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，以及乘法分配律并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的，对提高学生的计算能力有着重要的作用。通过创设情景走进小花园，引导学生梳理信息并提出问题，进而展开乘法分配律（二）的学习。
【教学目标】
1.结合已有的知识经验和具体情境，通过探索并了解掌握乘法分配律二，能根据运算律，解决相关的实际问题。
2.在探究学习过程中，让学生经历计算、比较、发现和概括规律的学习活动，发展比较，抽象，概括的能力，学会自主学习和合作交流学习的方法，增强用符号表达数学规律的意识。
3.在合作交流中培养学生勇于探索，敢于质疑，敢于思考的理性精神，获得积极的情感体验，体会探究的乐趣。
【教学重点】经历发现规律的过程，掌握乘法分配律
【教学难点】掌握乘法分配律二并能进行简算,理解乘法分配律的意义。
【教学准备】探究单，多媒体课件
【教学过程】
一、创设情境，感知规律
课件出示教材中的情境图。
谈话:今天咱们再次走进小花园，从图中你知道了哪些数学信息？
预设1;芍药每行12棵，牡丹每行8棵，共9行。
预设2:芍药园长15米，牡丹园长10米，宽都是8米。
提问：你能提出一个减法问题吗？
预设1:芍药比牡丹多多少棵？
预设2:芍药的种植面积比牡丹多多少平方米？
【设计意图】从学生熟悉的情景入手，创设走进小花园情境图，通过熟悉的情景图，调动学生的兴趣，激起学生思维的火花，积极主动的进入到新知识的学习中，培养学生发现问题，提出问题的能力，为下面的教学提供了素材。
二、研究素材，猜测规律
（一）分析素材，初步感知
提问：你会求芍药比牡丹多多少棵吗？先独立思考后小组交流。
预设1:先求芍药和牡丹分别有多少棵，再求芍药比牡丹多少少棵，列式为12×9－8×9，也就是先算12个9和8个9是多少，再把它们相减。
预设2：先求芍药比牡丹每行少多少棵，再乘行数求出芍药比牡丹少多少棵，列式为（12－8）×9，也就是求4个9是多少。
提问：比较这两种算法，你有什么发现？
预设1：得数相等，可以用=把两个算式相连，也就是12×9-8×9=（12-8）×9
预设2：都是求5个8是多少。
预设3：第一种方法比较简便。
（二）研究素材，发现规律
出示课件。
谈话：仔细观察以上各个算式，想一想他们与12×9-8×9=（12-8）×9有着怎样的联系？现在，小组合作，算一算两边的结果，比较两边的算式，是否相等？你发现了什么规律？
预设1:两边的算式相等。
预设2：两个数的差乘第三个数，等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减。
【设计意图】采取小组合作的学习方式，在合作过程中留给学生充足的自主探究时间，提高了学生自主学习的能力，让学生们畅所欲言，积极想办法找规律解决问题，帮助学生积累数学活动的经验，使学生在合作交流过程中体会数学的乐趣。
三、讨论交流，验证规律
谈话：这难道是一个规律吗?让我们一起验证一下吧！
预设：54×15-34×15=（54-34）×15
999×36-899×36＝（999-899）×36……
小结：因而我们可以说两个数的差乘第三个数等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减是一个规律。
提问:你能用字母表示这个规律吗？
预设1:(a-b)c=ac-bc
预设2:ac-bc=(a-b)c
提问：乘法分配律用字母怎么表示？
预设：（a+b）c=ac+bc
小结：两个数的差乘一个数也有类似乘法分配律那样的关系，也可以用于简便计算。
【设计意图】学生通过计算、比较、猜想、验证得出乘法分配率的规律，在探究的过程中学生能够充分观察、计算、比较，并获得正确的数学思想，进一步提高学生推理概括的能力，发展学生的推理能力。
四、反思回顾，提升方法
谈话:刚才我们通过计算两边的得数是否相同，接着通过比较猜想发现规律，再举例进行验证，最后得出了两个数的差乘第三个数等于把这两个数分别乘第三个数，再把积相减是一个规律。
【设计意图】通过小结，对知识进行梳理，让学生系统地所学知识形成知识树，内化数学思想方法，使学生在在掌握知识的同时，体验数学思想方法。
五、巩固拓展，应用规律
1.运用所学规律计算。
先独立思考，后全班交流并说一说是怎样做的。进一步加深对乘法分配律二的理解。
2
.运用规律解决生活中的实际问题。
通过解决购物问题，灵活运用乘法运算律。先独立解答，后全班交流，学会选择简便方法
3.
对乘法分配律二的延续巩固练习。
独立思考，后全班交流。引导学生总结运用乘法分配率进行简便计算的经验与方法
【设计意图】通过有层次练习不仅让学生进一步巩固了本节课的知识，更加体会到数学源于生活，让学生能自觉熟练的运用规律解决实际问题，内化数学思想方法，提升学生的数学思考能力以及数学素养。
六、反思回顾，总结提升
谈话：通过这一节课的学习，你有哪些收获？
预设1：学会了乘法分配律(二)能使计算简便。
预设2：学会了猜想验证总结的的数学方法方法。
预设3：我觉得生活中处处有数学。
》
肖毅
课型：新授课
教材分析：
乘法分配律是北师大版数学四年级上册第3单元第7课的内容，在学习本课以前，学生已经学习掌握了乘法交换律、结合律，并能初步应用这些定律进行一些简便计算的基础上进行学习的。乘法分配律是本单元的教学重点，也是本节课内容的难点，教材是按照分析题意、列式解答、讲述思路、观察比较、总结规律等层次进行的。然而乘法分配律又不是单一的乘法运算，还涉及到加法的运算，是学生学习的难点。本节课不仅使学生学会什么是乘法分配律，更要让学生经历探索规律的过程，进而培养学生的分析、推理、抽象、概括的思维能力。同时，学好乘法分配律是学生以后进行简便计算的前提和依据，对提高学生的计算能力有着重要的作用。
学情分析：
在课前我已经安排学生进行了前面学过的乘法交换律结合律的一些练习，通过练习，可以发现学生对于用字母表示规律的掌握是比较牢固的，而对于一些有规律的数字也只是进行简单的竖式计算，没有发现有些数字相乘之后积的特点，没有发现简算的意义。因此，教师要让学生在计算中体会出简算的必要和方便，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力方面得到进步和发展
教学目标：
1.知识技能目标：通过学习，自觉感悟、理解、归纳乘法分配律，知道运用乘法分配律可以对一些算式进行简便运算。
2.过程方法目标：在探索乘法分配律的过程中，学生的观察、推理、验证等能力得到提高。
3.情感态度价值观目标：让学生在数学活动中体会成功的快乐，使学生学习的兴趣和主动性得到提高。
教学重点：探索、归纳乘法分配律。
教学难点：乘法分配律的简单应用。
教学具准备：多媒体课件，实物展台，题纸等。
教学方法：讲授法、讨论法、发现法。
学习方法：探究学习法、合作学习法。
教学过程：
一．
情境导入，发现问题。
师：让我们再一次走进生活，解决生活中的数学问题。
〖教具演示〗课件出示主题图及问题：贴了多少瓷砖?
师：可以怎样计算呢？把你的算式写在纸上。
学生独立计算后交流汇报，实时板书
6×8＋4×8
＝（6＋4）×8
3×10＋5×10
＝
（3＋5）×10
师：哪两道算式关系比较密切？是否可以用等号连接？为什么？
〖设计意图〗从生活场景入手，利用格子理解分配律不同形式算式的
转化。
二．
引导探究，寻找规律。
（1）活动一，小组讨论找特征。
师：仔细观察，这些等式都有哪些共同特征？
小组讨论，巡视指导。
交流汇报，解释发现。
〖设计意图〗寻找等式的表面特征，一般规律。
（2）活动二。独立写等式。
师：选3个数，写出具有以上特征的一组等式。
学生活动，教师巡视。
交流汇报，解释等式。
师：如何证明左右两边的算式相等呢？
〖设计意图〗通过写等式，体会等式中的规律，思考等式成立的原因。
（3）活动三。用符号表示规律。
师：你能用字母，符号，或图画表示出这个等式吗？
学生试写，教师巡视。
交流汇报，学生评价。
师小结：大家写的这些等式，所反映的规律，就是乘法分配律。为了交流方便，我们通常用小写字母来表示它。
记作：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
〖设计意图〗体验从具体算式表示到抽象符号表示的过程，揭示乘法分配律。
三．课堂练习，深刻理解。
认识了乘法分配律，我来考考大家，有信心吗？
1.
（8＋9）×4
＝
8×4＋×4
4×18＋13×18
＝（4＋13）×
（7＋1）×3
＝
×3＋
抢答，并说出想法。
2.
左右两边的算式，哪些能用等号连接，哪些不能，为什么?
(64＋36)×7
64×7＋36×7
(38＋22)×7
38×7＋22
25×38＋45×38
(25＋45)×38
40×50＋50×90
40×(50＋90)
65×(20＋1)
65×20＋65
25×(17＋3)
25×17＋25×3
独立练习，指名回答，说明理由。
3.
（机动题）阅览室有两个书架，分别摆放着故事书和科技书。故事书每层20本，科技书每层15本，每个书架都有4层。
（1）故事书比科技书多多少本？
（2）还有一个书架摆放的是漫画书，同样4层，每层10本，
3个书架一共有多少本书？
〖设计意图〗通过有层次的练习，巩固对乘法分配律的理解，加深对乘法分配律的内涵理解，使不同层次的学生得到发展。
四．
作业布置。
思考：乘法分配律与长方形周长的计算有没有联系？
〖设计意图〗联系实际，体会乘法分配律在以往学习中的应用。
板书设计：
乘法分配律
6×8＋4×8
＝（6＋4）×8
3×10＋5×10
＝
当学生在学习过程中出现疑惑、产生大面积错误时，教师应该及时地发现，立即进行有针对性的追问，这不仅有助于学生准确区分对错，理解知识的本质，而且能够启发学生思考，增强学生分析、比较和解决问题的能力。
如刚学《乘法分配律》时，学生运用乘法分配律使计算简便，正确率非常高。但解答“25×（40×4）”时，受乘法分配律答题形式的影响，几乎都写成（25×40）×（25×4）=1000 x100=100000。
师：“什么是乘法分配律？”
生：“两个数的和乘一个数，可以先把这两个加数与这个数相乘，再把所得的积相加，结果不变，这就是乘法分配律。用字母表示是（a+b）×c=a×c+b×c。”
师：“25×（40×4）是表示两个数的和与一个数相乘吗？”
生：“不是，25×（40×4）是表示两个数的积与一个数相乘。”
生：“25×（40×4）是表示三个数相乘的积。”
生：“我们都错了，这题应该用乘法结合律简算，应该写成（25×40）×4=1000×4=4000。”
师追问：“那么乘法分配律和乘法结合律有什么区别呢？”
生：“乘法分配律是两个数的和乘一个数，乘法结合律是三个数相乘。”
生：“乘法分配律含有加法和乘法两种运算，乘法结合律只含有乘法一种运算。”
就这样，由学生的错误开始，教师针对学生的困惑，及时追问，引导学生自主比较，准确掌握了乘法分配律和乘法结合律的区别，进一步理解了乘法分配律，加强了知识的前后联系，避免再犯类似的错误，提高了学习的效率。
二、在课堂意外时追问——引导思维走向
课堂是充满生命灵性的，在动态的数学课堂中常常会出现一些意外。这些意外有的是学生独立思考后智慧的火花，也有不少是刻意模仿产生的错误，教师要善于捕捉这类意外，及时追问，引导学生深入思考，促进学生真正理解所学知识。
学习《找规律——排列》时，有这样一道题：“某旅行社推出五一黄金周的旅游景点为：桂林、花果山、周庄、苏州园林、南京中山陵。小红家想选择其中的两个景点游玩，她们家一共有多少种不同的选择方案？”
学生几乎都列式5×2=10（种），交流时说5个旅游景点，选择2个，所以这样列式。列举出桂林和花果山、桂林和周庄、桂林和苏州园林等10种方案。因为列式和列举的结果一致，所以对于这种解答方法学生深信不疑。
笔者发现这是学生受到两个物体的搭配的影响，但没有直接否定，在题目中又增加了一个景点，六个景点中选择两个游玩，一共有几种方案？
师：“这题可以怎样解答？”
生：“6×2=12（种）。”
师追问：“请说出哪12种方案？”
生：“桂林和花果山、桂林和周庄……”
生：“不对，这里一共有15种方案呢。”
生：“错了，这题不能列式6×2=12（种），应列成5+4+3+2+1=15种。”
生：“刚开始那题的列式也错了，也应该列成4+3+2+1=10（种）。”
教师要善于把握课堂的即时生成，敏锐捕捉并准确分析学生的真实想法，准确分析产生错误的原因，通过追问引导学生深入思考，实现课堂的动态生成。
三、在自主探索时追问——促进认识深入
数学教学的过程性目标之一是“探索”。在数学教学过程中，教师应尽力为学生的自主探索提供必要的时间和空间，并在交流反馈过程中，合理运用追问的策略，促进学生的认识得以深化。
学习了《三角形的分类》，让学生通过观察、交流并总结出三种三角形角的特点。为了帮助学生真正理解不同三角形中角的特征，笔者设计了一个游戏，要求学生自主探索：
题目是“下面的三角形都被一张纸遮住了一部分。只看露着的一个角，你能确定他们各是什么三角形吗？”
生：“它们分别是钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。”
师：“同学们有没有其他意见？”
学生异口同声说：“没有。”
笔者把长方形纸片拿开，第三个却是一个钝角三角形。学生大吃一惊。
师追问：“为什么第三个不是锐角三角形，而是钝角三角形呢？”
生：“钝角三角形也有锐角，而且有两个锐角。所以它可能是钝角三角形。”
生：“只看见一个锐角，无法确定它是哪种三角形。”
案例一：教学《积的变化规律》
（学生独立计算，填写每组里各题的得数。）
师：谁来说说得数是多少？你是怎么算的？
学生交流得数，教师呈现结果，指出几题让学生说说是怎么算的。
反思：这里教师对习题的处理不够深入，学生的学习活动比较简单，没有发掘题组的习题意图，即通过观察比较，让学生说一说每组算式中，哪一个乘数没有变，哪一个乘数变化了，分别是怎样变化的，积应该怎样变化。
改进：
（学生独立计算，填写每组里各题的得数并交流得数，呈现结果。）
师：每组题你是怎样算的？也可以怎样算？
生1：先算30×2＝60，再算30×20，因为30不变，2×10＝20，直接用60×10＝600，所以30×20＝600。
生2：因为30×2＝60，2×100＝200，直接用60×100＝6000，所以30×200＝6000。
……
生：计算30×400，先算3×4＝12，再在12后面添3个0。
师：每组题里都是乘数末尾有0的乘法计算，而且每组都是一个乘数不变，另一个乘数按上面第一个乘数乘几在变化，所以应用积的变化规律，可以按第一道的积，看乘数每次乘的几，把原来的积乘几得出结果，也可以用0前面的数相乘，再看乘数一共有几个0，在乘得的数末尾添上几个0。
案例二：数学《两位数加两位数的口算》
（学生独立练习，集体反馈。）
师：32+50等于多少？怎么想的？
生：32+50=82，先算30+50=80，再算80+2=82。
师：82+7等于多少？怎么想的？
生：82+7=89，先算2+7=9，80+9=89。
师：32+57等于多少？
生：32+57=89
师：做得全对的同学举手。
……
反思：教师对习题的处理停留在简单的练习、反馈、对得数，忽视了题目本身蕴含的数学思考价值。即通过对每组三道算式的比较，认识到口算第三题时，要按前两道题的顺序进行思考，同时结合第二、三组中对口算过程的分解，引导学生体会口算过程中进位的处理方法。
改进：
（学生独立练习，集体反馈。）
师：比较每组的前两题和第三题，它们之间有什么联系？同桌之间交流一下你的发现。
生1：我发现口算32+57就是先算32+50=82，再算82+7=89.
生2：我发现口算每组第三题时就是按前两题的顺序进行计算。
生3：我发现每组的前两题就是第三题的计算过程。
……
师：同学们真厉害，其实每组的前两题的口算就是第三题的口算过程，也就是说口算第三题时，可以按前两题计算过程来算。
案例三：教学《两步混合运算》
（学生独立计算，并指名板演）
师：17×4+20，先算什么，再算什么？17+4×20呢？
生：17×4+20，先算乘法，再算加法。
师：31+5×30，先算什么，再算什么？（31+5）×30呢？
生：31+5×30，先算乘法，再算加法；（31+5）×30先算括号里的加法，再算乘法。
师：大家做的全对的举手，有谁错了，错在什么地方？还有什么问题？
反思：习题的编写意图是让学生结合计算，回顾在混合运算中所遇到的各种情况，说说计算时各应遵循哪些运算顺序，即算式里全有括号的，应先算括号里面的；算式里没有括号时，如果只有加、减法或只有乘、除法的，按从左往右的顺序依次计算。如果既有乘法或除法，又有加法或减法，应先算乘除法，再算加减法，而案例三中教师在处理习题时，只是让学生就各组题目分别说说运算顺序，缺少引导学生总结两步混合运算运算顺序的过程，教学的思维层面仍然比较浅，同时也忽视了学生主体性的发挥。
改进：
（学生独立练习，板演，集体评析）
师：为什么每组中两题的得数不一样？
（学生讨论、交流 ，说说每组题的异同点，重点是运算顺序的不同。）
师：谁能结合这三组题完整地说一说两步混合运算的运算顺序？试试看？同桌之间交流一下。
（学生尝试回顾总结两步混合运算的运算顺序：在不含括号的算式里，如果只有加、减法或只有乘、除法，要按从左往右的顺序依次计算；如果既有乘法或除法，又有加法或减法，要先算乘、除法；再算加、减法。在含有括号的算式里，要先算括号里面的。）
师：谁来说说计算两步混合运算时要注意什么？
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）29-059
当今的“课改”之风已经吹进了小学数学的课堂，传统式的“满堂灌”课堂慢慢消失了，取而代之的是“先学后教”的教学模式，即让学生课前“先学”课本知识，课堂上师生再共同探讨在预习中有困难的知识点或者研究这个内容的拓展知识。因此，课堂上会出现学生众多不同的声音，作为教师要学会倾听学生的想法，并且还要觉察出他们思维中的独特与新颖。
一、在学生个性思维处引导
当学生预习了新知识后，他们在课堂上的思维会更加活跃，这就要求教师不仅在备课时要备教案、备学生，而且在课堂上能自如地把握学生的思维，并多问些“为什么”，从而深入地了解学生的想法。如，在教学“认识分数”时，教师可以这样处理。
师：你们觉得这个黑色部分可以用哪个分数表示？
生1：我认为是二分之一。
师：你是怎么想的？
生1：我看到上下两部分，所以黑色部分是整个图形的二分之一。
生2：不对，正确答案应该是四分之一。
师：为什么是四分之一，你是怎么想的？
生2：因为这幅图上下没有平均分，白色部分还藏着3个三角形，所以整幅图一共有4个三角形。
师：谁能找到藏着的这3个三角形？
该案例中，教师已经有意识地使用具有儿童化、个性化的语言――“藏着3个三角形”，并明知故问，让已经听懂的学生来解释这句话的意思，再顺势引导其他学生一起发现这3个三角形，自然也就寻找到了这道题目的答案。
二、在数学核心问题处引导
每节课都是由几个核心问题组成的，在“先学后教”的课堂上，教师也要围绕这些核心问题展开讨论，引导学生深入地了解数学知识的来龙去脉。如，在教学“比较小数的大小”时，核心问题就是计数单位之间的大小比较。教师在学生自学后，围绕核心问题引导学生思考。
师：请讨论0.7与0.52哪个数大？为什么？
生1：可以运用画图来比较。0.7就是分数■，意思是100个格子我要涂70个。0.52就是分数■，意思是100个格子我要涂52个。所以0.7大于0.52。
生2：在0.7和0.52后面加上“元”，0.7元就是70分，0.52元就是52分，所以0.7大于0.52。
生3：因为0.7等于0.70，而70比52大，所以0.7大于0.52。
师：你知道70是70个什么，52是52个什么吗？
生3：70是70个百分之一，52是52个百分之一。
师：原来生3运用了相同计数单位的方法进行比较。
该案例中，课堂上出现了难以预料的动态生成，学生通过自学将旧知识迁移到这道题目上，此时教师紧紧抓住核心问题，遵循学生的认知特点，以灵动的教学机智地处理动态生成，实现了充满活力的动态课堂。
三、在数学知识网处引导
数学知识具有系统化、严密化的特点，每节课的知识点都是前后呼应、环环相扣的。因此，教师在处理教学内容时，可以根据学生的学情在数学知识网处进行引导，把学生所学的零散数学知识整理成片，延续学生的思考过程，实现系统的数学知识网。如，在教学“整百数乘一位数”时，教师可以将以前学过的表内乘法和整百数乘一位数乘法放在一起进行比较，方便学生更快地理解算理。课件出示题组：
3×4= 5×8= 9×6=
300×4= 5×800= 900×6=
师：请观察第一行和第二行的算式，你发现了什么？
生1：第一行是我们已经学过的一位数乘一位数乘法，第二行是整百数乘一位数乘法。
师：是的，这就是我们今天要学习的内容。你会做吗？你觉得这些内容和以前学过的哪些知识有联系呢？
生2：整十数乘一位数。
师：是的。那么请猜一猜，以后我们还会学习怎样的乘法呢？
生3：整千数乘一位数、整万数乘一位数。
一、案例的背景
《计数原理——乘法原理》是高中三年级教材第16章排列组合与二项式定理16.1的教学内容，是关于计数的基本原理，是今后推导排列数、组合数公式的基础，在解题过程中应正确灵活的应用。教学目标有三个：一是理解乘法原理的概念并能运用乘法原理的分步思想解决问题；二是通过实例归纳得出乘法原理，体会从特殊到一般的数学研究方法及数学建模思想；三是通过选择恰当的实例感受数学与实际生活的息息相关。
二、案例异同
1、新课引入的方式不同
案例1的引入是从学生的实际出发，让学生说说从学校到车站有几种乘坐方式，从车站到家有几种乘坐方式，则每天放学共有多少种乘车方式。这样的引入使学生很快的进入到兴奋状态，课堂顿时活跃了起来。
案例2的引入开门见山，直接采用课本上的实例及课后练习改编的2个问题形成三个课前准备的小问题：①如图，某人从入口A进入绿地再走到出口B②书架上有3本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法③小明到食堂去买午饭，荤菜3种，素菜3种，汤2种，他买一荤一素一汤，共多少不同的买法。通过分析引导，从而引出乘法原理的概念。
案例3的引入是一段视频，这段视频中新郎要去接新娘，从村到县城中间隔着一条河，新郎从村里出发需先经过桥再到县城，那新郎略读了几年数学，用了数学知识算共有多少种方法，搞笑的情节让学生捧腹。
相对比而言，作为数学课笔者更倾向于案例2中教师的处理，案例1中的引入太过实际，公交线路很多，问法不够规范，导致很多学生注意力被转移，看似课堂气氛热烈，其实浪费不少时间；案例3中的视频其实是借以讽刺新郎的书呆迂腐，于教学虽然有一点联系但于学生学数学的兴趣培养是不利的。当然案例2中的3个课前准备的小问题似乎多了点，若说是为了从特殊到一般，引出乘法原理的概念，需要问题的逐步复杂化，则问题②大可删去。所谓课堂引入就是教师通过各种方法引出所要讲述的课题，把学生领进学习的“大门”，课堂引入固然是要有利于激发学生的学习热情，但也应当遵循几个原则：服务于教学的目标；服从于教学的内容；符合于学生的实际；简洁性和多样性；方法的灵活性。若是为了引入而引入，大可不必。
2、得出概念的处理过程不同
案例1中教师通过分析学生从学校到车站有5中乘车方案，从车站到家有2中乘车方案，从而得到完成一件事分2步：第一步有5种方法，第二步有2种方法，则共有N=5×2种；抽象为若完成一件事分2步，第一步有m1种方法，第二步有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；层层递进，再推广得到乘法原理的概念。整个过程几乎都是教师在讲解、引导，最后用PPT展示乘法原理的概念。
案例2中教师通过三个课前准备的小问题，利用树形图口述分析问题①，完成这件事分两步，第一步有2种方法，第二步有3种方法，则共有N=2×3种走法，板书N=2×3，又再分析了问题②、③，同样都只板书了最终答案，然后试图引导学生说出乘法原理的概念。初衷是希望通过从特殊到一般的研究方法，让学生自主得出概念，但由于学生能力有限也因为教师的引导略有欠缺，因此，在“概念的得出”这部分时间花了很多，最终还是基本上从教师口中说出，没有达到预期效果。
案例3中教师通过树形图分析新郎从村到桥有3种方式，从桥到县城有2种方式，则共有N=3×2种，通过分析和启示，引导学生进行推广：若从村到桥有m1种方法，从桥到县城有m2种方法，则共有N=m1·m2种方法；若从村到桥有m1种方法，从桥到乡有m2种方法，从乡到镇有m3种方法，……到县城有mn种方法，则共有N=m1·m2……mn种方法，再由学生概括得到乘法原理严格的定义。
三位老师都是从特殊到一般的方式得到乘法原理的概念，区别在于案例1中教师是一言堂，学生有能力说却没有机会说；案例2中教师试图引导学生自己归纳出概念，但是由于引导过程中关键性的叙述没有板书，导致预设的结果没有从学生口中得到；案例3中教师同样从特殊到一般的方式引导学生归纳得出概念，借助PPT展示关键步骤和概念中关键性语言，学生在教师的带领下轻而易举的得到概念，相信长期下去，对于学生概念学习能力的培养以及学习数学的兴趣培养都是有利的。
3、练习的处理不同
三位老师安排的练习中都有课后练习16.1的第2小题：某农场要在4中不同类型的土地上试验4种（设A、B、C、D）不同品种的小麦。共有多少种不同的试验方案。但是三位老师的处理方式各有不同。案例①中教师为了避免学生出现4×4的错误结果，改编问题为“5个信箱投3封信”；案例②中教师预想到了学生可能会出现问题，但是依然采用原题，希望学生在思维冲突中反思，加深印象；案例③中教师考虑到原题与学生现实生活脱节，于是将问题改编成“4颗不同类型的糖果分给4为同学，每人一颗，共有多少种不同的方法”，学生果然如教师预设的出现4×4的错误结果。教师拿出准备好的糖果给学生做实验，通过实际操作使学生明确完成这件事共需要几步，从而突破难点。教师在备课时预设到会出现的问题，是让问题继续发生产生所谓的冲突，还是通过教师适当的铺垫和引导，化难点于无形，这是值得一线数学教师思考的问题。
三、案例反思
1、总体感受
三节课各有千秋，三位教师都能以民主的精神、宽松的环境组织教学活动，能预先设置好问题情境，试图发挥学生主动性，努力落实课改精神。
案例1的教师充分调动学生能动性，教态亲切有激情，概念的引入和例题的选择都能从实际出发，以调动学生学习兴趣为主旨。所谓“兴趣是最好的老师”，这位教师所带的班级学生必定是很乐于学习数学。案例2的教师从语言到教态再到概念的引入、问题的设置……都显示出教师的功底较为深厚，只是若能在备课时多考虑学生实际情况，就完美了；案例3中的教师针对教材和学生实际设置的问题串、处理难点都比较老辣，整节课以问题为主线，构建活动平台，注重探究过程，将训练作为一种体验，最终的落脚点在思维上。
2、教学启示
（1）课堂引入应简洁而有效
数学是一门非常严谨的学科，教师在教学中往往由于过于注重教学逻辑和知识传授，而导致课堂气氛压抑，学生乏味无趣，教学效果低下。适当的引入能高度激发学生的求知欲和学习兴趣，但不能为了引入而引入。案例1中的引入太过生活化，问题不够确切，学生七嘴八舌，课堂气氛是热闹了，但是浪费不少时间，同样的作用用课本引例就可以了；案例2中的引入遵循课本引例，为了便于学生理解，又加了两个练习，简洁明了，开门见山；案例3中的引入用了一段视频，虽然搞笑，但是于学生学习数学的兴趣培养没有什么好处，显然是为了引入而引入。其实引入的方法有很多：复习引入法、直接引入法、实验引入法、故事引入法、类比引入法、悬念引入法、情境引入法、联系实际引入法……，无论怎样的引入方式，都应当遵循简洁明了、短小精悍、符合课型需要和学生实际。
（2）突出概念的建构过程
导学案其实就是孩子们的课前热身操，目的是唤醒孩子的旧知，并从旧知迁移到新知上. 这样的一个过程是促进学习的过程，而导学案就相当于路线图，顺着路线图，孩子们可以顺利完成迁移学习过程. 比如，在教学“分数乘整数”前，我设计了三道导学题：
1. 列式解答：
3. 最后一题还有简便方法吗？试着做一做.（你可以画一画、涂一涂，再算一算）
以上导学案的第一题是复习整数乘法的意义，第二题是复习同分母分数加法，第三题目的是从整数乘法的意义迁移到分数乘法上，同时予以方法指导. 这其实就是课堂思路的微缩版路线图，借助这份导学案，孩子们完全可以根据线路图先行学习、操作、思考，当算法理解受阻时还会有操作指导帮助思考. 这大大提升了课堂教学的效率. 因此，导学案就有罗盘功用，是促学的思路图.
二、指定教学的指南针
导学案也是老师教学的指南针，有些知识是孩子已经掌握的，不需要费时耗力的，有些知识是孩子们薄弱的，也有些知识是孩子们互相之间就可以解决的. 因此，导学案中可以看出孩子需要哪些知识，尤其在复习课的导学案中可以让孩子们找几个你认为重点的题或需要提醒同伴的知识点.
因此，导学案的使用，可以大大节省课堂时间，更加实效地教给学生需要的知识，它就是老师定教课堂教学内容的指南针.
三、便于学习的风向标
以上导学案的第一题帮助学生梳理两种算法，第二题是让孩子“撞壁”，从而发现方法二更适用，第三题引导孩子总结方法二的算法，第四题强化训练，第五题引导孩子们思考多样性的算法，如从画图、转化成小数、统一换算成低级单位等方面想算法，力求培养发散性的思维. 这里导学案的设计，其实就是课堂教学的风向标，既突出了主打算法的风向作用，也培养了多样性的算法，还大大便利了孩子们的学习.
四、利于教学的好向导
导学案也是老师教学的好向导，它便于老师将计算课枯燥的算理、算法、运算定律以省时、全员参与的方式进行梳理，也便于老师将复习课的众多知识点让孩子们一一回忆，并串成知识链，结成知识网，还便于老师将概念课让孩子们做出来……
比如“分数四则混合运算”复习课的导学案中，我是这样设计的：在分数的加减乘除的运算学习中，我们看到了分数的独特性. 请总结分数的乘法、加法的运算定律：（ ）. 分数的四则运算顺序与整数是否相同？（ ）.先算（ ），后算（ ），最后算（ ）.
传统表内乘法教学以背诵为主，学生难免会觉得枯燥，丧失学习兴趣。我们的表内乘法优化教学，以背诵为基础，结合多媒体教学、游戏教学等多种趣味性方法进行，使学生的学习更为主动，对表内乘法知识的掌握自然也更加牢固。例如多媒体教学，教师课前制作动画课件，在课堂进行播放。动画中有三只小鸭子和两头小牛在一起，教师先让学生利用加法，算一算画面中的小动物一共有几条腿，学生根据2+2+2+4+4=14的算式计算出答案。随着教师鼠标一点，画面中的小鸭子和小牛分别站成了两队，教师启发学生可以利用所学的乘法口诀对题目进行简化计算。学生们通过分析题目，根据“二三得六”和“二四得八”的口诀，再计算6+8得出答案，使他们体会到了乘法是加法简算概念的意义。
二、生活化的表内除法教学
表内除法是表内乘法的逆向思维，所以教学应该更注重数学思维的培养。具体教学的优化策略中，我们通过生活化的教学方法指导学生进行学习，重点发展他们的逆向思维能力。例如在表内除法教学中，教师提出问题：小龙一家三口，妈妈买了12个橘子，如果平均分配，每个家庭成员能够分到几个橘子？学生面对这个简单的问题，很快就根据“三四十二”的乘法口诀，判断出每人可以分到四个橘子。接着教师修改问题：要是壮壮到家里做客，将橘子平均分配，每人可以分到几个？学生们通过总结，虽然人数变成了4个，但是橘子总数还是12个，仍然可以用“三四十二”的乘法口诀进行计算，只不过每人分到的数目成了3个。这样的教学通过简单的数学问题，使学生明确了乘除法间的关系，对他们数学思维的发展起到了良好的促进作用。
三、混合运算的解题训练
加减乘除混合运算的能力，需要通过解题训练来进行培养。单纯的计算题只是对学生养成运算能力具有训练作用，而通过解答应用题的训练，可以同时发展学生的数学思维和运算能力。所以我们在解题训练的优化教学策略中，以应用题为主，力求使学生能够得到更为全面的发展。如例题：妈妈在超市买了一条2斤的鱼，每斤8元。还买了4斤芹菜，每斤2元。她给了收银员100元钱，问收银员应该找回多少钱。教师先引导学生，这道题可以用付款的总数减去消费总价得出答案；也可以用付款的总数减去鱼的价格，再减去芹菜的价格得出答案。让学生自主选择方法进行解题。学生根据教师的思路，通过100-（2×8+4×2）；100-2×8-4×2两种计算方法完成解题。之后教师进一步启发学生，题中芹菜的总价为8元，相当1斤鱼的价格，可以进行简算。学生受到启发，通过100-3×8的方法完成解题。这道题本身很普通，但是教师根据题目，培养学生运用多种方法解决问题的思维，有效发展了解题能力。
四、有余数的除法应用探究
有余数的除法在生活中应用范围很广，因此我们在此项教学中，积极组织学生进行探究式学习，要求学生探究有余数的除法的具体应用途径，以培养学生自主学习能力。探究学习先由教师提出问题，如“有34名学生，分成6排站队。要保证前面五排的学生数目一致，前五排每排应有多少人，最后一排应有多少人”。之后引导学生观察问题，进行探究学习。学生们开始利用34÷6=5…4的方法进行計算，但是发现站成了7排。这时教师指导学生，可以将前面五排和最后一排分开考虑。学生受到启发，用5当除数，通过34÷5=6…4的计算过程，计算出前五排每排应有6人，最后一排应有4人的答案。探究学习使学生在探究过程中进行深入思考，有效提高了学生的学习效率，发展了自主学习能力。总之，通过注重趣味性与生活化的教学优化，激发了学生的学习兴趣，使他们能够熟练掌握知识，养成了运用数学知识解决问题的意识。以引导为主的解题训练，带领学生广泛参与，促进了学生数学思维的养成。探究学习发展了学生自主学习的能力，让学生在探究过程中体会到收获知识的快乐。这些教学优化，不仅可以提升教学质量，还可使学生养成良好学习方法，获得全面发展。
