更多关于教学工作计划的内容请点下方链接
三年级数学培优补差工作计划
初中地理教学计划精选5篇汇总
高一政治下学期教学计划
班干部工作计划范文
六年级安全上册教学计划
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文一【教材分析】
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，最早出现在《孙子算经》中。解决这类问题的方法包括：列表法、假设法、方程法等。教材把这一问题安排在四年级，学生还没有学过方程，因此这里主要引导学生通过猜测、列表、假设等方法来解决问题，培养学生猜测、有序思考及逻辑推理的能力,体会假设法的一般性。在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
【学情分析】
“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。“列表法”是学生比较容易接受的，也就是通过有序猜测和计算得出结论，“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。
【教学建议】
1、教学中要注意渗透化繁为简的思想。
2、引导学生探索解决问题的策略和方法。
3、介绍有关鸡兔同笼问题的“趣解”，既激发学习的兴趣，又可以拓宽学生的思路。
【教学目标】
1、了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
2、经历自主探究解决问题的过程，了解列表法、假设法等解决问题的方法，在解决问题的过程中培养逻辑推理能力，增强应用意识和实践能力。
3、了解
“鸡兔同笼”问题解决的多种有趣方法，体验问题解决方法多样化。
【教学重点】经历自主探究解决问题的过程，掌握运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。
【教学难点】理解掌握假设法，能运用假设法解决数学问题。
【教学过程】
一、情境导入。
今天老师想给同学们介绍一部1500年前的数学名著《孙子算经》，你们想了解吗?里面记载着许多有趣的数学名题，其中有这样一道题，请看屏幕：(课件出示以下情境图)
师：你能说说这道题是什么意思吗?(说明：雉指鸡)让学生说说题意，然后出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚，鸡和兔各有几只?这就是我们今天要研究的历史趣题“鸡兔同笼”问题。(板书课题)
有的同学已经在计算了，说说看鸡有多少只?兔有多少只?
【设计意图】结合课件呈现的情境图谈话引入，给数学课堂带来了浓厚的文化气息，让我们的学生感受到我国数学文化的源远流长，同时在学生猜测得不到正确结果的情况下，激发学生的探究兴趣，为下一环节引导学生经历“化繁为简”的解题策略做好铺垫。
二、新知探究。
(一)感受化繁为简的必要性。
刚才大家猜了好几组数据，但是我们验证后发现都不对，为什么这么多人都没有猜对呢?(数太大了)你们觉得什么情况下能够猜对?(数小一些)
那咱们就换一道数小一些的。(课件出示例1)
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头;从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只?
(二)自主尝试解决问题。
我们共同阅读在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些数学信息?
找到题中信息：①鸡和兔共8只。②鸡和兔共有26条腿。 ③鸡有2条腿。 ④兔有4条腿。
在猜测时要抓住哪个条件呢?(鸡和兔一共是8只)那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢?
怎样才能确定猜测的结果对不对?(把鸡的腿和兔的腿加起来看是不是等于(把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26)
这回给你们一点时间，把你猜测的数据在练习本上列个表，算一算，想一想：你算的对吗?(出示表格)
鸡
兔
脚
这回给你们一点时间，把你猜测的数据在练习本上算一算，想一想：你算的对吗?
(三)交流体会，掌握问题解决策略。
1、经历列表法的形成过程。
(1)经过同学们的研究，现在知道鸡和兔各有几只?
都谁和他的结果一样?你们有把握这次猜对了吗?怎么验证一下?
(2)说说你是怎样得出正确答案的?(引导学生说说解决问题的思路)
预设学生思路：
从鸡8只，兔0只开始推算。
从鸡0只，兔8只开始推算。
前两种情况可能做了充分预习，按照一定的顺序，列举出了所有情况，或者到得到正确答案为止。对这种有序思考的方法要给予肯定。
直接猜出鸡有3只，兔有5只，验证后发现脚数正好是26只。
这种情况属于正好一下猜对了，教师提示不一定每次都能够猜得这么准。
从鸡有4只，兔有4只开始推算。
这种情况猜测的次数比较少，对于数据比较大的时候适用。
有的同学还可能发现了每增加一只兔，减少一只鸡，脚就增加2只，这样就可以一下子算出需要增加几只兔，直接找到正确答案。这正是假设法的思路。如果有同学有这一发现，教师要及时引导学生表述准确，为后面的假设法学习做好铺垫。
(3)小结收获。从刚才的列表情况看，你觉得怎样列表比较好?
(4)运用列表法解决情境图中的鸡兔同笼问题。
自主解决，交流方法并订正结果。
如果没有出现上面的第五种思路，教师小结可以提出。
小结：鸡兔的总只数不变，多一只兔子就会少一只鸡，增加两只脚;多一只鸡就会少一只兔子，减少两只脚。运用这一规律正好是我们解决这一问题的另一种方法。
2、探究假设法。
(1)问题预设：刚才大家找到了“鸡兔同笼”问题的解决办法，讨论中还发现了一种更简单的方法，如果运用这种推理方法，怎么解决呢?
(2)引导学生交流：发现假设成都是鸡或者都是兔，计算起来会更简便。
交流时重点让学生说说每一步的意思。
先假设成都是鸡，着重说说推理的过程。
同样，让学生说说，如果假设成都是兔，是什么情况?
小结收获。
(3)运用假设法解决情境图中的“鸡兔同笼”问题，再汇报交流。
【设计意图】让学生在自主尝试中找到用列表法解决“鸡兔同笼”问题的方法，引导学生有序思考，组织学生有层次地汇报和交流，让学生在这一过程中体会到：根据表中总脚数与题中数据的差，来调整数据，对假设法的探究起到了铺垫作用，同时对假设法的理解也更加深刻。
三、练习强化，深化认识。
针对性练习，完成做一做第一题。
独立完成，再集体交流订正。
四、阅读资料，丰富认识。
同学们，你们知道古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的吗?阅读105页的资料。
古人真是很聪明啊!今人更了不起，又发现了很多关于“鸡兔同笼”问题的趣解，你们想了解吗?介绍几种。
1、假设所有的鸡和兔子都训练有素，然后你拿着一个口哨，吹一下，所有动物收起一只脚，吹两下，收起两只脚，好了，现在鸡一屁股坐在地上了，小兔都“作揖”了，也就是还有两只脚站着，总脚数减去两倍的头的个数再除以二就是兔子的只数了。
2、假如鸡的翅膀也着地，也有四只脚，那么总脚数就是总只数乘4，减去实际的脚数，就是翅膀的数，翅膀都是鸡的，再除以2，就是鸡的只数。
五、谈话式小结。
同学们，今天你有什么收获?每种方法都明白了吗?你最喜欢哪种方法?
提示学生做题时要根据题目选择合适的方法来解决问题。
【设计意图】通过完成做一做的第一题，巩固解决“鸡兔同笼”问题的基本方法，了解古时候的解法，使学生对我国的古代文化产生浓厚的兴趣，最后的小结梳理一下几种方法，引导学生反思学过的方法，为以后的学习奠定基础。
【板书设计】
鸡兔同笼
列表法
鸡
8
7
6
5
4
3
2
1
兔
1
2
3
4
5
6
7
8
脚
16
18
20
22
24
26
28
30
32
假设法
都是鸡： 脚：8×2=16(只)
少了：26-16=10(只)
兔：10÷(4-2)=5(只)
鸡：8-5=3(只)
都是兔： 脚：8×4=32(只)
多了：32-26=6(只)
鸡：6÷(4-2)=3(只)
鸡：8-3=5(只)
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文二【教学目标】
1.理解掌握并会运用列表法、假设法解决“鸡兔同笼”问题。
2.经历自主探究解决问题的过程，培养逻辑推理能力。
3.了解我国古代数学文化，增强民族自豪感。
【教学重点】渗透化繁为简思想，体会用假设法的逻辑性和一般性。
【教学难点】 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
【教学具准备】课件
【教学过程】
一、课前活动
学生猜测老师的年龄。
学生根据老师的提示，调整自己的猜测，直到猜到正确的答案。
师：刚才大家在猜测老师年龄的过程中，经历了猜测、验证、调整的过程，不知不觉掌握了一种数学策略。
【设计意图】通过课前的游戏活动，激发学生的参与热情，并且渗透数学解题策略，为本节课的学习做好铺设。
二、课中活动：
(一)创设情境，导入新课
生齐读课题：鸡兔同笼
出示表格
头
3
5
鸡
2
兔
1
2
脚
12
8
第一栏、第二栏都能够解决。
师：如果告诉一共有5个头，你们能确定一共有几只脚?为什么?如果告诉一共有8只脚，能确定鸡兔各几只吗?为什么?
师：如果告诉头的数量和脚的数量，能确定鸡兔各几只吗?这就是我们今天要研究的数学问题。
【设计意图】经过前期学情了解，不少孩子对于鸡和兔不清楚有几只脚，所以在这个环节先了解学生基本常识。通过填写表格，从易到难，引起学生对问题的深刻思考。
(二)猜测验证，化繁为简
1.出示《孙子算经》中的鸡兔同笼问题。
师：能读懂是什么意思吗?
生：就是鸡兔同笼，从上面数有35个头，从下面数，有94只脚。鸡、兔各几只?
师：能猜猜鸡兔各几只吗?
师：如何验证自己猜的对不对?(既要考虑头，也要考虑脚)
师：怎么办呢?有没有办法解决这个问题?
师：为什么要改小?
生：改小一点好猜些。
【设计意图】引导学生理解题意，帮学生初步理解“鸡兔同笼”问题的结构特点，渗透化繁为简的数学思想。
(三)尝试猜想，发现规律
出示“鸡兔同笼，从上面数有8个头，从下面数有26只脚。鸡兔各几只?”
师：请再猜一猜。
师：看来有很多种情况，能不能按照一定的顺序把所有情况列举出来呢?想不想自己来尝试一下?
学生自主填写表格，教师巡视。
师：请你把你尝试的过程与大家分享。
师：后面还要不要再尝试下去?
师：脚少了，说明什么?增加谁的数量?
师：你为什么跳着猜测呢?
生：一个一个地试比较慢，就我隔一个试一次了。
生：脚少了，就增加兔子，增加一只兔就增加2只脚!增加2只兔就增加4只脚!
师：我没明白，为什么增加1只兔不是增加4只脚呢?
学生陷入思考。
师：我们再来研究一下这个表格，把空格填完整，再看看数量间 有没有什么数学规律。
学生观察、讨论、分享。
师：为什么是2只2只地变化呢?而不是4只4只地变化?
师：为了让大家看得更加清楚，想得更加明白，我们借图形朋友帮忙吧。
送教下乡教学设计送教下乡教学设计送教下乡教学设计出示
理解：1只鸡换成1只兔，脚就减少2只。
师：反过来呢?
引导发现：1只兔换成1只鸡，脚减少2只。
【设计意图】列表法虽然烦琐，但这是一种重要的解决问题的策略和方法，是学习假设法的基础，因此也是本课的重要教学内容之一。让学生以填表的方式初步体验鸡兔同笼情况下随着鸡或兔只数的调整，脚的总数量的变化规律，为下面的学习做好铺垫。
(四)数形结合理解假设法
1.假设全是鸡。
出示表格：
鸡
8
兔
8
脚
16
26
32
师：请再看表格左边第一栏，8和0表示什么意思?
师：假设什么?这样假设的结果会是什么呢?
师：脚实际是26只，为什么少了10只?少了谁的脚?
出示：换什么?换几只?
学生独立思考。
师:你们说得真好!你们能用算式表达出你们的想法吗?
学生独立写算式，汇报。
师：10÷2=5，这里的“2”表示什么?是鸡的脚吗?
师：怎样更清楚地表示2是相差的脚呢?
假设全部是兔子。
学生独立解决。
3.比较两种方法
师：你觉得列表法与假设法怎么样?
【设计意图】此环节是本课的重点，也是本课的难点，假设法的算理对于大部分学生来说，都是比较难以理解和掌握的。采用画图法，数形结合地引导学生根据图较为完整、准确地说明算理，学会思考，学会解释，可以让学生更加直观地感受假设法的优越性。
(五)建立模型，拓展应用
1.应用新知，解决问题。
师：如果让你解决鸡兔同笼，有35个头，94只脚，鸡兔各几只?你会选择什么方法?
2.鸡兔同笼问题的发展
出示龟鹤问题。
师：与鸡兔同笼问题有什么相似的地方?谁可以看成鸡，谁看成兔?
3.出示歌谣
“一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。”
师：谁看成鸡，谁看成兔?
师：研究鸡兔同笼问题并不在于问题本身，而是用解决鸡兔同笼问题的方法去解决生活中类似的问题。
【设计意图】独立解决《孙子算经》中原题，阅读古人解决“鸡兔同笼”问题的方法，了解中国古代人民的智慧，增强民族自豪感。列举生活中的“鸡兔同笼”问题模型，帮助学生建立模型思想，举一反三，触类旁通、提高解决问题能力。
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文三一、教材分析：
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，它在培养学生逻辑推理能力的同时使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
二、学情分析：
(1)“鸡兔同笼”问题是我国古代著名数学趣题，容易激发学生的探究兴趣。
(2)列方程解答此类问题数量关系直观易懂，要加以提倡。
(3)“假设法”对学生来说比较陌生，教学中要抓住其特点，讲解算理，让学生逐步掌握，根据具体问题引导学生分析理解，拓宽学生思维。
三、教学目标：
1.知识与技能
使学生了解“鸡兔同笼”问题的结构特点，掌握用列表法和假设法解决问题，初步形成解决此类问题的一般性策略。
2.过程与方法
通过自主探索，合作交流，让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题的过程，使学生体会解题策略的多样性，渗透化繁为简的思想。
3.情感态度与价值观
使学生感受古代数学问题的趣味性，体会到“鸡兔同笼”问题在生活中的广泛应用，提高学习数学的兴趣。
四、教学重点：尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会用假设法解决问题的优越性。
五、教学难点：理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的算理。
六、教学过程：
(一)创设情景，提出问题。
1.同学们今天老师将和大家一起来学习一道我国古代非常有名的数学趣题，“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?”(PPT投影展示原题)这四句话是什么意思呢?
指生回答(笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只?
2.有谁知道这类题我们把它叫做什么问题吗?(鸡兔同笼)板书。
鸡兔同笼问题是我国古代三大趣题之一，记载于《孙子算经》一书中，距今已有1500多年。
(二)探究交流，尝试解决问题。
1.为了研究方便，我们把题目里的数字改小一点。
“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头;从下面数，有26条腿。鸡和兔各有几只?”(说明：为了便于分析时叙述，把“26只脚”改成了“26条腿”课件出示)
2.我们共同阅读被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些数学信息?
让学生理解：①鸡和兔共8只。②鸡和兔共有26条腿。 ③鸡有2条腿。 ④兔有4条腿。(课件出示)
3.我们先来猜猜，笼子中可能会有几只鸡几只兔呢?学生猜测，在猜测时要抓住哪个条件呢?(鸡和兔一共是8只)那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢?
学生猜测，老师板书
4.怎样才能确定你们猜测的结果对不对?(把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26。
)
①尝试列表法
为了研究老师把所有的可能按顺序列出来了，我们先看表格中左起的第一列，8和0是什么意思?(就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡，)那笼子里是不是全是鸡呢?(不是)那就是把里面的兔也看成鸡来计算了，那把一只4条腿的兔当成一只2条腿的鸡来算会有什么结果呢?(就会少算两条腿)(课件出示。)
②假设全是鸡
8×2=16(条)(如果把兔全当成鸡一共就有8×2=16条腿)
26-16=10(条)(把兔看成鸡来算，4条腿兔有当成两条腿的鸡算，每只兔就少了两条腿，10条腿是少算了兔的腿)
4-2=2(假设全是鸡，是把4条腿的兔有当成两条腿的鸡。所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2条腿。)
10÷2=5(只)兔(那把多少只兔当成鸡算就会少10条腿呢?就看10里面有几个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以10÷2=5就是兔的只数。)
8-5=3(只)鸡(用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡)
算出来后，我们还要检验算的对不对，谁愿意口头检验。
生：3×2+5×4=26(只)，5+3=8(只)。
师：看来做对了，最后写上答语。
③假设全是兔
我们再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思?(笼子里全是兔)那是不是全都是兔呢?(不是)也就是假设笼子里全是兔。那把兔当了鸡在算。那就是把里面的鸡也当成兔来计算了，那把一只2条腿的鸡当成一只4条腿的兔来算会有什么结果呢?(就会多算两条腿)(课件出示：把一只鸡当成一只兔算，就多了两条腿)
先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，现在假设全是兔又应该怎么分析和解决这个问题呢?同学们能自己解决吗?如果有困难可以同桌边或小组讨论。
小结：刚才我们假设都是鸡或都是兔，所以把这种方法叫做假设法。这种方法能化难为易，是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。(板书：假设法)
小结：请同学们回忆一下，在解决鸡兔同笼问题时，用到了哪些方法?(列表法、假设法)
好，让我们一起再次回到1500年前的这道题目：(出示课件)，看看古人是怎样解决“鸡兔同笼”问题的?
1.假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起两只脚，还有26÷2=13只脚。
2.这时每只鸡一只脚，每只兔子两只脚。
笼子里只要有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。
3.这时脚的总数与头的总数之差13-8=5，就是兔子的只数。
(三)练习巩固，反思提升。
1.课件出示“做一做”
生活中“鸡兔同笼”的问题。
(1)龟鹤问题
有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只?
集体反馈。
(2)新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男生?a href='///yangsheng/kesou/' target='_blank'>咳嗽粤?棵树，女生每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男、女生各有几人?
(3)引导学生建立“鸡兔同笼”问题的数学模型。
看来鸡兔问题这类问题我们不只局限算鸡和兔的只数问题上，只要能用“鸡兔同笼”问题来解答的问题都可以统一叫做“鸡兔同笼”问题。今后我们就用刚才学到的“鸡兔同笼”方法，来帮我们解决生活中遇到的一些实际问题。
(四)总结。
本节课你有什么收获?你们对自己这节课的表现满意吗?
(五)课外延伸与作业。
1.阅读并思考：课本105页的“阅读资料”
2.完成练习二十六的1-3题
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文四教学目标：
1、对日常生活中的现象进行观察和思考，引导学生从中发现特殊规律，使学生掌握用列表的方法来解决“鸡兔同笼”的问题。
2、从不同的角度分析问题，掌握解题的策略与方法，从而感受到数学思想的运用和解决实际问题的联系。
3、培养学生分析问题的能力，渗透假设的数学思想，在解题中数形结合，提高学生对数据的再认识，再分析，将列表的过程更优化。
教学重点：从不同的角度分析，掌握解题的策略与方法。
教学流程：
一、创设情境，明确目标
1、谈话：“同学们，自我介绍一下，我姓周，你们可以称呼我?今天需要我们共同配合，在这里上一节数学课，为了表达谢意，我为你们带来了一些礼物，快来猜一猜，有多少?(5…)太少了?(50…)多了，(40…)少了(45…)差不多了，(46…)恭喜你，答对了，下课就由你发给同学们。
2、喜欢数学吗?数学不但可以开阔我们的视野，增长我们的'知识，还可以锻炼我们的思维。
在我国古代就有许多有趣的数学名题，你们了解吗?今天，。老师就向你们推荐一种有趣的问题------鸡兔同笼。
二、自主探索，合作交流
1 出示问题：“鸡兔同笼，有5个头，14条腿，鸡兔各有几只?”
(1)你从中获取什么信息?……
(2)请你们猜一猜将鸡、兔可能是几只?(……)
(3)把你猜的过程给大家说一说
(4)板书学生的过程
鸡 1 2 3
兔 4 3 2
腿 18 16 14
(4)评价：从尝试简单的开始，一个一个的试，最终找到了正确的答案，方法多么简单啊?如果我们再横竖加上几条线，就成了美观的表格。看来，列表来解决这类问题还确实简单，如果现在将鸡兔的数量增加，还能解决吗?(重点引入列表)
2、出示：“鸡兔同笼，有20个头，54条腿，鸡兔各几只?”
(1)自己先想一想如何利用列表来解决?
(2)小组内交流一下自己的想法。
(3)独立完成列表。
(4)汇报想法和过程
小组1：逐一列表------假设鸡有1只，兔子有19只，那么就有78条腿，(腿多了，说明什么?兔子多了，怎么办?)鸡有2只，兔子有18只，那么就有76条腿，一只一只地试，学生把试的结果列成表格。
通过表格引导学生观察：发现了什么?(每多一只鸡，少一只兔子，相应减少2条腿，)
小组2：跳跃式列表------假设鸡有1只，兔子有19只，那么就有78条腿，要比54条腿多的多，因此，兔子的只数也可能多了很多，但是鸡的只数可以不用一只一只依次递增，而是从猜一只到猜5只(或者其它几只)，当腿的条数在50到60之间，(提出问题：兔子可能是几只?到底是谁估计的更加接近呢?)
引导发现：这样就减少举例的次数。并通过数据的调整来优化解题策略。
小组3：取中列表------假设鸡兔各有10只
小组4：方程
小组5;奥书班中学习过算术方法(让孩子清楚表达出自己的想法)
三、适时反思，掌握策略(两题任选其一)
“同学们，鸡兔同笼”
1、观察三种列表的方法，比较异同?
2、谈一谈;你们有什么感受?
四、深化练习，拓展延伸
1、课后练习1、2、3(比较不同-----答案是否唯一)
2、通过今天的学习，有什么收获?
小学四年级数学下册《数学广角--鸡兔同笼》教案优秀范文五教学目标：
1、了解鸡兔同笼问题，掌握用列表法、假设法的方法解决鸡兔同笼问题的解题思路。
并能用不同的方法解决与鸡兔同笼有关的问题。
2、让学生在自主探索、尝试、合作学习的过程中，经历用不同方法解决鸡兔同笼问题的过程，使学生体会用方程解鸡兔同笼问题的一般性。
3、了解我国古人解鸡兔同笼问题的方法，感受其趣味性。
教学重点：
尝试用不同的方法解决鸡兔同笼问题，在尝试中培养学生的思维能力。
教学难点：
在解决问题的过程中，培养学生的逻辑思维能力。
教法：分析、引导
学法：自主探究
课前准备：多媒体。
教学过程：
一、定向导学：2分钟
1、师：同学们，你们知道吗，大约在1500年前，我国古代的数学名著《孙子算经》中，记载着一道有趣的数学题：(课件出示，题略)你们知道这道题的意思吗?
生：……(课件演示)
师：这就是有趣的“鸡兔同笼”问题。(板书课题)今天我们就一起研究这一问题。
2、学习目标：
掌握用列表法、假设法或列方程的.方法解决鸡兔同笼问题的解题思路。并能用不同的方法解决与鸡兔同笼有关的问题。
二、自主探究：8分钟
内容：课本p104例1的(1)
时间：5分钟
方法：边看书边完成下面要求：
1、“鸡兔同笼”这四个字是什么意思?
2、书上用了()种方法来解决这个问题。
3、我们共同阅读被关在同一个笼子里的鸡和兔给我们带来了哪些信息?
生理解：
(1)鸡和兔共8只;
(2)鸡和兔共有26只脚;
(3)鸡有2只脚;
(4)兔有4只脚;
(5)兔比鸡多2只脚。(课件演示)
师：那问题是什么?
生：鸡和兔各有多少只?
3、猜一猜：
师：请同学们猜一猜鸡和兔可能各有多少只?(学生猜测)还有其它的猜测吗?
4、介绍列表法：
师：你们猜出的结果鸡和兔的总只数都是8只，但是你们猜想的结果都正确吗?到底哪个是正确的呢?下面请同学们把你们的猜想整理到这张表格中，并进行调整，看看哪个结果才是共有26只脚。(学生活动)
学生汇报整理后的表格，教师板书学生整理后的表格。(边板书，边理解填表过程)
鸡
兔
脚
5、观察发现，列式计算
三、合作交流：5分钟
假设全是兔，怎样解决?试一试。
四、质疑探究：5分钟
解决鸡兔同笼这类问题，有几种假设的方法?
五、小结检测：20分钟
1、小结方法：
同学们真了不起，刚才我们在解决鸡兔同笼的问题时，用到了多种方法：列表法，假设法。
2、检测：
a、问答：
(1)如果老师让你们解决《孙子算经》中的原题，你会选哪种方法解决呢?
为什么不选择列表法?难?为什么难?(要列举的情况很多)有没有好的办法?(有没有不用列举那么多就能找到答案呢)
(2)如果一定要你用列表法解答你有什么办法?学生讨论。(教师引导列表折半调整。)
(注：如果前面出现了折半列表，就把这个环节提前讲。)
(3)其实在我们生活当中类似于鸡兔同笼的问题有很多的，这些问题都可以用不同的方法去解决，下面请同学们用自己喜欢的方法做一些题目?
b、解决问题
(1)有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共112条，龟和鹤各有多少只?
(2)全班一共有38人，共租了8条船，每条大船乘6人，每条小船乘4人，每条船都坐满了。问大船和小船各多少条?
(3)新星小学”环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各几人?
作业：p106;1、2、3。
板书：
鸡兔同笼
假设全是鸡，就有脚8×2=16(只)
比实际少26—16=10(只)
一只鸡比一只兔少4—2=2(只)
一、“鸡兔同笼”解题方法
鸡兔同笼问题的解题方法很多，有猜测法、画图法、假设法（假设都是鸡、假设都是兔、假设都抬腿）、列表法（逐一列举法、跳跃列举法、取中列举法）、代数法（一元一次、二元一次）等。每一种方法都各有优劣，我们来介绍主要的几种。
例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有22只脚。问：鸡有几只？兔有几只？
1、假设法。
假设法是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，将复杂的问题简单化，明朗化，从而迅速找到解题思路。
（1）假设笼子里都是鸡。若8只都是鸡，一共有8×2=16（条）腿，比实际22条腿少了22-16=6（条）腿，少这8条腿是因为把一只兔假设成一只鸡，每只就少4-2=2（条）腿，（即每只兔与每只鸡的腿数之差），6条腿需要这样的6÷2=3（只），这就是把3只兔假设成了鸡，所以兔就有3只，鸡就有8-3=5（只）。
（2）假设笼子里都是兔。若8只都是兔，一共有8×4=32（条）腿，比实际22条腿多了32-22=10（条）腿，多出的10条腿是因为把一只鸡假设成一只兔就多了4-2=2（条）腿（即每只兔与每只鸡的腿数之差），10条腿需要这样的10÷2=5（只），这就是把5只鸡假设成了兔，所以鸡就有5只，兔就有8-5=3（只）。
（3）抬腿法。 假设笼中的鸡兔训练有素，吹一声哨，它们都各抬起一只脚，即还剩22-8=14（条）腿，再吹一次口哨，它们又抬起一只脚，即还剩14-8=6（条）腿。而此时鸡一屁股坐地上了，兔子还有两只脚站立着，所以兔子有6÷2=3（只），鸡有8-3=5（只）。
2、列举法。
列举法也是数学中的通法，学生从不断尝试和调整中找到正确答案，从认知上看，列举法是学生比较容易掌握的方法。
（1）逐一列举法。（从头至尾，一个个列举）
鸡 8 7 6 5
兔 0 1 2 3
脚 16 18 20 22
（2）跳跃列举法。（从头开始，跳跃列举。）
鸡 8 6 5
兔 0 2 3
脚 16 20 22
（3）取中列举法。（从中开始，左右列举）
鸡 4 5
兔 4 3
脚 24 22
3、代数法。
代数法，要求学生分析问题中的量，确定等量关系，设未知数，列方程，求解。对学生的综合应用能力和抽象思维能力有一定要求，因此为教学增加了难点。由于小学数学只涵盖简易方程，因此二元一次方程不列入教学。
（1）一元一次方程：
解：设兔有χ只，那么鸡有（8-χ）只。根据鸡兔共有22只脚，那么有：
4χ+2（8-χ）=22 4χ+16-2χ=22 16+2χ=22
2χ=22-16 χ=3
鸡:8-3=5(只) (亦可设鸡为χ，那么兔就为（8-χ）只。而后列方程解。)
（2）二元一次方程：
解:设有鸡χ只，有兔У只，则
χ+ У =8 ①
2χ+4 У =22 ②
②-2×①得
У=3，χ=5
二、“鸡兔同笼”教学设计
鸡兔同笼中的解题方法如假设法需要学生具有较高的抽象思维能力，因此教材一般都安排在小学高年级进行。在教学过程中，教师要让学生在感受“鸡兔同笼”趣味性的同时，关注他们解题能力的提高。要引导学生在解决“鸡兔同笼”问题的过程中建立数学模型，要让学生体会到解题策略的多样性以及其中蕴含的数学思想。以下的教学设计就体现了上述特点。
（一）情景激发 揭示课题
大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载一道数学趣题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
【走进数学趣题，利用情景激发学生学习的积极性，揭示学习课题。在教学过程中，给学生展示《孙子算经》中鸡兔同笼原题，让学生感受古代数学的魅力。】
（二）分析题意，尝试画图。
例一：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有8个头，从下面数有22只脚。问：鸡有几只？兔有几只？
【鸡兔同笼原题的数据较大，不适合刚接触此种题型的学生，因此先用数据较为简单的例题，化繁为简、化难为易，有助于学生思考。】
同学们从题目中能获得哪些数学信息呢？
【引导同学们捕捉鸡兔头数脚数等隐藏信息】
猜一猜，画一画
如下图，每个圆圈代表一个头。画一画，看看能不能猜出鸡有几只，兔有几只？
【将猜想和假设并行，引导学生从用8个头猜测，从22只脚来，让学生思考其中的数学关系，为之后的代数法作铺垫。画图法的本质是假设。假设是一种重要的数学思想，它通过先假定一种情况，然后通过推导、验证来解决问题，在一定程度上将问题简单化。教学过程中利用画图假设，激发了学生兴趣，培养了学生的想象能和思考力。】
（三）理解不同，多样解题。
例二：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有20个头，从下面数有44只脚。问：鸡有几只？兔有几只？
你觉得用列表的方法方便吗？
【制造矛盾冲突，体现画图法、列表法的不方便，引导学生进一步思考和探索，同时有利于引出新方法。】
“从上面数有20个头，从下面数有44只脚”，你能根据其中的数量关系列出方程吗？
【引导学生根据题目中的数学关系列出简易方程，并在解题的过程中复习简易方程的解法，这就是代数的思想方法。这种思想方法会促进学生抽象思维的发展，提高学生从题目中找到可利用的信息并进行概括整理的能力。】
（四）亲历体验，激发兴趣。
例三：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有16只脚。问：鸡有几只？兔有几只？
每六个人分为一个小组，大家一起来体验一下“同笼”吧。
【让每个同学身临其境，体验假设法的思路，不仅让同学们体会到数学课堂的乐趣，同时使学生更深刻的记住假设法】
A、假设全是鸡，就请兔子抬起两只前脚来。这样，总脚数就少了16-2×6=4只，为什么呢？
每只兔子都抬起了2只前脚。那么，2只2只地添，添2次刚好4只脚。 其实就是一只兔子比一只鸡多4-2=2只脚，用4÷2求出有2只兔子，最后用6-2求出有4只鸡。
B、假设全是兔，就请鸡扑腾出两只来。这样，总脚数就少了（ ）只，为什么呢？
每只兔子都抬起了2只前脚。那么，2只2只地添，添（ ）次刚好（ ）只脚。 其实就是一只兔子比一只鸡多（ ）只脚，用（ ）÷（ ）求出有2（ ）只兔子，最后用（ ）-（ ）求出有（ ）只鸡。
想一想：
1、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有10只脚。可能吗？
2、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有28只脚。可能吗？
3、笼子里有若干只鸡和兔。从上面数有6个头，从下面数有15只脚。可能吗？
【先用假设全是鸡的解法，引导学生的思考方向，再假设全是兔，让学生自己思考，举一反三，加深学生的印象。对于初次接触“鸡兔同笼”问题的学生来说，这样的活动不仅感到新鲜、有趣，而且能把握住“假设法”思路的本质。从“想一想”中更是训练了学生想象能力和推理能力，培养学生善于观察、善于思考的良好学习习惯。】
（五）建立模型，优化策略。
例四：小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值5.1元,1角和5角的硬币各有多少枚?
【让学生做相似的题型，旨在建立数学模型，促进思维内化，灵活掌握解题技巧，举一反三。以后遇到如如“龟鹤问题”、“坐船问题”、“门票问题”等，学生也都可以用鸡兔同笼的解题方法式进行。这样，才能真正形成对鸡兔同笼问题的构题特征与解法思路有规律性的认识。】
（六）全课反思，总结提升。
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）07-0120-02
“鸡兔同笼”是小学数学学习中的难点内容，在苏教版和人教版教材中均有体现。“鸡兔同笼”主要是让学生感悟“假设思想”，积累用“假设思想”解决问题的活动经验，使学生在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。在此，笔者结合具体教学谈谈自己的几点思考。
【片段一】假设思维的产生
1. 假设验证，体验过程
笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头；从下面数，有26只脚。鸡和兔各有几只？
师：让我们先来猜测一下，有几只鸡，几只兔？
生1：4只鸡，4只兔。
师：可以吗？
生：可以。
生2：3只鸡，5只兔。
师：可以吗？
生：可以。
一生顿悟：只要鸡兔合起来是8只就可以了。（其余学生会意地点头默许！）
师引导：大家很善于思考，你们根据“鸡兔的总只数是8只”可以进行任意假设。
（根据学生回答板书）
师：究竟哪一种假设符合题意呢？让我们任选一种算一算。
（根据学生回答板书）
生：
师：看来只有3只鸡5只兔的假设是符合题意的。谁假设对了，恭喜你，运气真好！对鸡兔只数的假设就是对答案可能性的一种预设。
2. 尝试调整，总结规律
（1）探究调整的方向。
师：任意假设可能符合题意，也可能不符合题意。像7只鸡和1只兔，假设不符合题意的，能不能通过调整使腿数是26只呢？
请仔细观察：7鸡1兔，总脚数18只，比26只少，鸡兔只数应该向什么方向调整？你是怎么想的？在小组里交流。
生1：一只兔比一只u多2只脚，如果鸡兔的总只数不变，脚的只数比26少，那一定得减少鸡增加兔。
生2：如果6只兔2只鸡，那么一只兔比一只鸡多2只脚，如果鸡兔的总数不变，脚的只数比26多了，就减少兔增加鸡。
师：大家同意他们的想法吗？
生齐：同意。
师：大家能根据数量关系进行分析并找到调整的方向，很棒！
（2）探究调整的方法。
师：7鸡1兔18条腿，怎样调整鸡兔的只数才能符合26只脚呢？
生1：7鸡1兔18条腿，比26少，必须增加兔减少鸡。尝试6鸡2兔20条腿，5鸡3兔22条腿……3鸡5兔26条腿，成功啦！
师：我发现你的调整速度越来越快，是你发现了什么吗？
生：对，我发现每减少一只鸡，增加一只兔，总脚数就会增加2只。
师：聪明，这位同学是根据鸡兔只数和脚的只数变化的关系，一步一步调整得到符合题意的答案。
生2：7鸡1兔18条腿，题目要求26只脚，少了8只脚，每增加1只兔减少1只鸡脚就增加2只脚，8里面有4个2，增加4只兔减少4只鸡就符合题意了。
师：这位同学是在刚才认识的基础上一步到位，复杂问题简单化，祝贺你！不论是一步一步调整，还是一步调整到位，都是抓住了鸡兔只数变化引起脚的只数变化的关系。它的规律是什么呢？
生3：一只鸡有2只脚，一只兔有4只脚，当把一只鸡换成一只兔，总脚数会减少2只；反过来，把一只兔换成一只鸡，总脚数会增加2只。
师（惊讶）：这是我们解决“鸡兔同笼”问题的规律。我们利用这个规律，就能把假设的结果通过调整得到符合题意的只数。刚才大家经历的这个感悟“假设”思维的过程就是学会数学思维、学会创造（再创造）的过程。
【片段二】假设思维的运用
1. 任意假设，列式计算
师：任意假设鸡兔的只数，能根据规律一步到位，调整到符合题意的只数吗？
生1：可以。如假设4只鸡，4只兔，共24条腿，题目要求26只脚，少了2只脚，每增加1只兔减少1只鸡脚就增加2只脚，2里面有1个2，增加1只兔减少1只鸡就符合题意了。
生2：如假设5只鸡，3只兔……也可以一步到位，调整到符合题意的只数。
生3：……我也可以。
2. 极端假设，列式计算
师：发现这个规律，无论怎样假设，都能通过调整一步到位得到符合题意的只数。我们甚至可以假设全部是鸡，也就是从8鸡0兔开始假设；或者假设全部是兔，也就是从0鸡8兔开始假设。可以吗？
生（齐）：可以。
师：你们能用算式把调整的过程表示出来吗？
生：假设全是鸡或假设全是兔列式解答。（略）
师：这叫极端假设。任意假设和极端假设列式计算，你更喜欢哪种？
生1：任意假设、极端假设鸡、兔的只数都要调整。
生2：任意假设鸡、兔的只数可能都要调整。
生3：极端假设只用调整其中一种就行。
生4：极端假设比任意假设解决问题更简便，因此我选择极端假设。
……
师：选择是智慧，这就是假设的意义、价值。
【反思】
1. 准确挖掘“鸡兔同笼”教学中的数学思想
利用“数学广角”有意义地渗透数学思维方法到学生学习过程中，使学生通过观察、尝试、假设、推理与交流，感受数学思维的奇妙、严谨，使他们逐步形成探索数学的兴趣，感受数学的美。传统的“鸡兔同笼”教学往往将其定位为“解决问题”的专题讲座，用列表法、算术法、方程法等解决“鸡兔同笼”问题。教学目标是培养学生学会解“鸡兔同笼”问题，仅仅停留在知识、技能层面，未能很好地挖掘“数学广角”背景下 “鸡兔同笼” 教学的数学核心素养。
笔者认为，“鸡兔同笼”应定位为：借“鸡兔同笼”素材让学生经历体悟“假设思维”的产生、应用及拓展过程，是学生学会思考、学会创造、理解数学的美、培养他们数学兴趣的活动。数学的生命力就在于它能够有效地解决现实世界向我们提出的各种问题，数学模型正是联系数学与现实世界的桥梁。学生在自主探索中建构“假设”的数学模型，将现实问题转化成数学模型是对学生解决问题能力的检验，也是培养学生数学核心素养的重要途径。
2. 切实让学生在经历“假设”的过程中积淀数学素养
本课笔者设计了这样的一条主线：
中图分类号：G623.56 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）18-0092-03
“鸡兔同笼问题”是我国古代数学名著《孙子算经》中记载的一道数学趣题，其解法之多、思想之广、变式之灵活是众所皆知的。正因为如此，这节课的教学方式丰富多彩，在名师展示的舞台上更演绎出多种方法，有的侧重于画图，认为这是最直观、最容易理解的方法；有的侧重于列表，认为学生有列表的经验；有的侧重于假设，认为假设法书写简洁方便。如今，该内容已经出现在新版四年级数学教材中，而且将方程的解法置之度外，其难度可想而知。那么，这节课如何教学呢？
笔者认为，“鸡兔同笼问题”看似是3种不同的方法，但其本质都是“调整替换”。追寻本源发现，“鸡兔同笼问题”中随着鸡的数量逐一增加，鸡和兔脚的总数按2只递减。正是由于这一基本变化规律，很容易得出结论：如果脚减少2只，应该将1只兔换成1只鸡。反之，脚增加2只，应该将1只鸡换成1只兔。在小学数学中，探索规律是让学生在给定的事物中发现、探求隐含的规律或变化趋势，而“鸡兔同笼问题”就是要通过画图、列表、算式等方法，让学生经历“初步感知规律、发现形成规律、应用规律”这样的过程，因而本节课的教学实质是规律教学，应该纳入规律教学的范畴，需要走规律教学的路径，其3种方法的教学缺一不可。
一、画图法――初步感知规律
规律是指事物之间的内在本质联系，是客观存在的，不以人们的意志为转移。找规律重在“找”，学生通过自主探索、动手操作来感知内在联系。教学“鸡兔同笼问题”时，可用画图法来“找”规律、感知规律，这是规律教学的着力点。教学前，笔者先进行前测。前测题如下：
1. 鸡兔同笼，从上面看共有3个头，从下面看共有16条腿，鸡、兔有几只？
2. 鸡兔同笼，从上面看共有8个头，从下面看共有26条腿，鸡、兔各有几只？
据统计，一共收到52份前测卷，用画图解决的有35人，列算式的3人，列表的1人。第一题做对36人，第二题做对28人。显然，画图是学生最喜欢用的方法，正因为学生有这样的经验，为“鸡兔同笼”的规律教学奠定了基础。虽然学生呈现的静态图一样（见图1），但在画的过程中想法是不一样的。笔者访谈了几位学生，发现学生的方法不一：有的毫无计划性，鸡画几只，兔画几只，最后调整；有的对半分开画，先画鸡兔各半，再调整；还有的先全部画鸡，多出来的腿按2条一组添上去变成兔。虽然学生画的方法不一样，但他们都经历了“调整替换”的过程。画图是最直观的解题方法，旨在通过画图中的有序思考发现、形成规律，并嫁接起列表法、假设法，教师必须放慢脚步，让学生都来讲讲自己的画法，在聆听别人有序思考的基础上初步感知规律，提升思维品质。
【教学片断】
师：画出来的结果都是这样的，可画的过程不一样。
（画法1：全是鸡，一生画并讲解。）
师：再加2条腿，这只鸡发生了什么变化？
（画法2：全部是兔，或者是4只鸡、1只兔）让学生选择一种喜欢的画法，与同桌交流。
师：其实，还有很多画法，有的学生直接画成2只鸡、3只兔，或者3只鸡、2只兔，腿数不对再调整。像这样的画法就是先假设再调整，有的学生一次性替换，也有的逐只替换。
通过对前测中学生不同画法的交流，可以发现学生对“鸡兔同笼问题”的内在规律已经有了初步感知，替换一次多（少）2条腿。教师不能只教会学生一道题的解题思路和方法，而是要通过一道题类推到一类题，做到举一反三、触类旁通，帮助学生建立“鸡兔同笼问题”的模型。例如，学生熟悉的摩托车和小汽车问题、龟鹤问题等，都与鸡兔问题模型完全一致，能够使学生很好地建立起联系。此外，让学生通过画图感知“相差数都是2”，所以，调整替换的时候是2条腿。当变式“相差数是1”时，学生理解就有困难。笔者特意在解决摩托车和小汽车问题后设置三轮车和小汽车的问题，让学生先画一画，充分感知“相差数是1”的规律，画图能让学生非常直观地感知到“调整替换”的就是两个量的差，它是根据情境变化而变化的。
学生已经有了画图找规律的经验，而“鸡兔同笼问题”中头数与腿数的变化规律隐含在替换过程中，学生通过画图才能直观感知内在规律。所以，通过画图，可以帮助学生感知“鸡兔同笼问题”用相差数替换的规律、发现形成规律、发展形象思维能力。
二、列表法――发现形成规律
列表能清晰地表示两个量之间的数量关系，在变与不变中发现规律。从直观的画图到半抽象的列表，有利于学生发现、形成规律。通过画图，学生对“鸡兔同笼问题”的规律已经有了初步感知，但此时的感知是粗浅的、零散的，需要整理、对比、分析，才便于学生发现形成规律。
表格中的数据相对抽象，学生理解有一定难度，尤其是不明白每个数据表示的意思，见表1。相互交流时，很多学生一脸茫然，不知所云。于是，笔者拿出鸡和兔的若干图片，让学生用调整替换的思想来摆一摆、说一说，在操作中感知替换的过程。
表1
【教学片断】
师：大家能理解这个方法吗，第一列是什么意思呢？老师今天特意把兔和鸡都请来了，看看它们怎么变化。
生：把它们全部想成鸡，5个头，每只鸡2条腿，一共10条腿。
师：想一想，这时腿发生了怎样的变化？
生：……
师：是啊，其实就是用兔子换了这只鸡，每换1只鸡，多了……
生：2条腿。
师：这个时候，鸡其实就是变成了……
生：兔。
师：一直到换到16条腿，为什么不再换下去了？
生：……
就这么简单的摆一摆、换一换，将表中每个数据的含义诠释得一清二楚，尤其是让学生发现了邻近两列数之间的变化规律：每换1只兔子就多了2条腿，真正理解了“2”表示的意义，它并非是鸡的2条腿，而是1只鸡和1只兔腿的差。这个替换的过程在画图时学生有了初步感知，但还有部分学生一知半解。因为画的时候学生只关注腿的数量，而忽视了头的变化。所以，将静态的数据用动态的操作去支撑，更有利于对规律的理解，更有利于模型的建立，有利于学生逐步发现规律。除了理解表格中每个数据的含义，以及邻近两列数字的变化规律还不够，学生只理解了逐只调整替换的过程，无法与一次性替换的画法有效嫁接。所以，应在学生基本理解列表法的基础上完成表格，并对表格进行再度挖掘，引导学生发现规律。
【教学片断】
师：你能从表2中看到第一个同学的画法吗？
生：先全部画鸡，一共10条腿，发现还多6条腿……多了6条腿，要把3只鸡替换成兔。因为每换1只多2条腿。
师：谁上来指一指，他讲的是哪两列数之间的关系？能从表2中看到其他画法吗？
生：……
表2
在这节课中，列表法并不是孤立的，它是在学生通过画图初步感知规律的基础上发现形成规律的过程，这是必不可少的方法。1张表格由于观察角度不同，学生看到的调整替换过程也不同，应引导学生与画法相联系来分析表格中的数据，看懂每一种画法，为弄清抽象规律、应用规律奠定基础。在教学中，不仅要让列表法与画图法相联系，便于学生更好地理解列表法，还要让列表法与假设法相联系，为学生学习假设法打好基础，成为发展学生思维能力的载体。
三、假设法――应用规律
学生对数学规律的学习，除了感知规律、发现形成规律外，更重要的是能运用规律解决一些实际问题。当“鸡兔同笼问题”涉及的数据越来越大、越来越复杂的时候，学生越来越感觉到画图法和列表法的繁杂，同时，他们对其中的规律已经明晰，这时假设法便应运而生。运用假设法解决“鸡兔同笼”问题，学生不难总结出如下规律：鸡的只数=（头的总个数×4-脚的总只数）÷（4-2），兔的只数=（脚的总只数-头的总个数×2）÷（4-2）。运用这个数学模型，可以快速解决类似问题。数学建模是解决实际问题的一种思考方法，数学教师有责任让学生学习和初步掌握数学建模的思想方法，从而更积极、主动地学习数学，使学生终身受益。
【教学片断】
师：大家看，摩托车和小汽车其实与“鸡兔同笼问题”类似。停车场有摩托车和小汽车共35辆车，（ ）个轮胎，摩托车和小汽车各有几辆？轮胎数据就在下面3个数据之中：A. 56；B. 160；C. 94，你会选哪个？
生：A太少，如果全是摩托车，就有70个轮胎；B太多，如果全是汽车，最多140个轮胎。
师：也就是说，这个轮胎的数量比70多，比140少，于是选C。你们想到了刚才那道题目吗？笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？它们有什么相同之处？
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题,最早出现在《孙子算经》中:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”。
小学数学教材主要是借助我国古代趣题“鸡兔同笼”这个题材,培养学生从多角度思考,运用多种方法解决问题的能力。因此重在研究解决“鸡兔同笼”问题的方法和策略上。我认为必须让学生经历从多种角度思考,运用多种方法解决问题的过程,使学生展开讨论,根据自己已有的经验,不断调整解题策略,逐步探讨出不同的方法,找到合理解决问题的策略;并在合作交流学习的过程中,积累解决问题的经验,掌握解决问题的方法,并灵活运用该方法解决生活中的类似“鸡兔同笼”问题。
在备课之初,为了找到一种既简易易懂又非常实用的方法,我查阅了网上名师的有关资料,并与数学组的各位老师交流了他们的教学经验,归结下来主要有以下几方面:
(1)列表法:
(2)画图法:给每只动物先安上2条腿(也就是都看成鸡),这样一共用70条腿,还剩下24条腿。一次增加2条腿,一只鸡就变成了一只兔,要把24条安完,要把12只鸡变成兔。
(3)假设法(算术法):
假设都是鸡时,比实际少了24只脚,是因为把一些兔也看成是鸡了,把一只兔看成一只鸡少算2只脚,那么把12只兔看成鸡时会少24只脚。因此,计算兔的方法是:(94-2×35)÷(4-2)=12(只兔),35-12=23(只鸡)
假设都是兔呢?由于有了第一种假设方法的经验,第二种假设方法我就放手给学生尝试、让学生说理:假设都是兔时,有140只脚,比实际多出了46只脚,是因为把一些鸡看成是兔了,把一只鸡看成一只兔多算2只脚,那么把几只鸡看成兔时会多算46只脚呢?推算得出有23只鸡,那么就有12只兔。水到渠成,在此基础上,学生自然能列出正确的算式先计算鸡的只数,再计算兔的只数。
(4)列方程法。列方程解题的过程:
①解:设兔有x只,那么鸡有(35-x)只。鸡兔共有94只脚,就是:
4x+2(35-x)=94
x=12
35-12=23(只)
②解:设鸡有x只,那么兔有(35-x)只。鸡兔共有94只脚,就是:
2x+4(35-x)=94
x=23
35-23=12(只)
(5)砍足法:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”。这样,①鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;②如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只)。显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了。
这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,直到最终把它归成某个已经解决的问题。
对于我班多数的学生来说,学习《鸡兔同笼》可能会有一定的难度。本节课属于综合应用课,其目的是加强数学知识与现实生活中问题的结合,以提高学生综合应用的能力。借助“鸡兔同笼”这个载体,初步获得一些数学活动的经验,在活动中引导学生自主探索,积极思考,从中体会出解决问题的一般策略。
在本节课的教学中,我感觉:
1.课堂上,多数学生的积极性还是比较高的。先让学生独立思考或小组讨论,再在全班共同交流评价。学生在民主、和谐的氛围中开拓了思维,达到了运用多种方法解决问题的目的。体现了学生是学习的主人。但部分学生会做却不会表达、不敢表达,口语表达能力欠佳。
2.课堂上,通过学习,使学生知道了假设的数学思想不仅可以解答古代趣题――鸡兔同笼问题,还能解答我们身边的问题。体会到数学就在我们身边。
3.课堂上,注重关注每一个同学的发展,在交流探讨中,鼓励不同学生采用不同的解题方法。效果还不错。
在课堂交流探究中,我班的一位女同学给老师提出了这样的观点:“老师,你经常说数学是一门比较严密的学科,当今的新课程要体现人文的理念。你所讲的假设法――不直观;砍足法――不人文。”
我面带微笑有意识地诱导她:“那你说说怎样设计就比较直观、人文化了呢?”
她看了一眼窗外纷飞的雪花,走上了讲台,用她那甜美的童声叙述起来:“在一片美丽的大森林里,住着白雪公主、七个小矮人以及他们的动物伙伴们。有一天,下了入冬以来的第一场雪。七个小矮人驾着雪橇去给其他的小动物送礼物。白雪公主像往常一样走进了五(5)班的教室上数学课。多媒体演示屏上出现了《孙子算经》中的鸡兔同笼问题……”
在她设计的童话般的情境中,人和动物是那么的和谐和安详,白雪公主先是请笼子中的小兔全体立正,动物们就都变成了两条腿,这时的笼中共有35×2=70条腿,比原先少了94-70=24条腿,少的腿数正好是立正的兔子的前腿,兔子只数就是24÷(4-2)=12只,鸡的只数就是35-12=23只;同理,她让笼中的鸡都放下前翅,变成四只脚,求出兔子的只数。
课后我和好多同学交流时,他们都说以前的方法太难懂、古板、缺少人文情感,全都喜欢让兔子立正和让鸡放下前翅的情景。
甲同学说:“好好的动物,为啥要把鸡当作兔或把兔当作鸡呢?本身它们就是我们这个世界上活生生的个体。”
乙同学说:“现在提倡人和动物和谐相处,保护动物,为啥非得在解决问题时用――砍足法,太不尊重别人啦,充满血腥味”。
……
面对一双双求知若渴的眼睛,一颗颗充满创新与探究的心灵,我不断地反思自己的教学设计,不断地从课堂第一线汲取营养,充实自我,以下是我的几点体会,供同行共勉:
1.学生是教育教学活动主体力量,所有的教育教学活动的出发点和归宿都是学生的成长和发展。而小学生的年龄与心理特点都与成人有明显的区别,在教学活动中,很多时候、很多情况下,儿童所看到的、感受到的、意识到的,与我们成人的是不一样的。这就要求教师必须设身处地站在儿童的视角去考虑问题。这既是新课程实施过程中落实学生主体地位、促进学生全面、健康发展的必然要求,也是日常教育教学活动中提高教学活动的必由之路。每位教育工作者都要从儿童的视角看问题,多向儿童思维要方法、要法宝,有效采取符合儿童身心特点的教育方式与教学策略,尽力为学生创建健康、安全、卫生、快乐的学习环境与生活环境。
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）03-0138-03
“鸡兔同笼”是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？古人解答“鸡兔同笼”的方法主要是假设法，于是，假设法也成为了解答“鸡兔同笼”的主要方法。发展至今，“鸡兔同笼”已经成为了一类问题的代名词，称为“鸡兔同笼”问题。
一、各种版本教材分析
“鸡兔同笼”作为一种经典名题，从教育的角度看，定位于不同解题方法不是随意的，我们所接触到的各个版本教材都有自己的独到之处，将解法的难度与学生的可接受水平结合起来进行了充分的考量。归纳起来，基本有这样的逻辑序列：一年级可以应用数形结合的思想选择画图法，二、三年级可以应用枚举的思想选择列表法，四年级可以应用假设的思想选择假设法，五年级可以应用方程的思想选择方程法。在国标新教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。
人教版编排“数学广角”主要是想“通过简单的事例渗透一些重要的数学思想方法，或者介绍一些比较著名的数学问题，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。最重要的目的是让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。”从而逐步实现《标准》所提出的教育教学目标。比如“鸡兔同笼”问题，就是借助于古代的数学名题，教授学生运用猜测法、列举法、假设法、代数法等方法解决问题，教师在教学时不能仅仅局限于问题本身，而应通过解决问题帮助学生掌握解题的一般方法，获得必要的数学知识。因此，教师要充分了解人教版编排“数学广角”的这些目的和意义，才能在教学时做到心中有数，准确把握。
人教版实验教材《教师用书》上对这个编排是这样说明的：一方面可以培养学生的逻辑推理能力；另一方面使学生体会代数方法的一般性。对这个内容的编排特点是这样阐述的：1. 由《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题引入，激发学生的解题兴趣。2. 注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。3. 拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，明确其在生活中的应用。
二、各地名家教法分析
按理说，教师用书上有如此清晰的说明，那么本课的教学应该是没什么争议，有一个统一的教学结构。然而实际却并非我们想象的那样。据了解，目前六年级教学“鸡兔同笼”问题的方法是大相径庭，主要有以下几种课型结构：
1.几种方法一起教的。
这种课现在较为多见。在我看到的网络视频教学实录中，几乎都是这样的课型。其中以列表、假设和方程三种方法一起教学居多。因为列表可以让那些学习能力相对较弱的学生有一个解题的模型，使他们也能较好地解答“鸡兔同笼”问题。而假设法和方程则可以让那些学习较好的学生根据自己的喜好选择使用。这样就可以实现“全面掌握”的目标。也有在课堂上专门教学假设法和方程的。因为列表太低级了，六年级的学生应该可以理解假设法和方程的，至少可以掌握其中的一种方法，因此在课堂上只要重点教学这两种方法就可以了。
2.专门教一种方法的。
在一些活动中，也有只教学一种方法的。这样做的老师认为：在一堂课40分钟中，既要教学列表，又要教学假设法，还要教学方程，到最后往往是一样都没有吃透。与其如此，不如在课堂上就教学一种方法，并把这种方法放大、教透。其中，以专门教学假设法的居多。因为假设法是解答“鸡兔同笼”问题的主要方法，因此选用假设法是名正言顺了的事情。如果以方程为主要方法，那么除了问题本身之外，在计算层面上还要面对一个新的问题――如何解“鸡兔同笼”问题的方程，因为“鸡兔同笼”问题的方程明显高于小学阶段方程教学的要求。如果这样理解，那么选择假设法就显得更为合理了。
3.将学生置于一种“已会”状态的。
刚刚看了一位名师的课堂实录。这位老师就是将学生置于了一种“已会”的状态，具体做法是：呈现“鸡兔同笼”的典型问题，学生独立解答，反馈交流学生的方法，有假设法、方程、枚举等，在让学生解释自己的方法的同时，教师进行简单地引导，最后通过对比，让学生感悟假设法的优点，就算完成了“鸡兔同笼”问题解法的教学。教师虽然没有明说要用假设法解题，但在无形中还是体现着以假设法为主的思想。
分析这几种课型，虽然出现了与《教师用书》不相吻合的情况，但其做法都是有道理的，都有自己对“鸡兔同笼”问题教学的理解。那么就给我们带来了一个困惑：六年级到底该怎么教学“鸡兔同笼”问题？
三、学生学习现状分析
在上面说到的几种课型中，出现了解答“鸡兔同笼”问题的几种基本方法：假设法、方程法、列表法、枚举法和画图法。我们想象一下，在学生还不曾接触过“鸡兔同笼”问题的前提下，让学生尝试解答“鸡兔同笼”问题，他们会出现哪些方法呢？六年级学生知道“鸡兔同笼”问题也是很正常的。因为“鸡兔同笼”是中国趣题之一，“鸡兔同笼”这个名词在中国夸张的说可谓“妇孺皆知”，而问题的解决方法，很多家长可能早就与孩子讲过，学生也可以通过很多渠道了解甚至是掌握这方面的知识。正因为如此，就给六年级教学“鸡兔同笼”问题带来了新的挑战。那么学生的知道程度到底怎么样呢？我们不敢断言。但我们可以通过一些调查，说明一些问题。检测分两次进行，第一次是在学生没有一点准备的情况下的盲测，第二次是在学生自学完课本之后的再测。
调查的题目和问题：
题目：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚。笼子里有鸡和兔各几只？
问题：
1.像上面这样的问题我们一般称为（ ）问题。
2.这个名称你大概在（ ）年级时知道的？是怎么知道的？
3.你有什么办法可以把这道题目解答出来？（把你的方法写下来，列式，画图，方程，列表，文字说明都可以，能用几种解答就用几种方法。）
调研对象及样本数量：六年级两个班，共计65人。
调研结果分析：
学生对于列表法掌握的情况最为理想。列表法应用的是数学中的枚举思想，其特点是简洁，这种起点低、易操作的解题方法在学生的脑海中留下了深刻的印象，被广大学生所接受、理解。学生应用了枚举的思想，经历了列表、尝试和不断调整的过程，从中体会数学的乐趣。
对于画图法，调研学生中有60.47%采用。通过调研后的访谈，我进一步了解到，学生基本上都会画图法，但是有一部分学习情况较好的学生认为画图法容易受数据太多太大的影响而没有使用。看来，学生对于这一解题方法还是基本认可的，它所存在的局限性学生也是有所了解的。
假设法，调研学生中有58.14%采用。就数学学习本身而言，假设法是一种重要的解题方法，许多问题都可以用假设的方法而得到解决。而鸡兔同笼问题的算术解法就是依据假设的方法来解决的。单就前文所述的列表法其中也蕴含着假设的思想，此外还有一些“化归法”“砍足法”以及上面提到的公式法，归根结底都是应用了假设的数学思想。因此，教师应该引导学生在反复运用列表方法的基础上，渗透并让学生真正理解假设的方法，以便为学生掌握鸡兔同笼的算术解法奠定基础，同时也为培养学生的思维能力奠定基础。
方程法的调研结果仅为11.63%。单从解题方法的角度而言，方程法远比画图、列表之类的方法要快捷、简便，这种简便有其固有的数学价值，但是六年级的学生对此却并不乐于接受。在后续的访谈中，我进一步了解到学生不用方程法的主要原因有两个：一是“不习惯用”；二是“不会用”。的确，解决“鸡兔同笼”问题的一元一次方程，在设句、列法、解法上，明显超过六年级所学方程的难度。同时，χ在减数位置的方程，现行教材回避教学，学生不会解答，对未知数在减数位置的情况没有深刻的认知，只有设每份数大的为χ才可以避免。学生的这些认知基础，导致他们对于列方程解“鸡兔同笼”没有亲切感。此外，关系性思维的欠缺导致六年级学生对于方程的本质也尚未形成良好的认知（关系性思维特征包括利用基本的数字和运算形式对数学表达式进行转换，而不仅仅是依据既定顺序的程度简单地计算出结果）。学生要想使用方程求解务必要进行建模，而建模的依据就是等号左右两边的两件事情在数学上是等价的。把未知当做条件进行建模并解答的意识和能力还不够。在这样的情况下，强加方程于学生，事倍功半是可以预见的。我相信，当学生在以后学习了“二元一次方程组”这一解决“鸡兔同笼”问题的最佳模型后，用方程组解“鸡兔同笼”必定能成为学生最乐学乐用的方法，理解其数学模型也是水到渠成的事情。
列表法是从全部假设成鸡或全部假设成兔开始一个一个推算的，假设法也是利用全部假设是鸡或兔来思考推理的。从这个思维层面上讲，这两种方法具有一个共同的特征：全部想成鸡或兔。所以，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。基于这样的分析，我们可以发现，如果学生能使用假设法或列表法，那么他们首先要实现一个思维上的飞跃：全部想成鸡或兔。而让一个未曾接触过“鸡兔同笼”的学生独立来实现这样的思维跳飞，显然是有一定难度的。这是因为学生的思维受到了题目语句“笼子里有若干只鸡和兔”的束缚。
四、自己教学定位分析
多数老师是在三、四年级用它给孩子们讲假设法；特级教师徐斌曾尝试在二年级教鸡兔同笼问题，用它讲画示意图解题；在中学里，老师则用它来讲二元一次方程组。同一个载体鸡兔同笼问题，不同的老师，在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材你可以赋予它不同的使命，这也许就是大家常挂在嘴边的“用教材教”。经过综合分析，我的“鸡兔同笼”教学最主要的目标不应该定位在为了解决“鸡兔同笼”问题的本身上；而是应该定位在借助“鸡兔同笼”这个载体让学生历经列表、假设和方程的过程，并沟通这几种方法之间的联系，借助列表让学生学会假设法，借助假设体会方程的一般性。因此让学生认识、理解、运用假设法是本节课的教学重点，也是教学难点。采取以表格中数据变化规律为探究基础，以小组合作、师生互动为探究方式，将学生的认知经验和思维过程转化成数学语言，即数学算式，从而形成解决问题的全新的一般策略，发展学生的思维水平和推理能力。因此本节课最大的价值是借助假设法，帮助学生实现“全部想成鸡或兔”的思维飞跃，在发展学生的推理能力同时，形成一种解决“鸡兔同笼” 问题类型的思维方法。此外也是一个重要的要实现的教学目标是渗透一些基本的数学思想和方法。如：用容易探究的小数量替代《孙子算经》原题中的大数量的“替换法”解决问题，渗透了转化的思想和方法；用“列表法”解决问题，渗透了函数的思想和方法；用“算术法”解决问题，渗透了假设的思想和方法；用“方程法”解决问题，渗透了代数的思想和方法等等。这些对于学生而言，无疑奠定了可持续发展的坚实基础。
本节课的教学重点和难点都是理解和运用假设法。“假设法”是科学研究中常用的一种思维方法，也是解决数学问题的一种重要策略。它是指根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，使复杂的情境简单化，隐蔽的数量关系明朗化，使问题较为容易地得到解决。使用“假设法”要注意两点：一，假设要符合题意，要找准与假设内容相对应的数量关系；二，假设要周密，要善于把假定的内容和数据加以调整，从而得到正确的答案。
用假设法解决的数学问题有很多，“鸡兔同笼”问题只是用假设法解决的诸多问题中的一类，其方法特征主要表现为全部假设成A或B。这个特征具体体现在“鸡兔同笼”问题教学中，那就是四个步骤：假设――计算――推理――解答。根据上述分析，假设法教学的思路应该已经非常清晰了，即围绕“假设――计算――推理――解答”这四个步骤展开。同时我们可以想象，推理应该是学生学习时的难点，只要注意引导就可以了。
【教学片断】
1.把所有的猜测有序地表示出来就是列表法。请你试着根据黑板上的这些猜测列成完整的表格。做在作业纸上。
2.书113页已经帮你列了一个表，看一看你的表格和它一样吗？还能怎样列表格？请你把书上的表格填完整，找到正确答案圈出来。
3.观察表格，寻找规律。
从左向右观察 __________________________________
从右向左观察 __________________________________
从上向下观察 __________________________________
从下向上观察 __________________________________
观察第一列 __________________________________
观察最后一列 __________________________________
观察脚数的特征__________________________________
4.如果鸡和兔一共100只呢，我们还要列表吗？
5.是不是我们刚才列表找规律这件事白做了呢？列表有什么用呢？
当头和脚的只数数据较大时，猜想和列表就不容易找出答案了。我们还有研究新方法的必要。那么在猜想和列表中找到的规律可以帮助去研究新的更加一般的方法。
6.如果全部假设成鸡，用列表法中的哪一列进行思考？如果全部假设成兔呢，其实就是表格中的第几列？可以画示意图帮助理解。 7.如果假设鸡为x只，兔为（ ）只。如果假设兔为x只，鸡为（ ）只。你能把表格补充完整吗？
8.如果假设鸡为x只，兔为y只。你会用这两个字母列一个等式吗？反过来，如果假设兔为x只，鸡为y只呢？你还能把表格补充完整吗？
让学生在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动中，用数学语言清晰地表达自己的想法。从课初的随意猜想到表格中的有序猜想，从一般验证到表格中数据变化规律的发现，从列表法很快自然联想到假设法、代数法，学生的思维经历从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，注重不同策略间的相互联系和影响，注重解决问题策略的局限性和一般性，学生的思维能力随之得到提升。
参考文献：
[1]郑毓信著：《国际视角下的小学数学教育》，人民教育出版社2004年1月版。
[2]吴亚萍著：《小学数学教学新视野》，上海教育出版社2006年1月版。
[3]（韩）裴钟秀著金景成译：《我的数学有生命》，长春出版社2005年7月版。
[4]何怀宏著：《问题意识》，山东友谊出版社2005年1月版。 [5]吴义方，吴卸耀编著：《数字文化趣谈》，上海大学出版社2005年1月版。
[6]曹培英著：《小学数学教学改革探析》，人民教育出版社2004年9月版。
[7]季素月主编：《给数学教师的101条建议》，南京师范大学出版社2005年10月版。
[8]（美）James A. Middleton Polly Goepfert 著 伍新春，张洁等译：《数学教学的创新策略》，中国轻工业出版社2003年6月版。
在学习“鸡兔同笼”问题之前，学生已经有过用假设法解决问题的经验，但因为鸡兔同笼问题的数量关系比较隐蔽且抽象，中年级学生思维以具体形象思维为主，他们理解起来有困难。如果没有有效的启发和引导，一部分学生可能不知道怎样根据假设产生的“矛盾”进行推理。在应用过程中，有的学生可能会停留在表面素材的认识，不能根据内在数量关系的特征来理解和应用，造成“只知鸡兔，不知其他”，碰到类似的问题无从下手，也就是不会类比联想，不能学以致用。
二、教学策略建议
本节课应让学生亲身经历鸡兔同笼问题解决的过程，通过猜想验证、讨论交流等方式，让学生在推理思考的过程中了解和感悟数学思想，掌握不同的解题策略和方法。就具体方法而言，主要有画图法、列表法、假设法等。
1. 画图尝试，直观推理。
用画图法解决鸡兔同笼题，部分教师觉得既费时又麻烦，在教学过程中不重视给予呈现和引导。但笔者认为，画图法至少有三个好处：其一，内隐的数量关系以直观的手段呈现，体现了几何直观的高级思维方式，有利于发展学生解决问题的策略。其二，适应中年级学生以具体形象为主的思维特点，学生借助直观的手段进行推理，让数学内容变得容易理解。其三，数与形之间的变化，让数学学习过程变得新奇有趣，有利于激发学生学习数学的积极情感。
在例1教学中，鸡兔数量总和比较少（8只），可以先尝试用画图法进行直观推理。教师可以先教学生用简图表示鸡和兔，本题讲的是头和腿的问题，所以可以用“”表示头，用“|”表示腿。然后，可以让学生自己尝试用画图法解决问题。学生呈现的思路可能有以下两种：其一，先1只鸡对应1只兔画，画完3只鸡和兔时，还剩下2个头，8条腿，即剩下2只兔，总共是3只鸡和5只兔。其二，分别画4只鸡和4只兔，发现腿的总条数少了2只腿，把一只鸡换成一只兔，变成3只鸡和5只兔。在第一种思路中，在学生分别画了3只鸡和3只兔时，教师可以依次提问如下：“还剩下几个头几只腿没有画？”“剩下2个头8条腿，说明剩下的动物可能是2只鸡吗？”“可能是1只鸡1只兔吗？”“为什么是剩下2只兔？”通过上述提问启发学生完成思维推理过程。在第二种思路中，应先引导学生发现推理中的矛盾：鸡兔总数满8只，腿还差2条。然后让学生围绕以下问题进行讨论：“腿差2条，可以再画1只鸡吗？”“如何在不改变鸡兔总数的前提下解决少2条腿的问题？”“这时候鸡有几只？兔有几只？”推理的特征在于严密性和逻辑性，上述这些问题的设计，既可以帮助学生自主完成思维推理的过程，还可以启发学生在思考讨论的过程中感受推理的特征。
2. 表格调整，比较推理。
画图法虽然直观，但如果鸡兔总数比较多，又需要逐一枚举各种情况的时候，可以用表格法解决问题。这也是初中数学常用的解题方法。很多学生不愿意使用逐一枚举的方法，认为太烦琐，有些教师也不够重视。其实，表格法看上去烦琐，但是对于培养推理能力而言却又独具价值。借助列表，学生可以把所有的情况逐一展现，能做到既不重复也不遗漏，培养学生有序思考的习惯。也可以让学生观察表格中数字的变化特征，发现隐藏的数量关系和规律。在借助表格法解决鸡兔同笼问题时，学生呈现的策略一般有三种：逐一枚举、取中枚举或极值列表。
在用逐一枚举法列表时，教师可以先呈现“鸡兔一共有8只”这个条件帮助学生做一些必要的梳理，如“鸡兔分别有几只，一共有几种可能？”逐一枚举的过程其实就是一个推理的过程，教师要注意训练学生做到不重复不遗漏，当然，也可以观察算式对称性特点（如0+8，1+7，2+6，3+5，4+4，5+3等），得到一共有9种可能，这就提升了推理的思维活动经验。
值得一提的是，学生尝试用枚举验证的方法时，如果按顺序依次枚举，最少尝试4次就可以找到答案，反之，如果是杂乱的枚举，最多需要9次才能找到正确结果。当然，教师不应满足于解决鸡兔只数的问题，可以呈现所有的情况，让学生观察其中的规律，如表1。
让学生明白，“在鸡兔总数不变的情况下，鸡每增加一只，总腿数就减少2条”，反之，“在鸡兔总数不变的情况下，兔每增加一只，总腿数就增加2条”。明白了这个道理，教师可以从优化推理的角度引导学生不断优化枚举的过程。如，当枚举出现“5只鸡3只兔”的时候，总腿数需要增加4条，只要把其中的2只鸡换成2只兔即可。教师还可以借助表格让学生充分举例进行推理调整，比如出现“7只鸡1只兔、2只鸡6只兔时……”让学生充分说理，多次经历推理思考过程。
有的学生可能会根据总数为8这个偶数特征，提出取中枚举的思路，即从“4只鸡，4只兔”出发，进行推理。教师可以抓住推理过程中的矛盾，启发学生思考并表达自己的看法：“当鸡兔只数都为4只时，比总腿数少了2条，该怎么办？”“把兔换成鸡还是把鸡换成兔？为什么？”“需要把几只鸡换成兔？为什么？”
3. 假设推理，优化推理。
前面已经提到，如果仅从“鸡兔总数共8只”这个条件出发进行假设，一共可以呈现9种不同的情况，但有些极端的假设可以用推理的方式排除，比如问学生“这8只有可能都是鸡吗？有可能都是兔吗？为什么？”学生很容易排除这两种假设。但这种假设是不是都没有意义呢？笔者认为，假设是推理的前提，教材中呈现的假设法其实就是利用这种极端的情况――“假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理。从这个思维层面上讲，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升。因此，教学“鸡兔同笼”问题，要把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法，在教学中应该将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系，借助列表让学生真正理解假设法，以发展学生的思维能力。
值得一提的是，学生在用假设法进行解题时，经常会遇到张冠李戴的尴尬：只知机械套用假设法思路列式计算，却不知道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数，或者误认为假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡）。这都说明学生并没有真正理解假设法。因此，在教学过程中更有必要让学生经历清晰的推理过程，这个推理过程的核心其实是替换的思路，教师可设计一些环环相扣的问题让学生充分经历逻辑推理的过程。例如，“假设全是鸡，会遇到什么问题？”“如果是总腿数多了要怎么办？总腿数少了又要怎么办？”“如果是把鸡（兔）换成兔（鸡），求出来的结果是谁的只数？为什么？”
当然，在掌握鸡兔同笼的结构特征和解题方法之后，教师还可以再通^变式练习进行拓展，比如用鸡兔同笼问题的思维方式解答“龟鹤问题”，或者“自行车三轮车”等问题。在变式练习的过程中应注意引导学生从结构特征和数量关系方面来实现推理思考，经历问题解决的过程。
三、教学片段例举
【教学片段1】
师：如果不列表，你能计算出鸡和兔的只数吗？
师：除了用列表法，我们还可以用假设法来解答。
（1）假设全是鸡。
师：假设全是鸡，会遇到什么问题？
生：8只鸡就有16条腿，就比总腿数少了10条腿。
师：为什么？
生：8只中有一些是兔，把它们算作是鸡了。
生：1只兔看作是1只鸡，就少算了2条腿。
师：那我们要怎么办？
生：要把鸡换成兔，因为这样腿数才能增加。
师：替换之后，鸡兔总数会变化吗？
生：不会。
师：如果把鸡换成兔，求出来的结果是谁的只数？
生：因为1只鸡换成1只兔，就会多2条腿，10除以2等于5，所以要5只兔去换鸡，求出来就是兔的只数。
师：那鸡的只数你会求吗？
生：8-5=3。
让学生列式解答，并说出每道算式的意义。
假设全是兔（方法同上）
总结：在假设法解题时，如果假设全部都是鸡，先求出来的是谁的只数？如果假设全部都是兔，先求出来的是谁的只数？
【教学片段2】
习题1：有龟和鹤共40只，龟的腿和鹤的腿共有112条。龟、鹤各有几只？
师：上面这个问题和“鸡兔同笼”问题有什么相似之处？
生：鹤是2条腿，龟是4条腿。
生：我们可以把鹤看作是2条腿的鸡，把龟看作是4条腿的兔。
师：你会用鸡兔同笼问题的方法解答这道题吗？
学生独立解答，集体评议。
习题2：自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？
师：这道题和鸡兔同笼问题有什么不同？
生：这次变成了2条“腿”的自行车和3条“腿”的三轮车了，腿的条数变了。
师：还可以用鸡兔同笼的方法来解答这道题吗？
最近，听了日本著名教育思想家佐藤学的讲座，21世纪的教师必须成为学习的专家，那些“很会教”的老师，从今后来看是不合格的。那么我们怎么才能做合格的老师呢？怎么才能上好当代的数学课呢？怎么才能让学生学会学习呢？我想教师自己首先要不断地学习，要深入地研究教材，在课堂中关注学生、师生平等学习、教给孩子学习的方法，让学生学会学习。下面让我们以“鸡兔同笼”为例，谈谈如何走在数学学习的路上。
一、研读教材 开启共同学习之路
教师，不要做“很会教”的老师，一节数学课，只见你唾沫飞溅、侃侃而谈，没有学生的思考，这一节课的知识学生未必都会掌握，长此以往，学生学习一定是被动，而非主动地学习。教师的功课要做在前头，要不断学习，做学习型的老师，要深入地挖掘教材背后的故事与思想。
鸡兔同笼这节课，在上课前，要关注学生的学习起点和思维起点，教师首先要分析学生并对教材进行深入地分析，我会思考这样3个问题，①为什么要学鸡兔同笼？（鸡兔同笼不是真的鸡和兔关在一起，实际上是一种数学的思想方法的学习。鸡兔同笼是二元一次方程组的雏形――模型，也是假设法、列表法的学习）。②为什么要把列表法作为学习内容？（是解决问题的策略，估计，调整）③学生会怎样解答鸡兔同笼问题？（会做吗？是真的会做吗？会画图吗？会列表吗？ 可能出现其它方法吗？）基于教师的“三问”与“三思”，教师心中有法，让学生在已知已觉中，掌握学习的方法，让学生走在学习的路上。于是读懂教材后，我又积极查找相关的资料，知道常见解题方法如下：
（1）化繁为简：在课的伊始出示，出示古代的题目：今有雉兔同笼，上有三十五关，下有九十四足，问稚兔各有几何？师问：你读懂了什么？生回答完后，教师再问，这里的数据较大，根据以往经验，对于大数据的研究，我们通常是怎么做的？（化繁为简），此时再次出示题目：笼子里鸡和兔若干只，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各有几只？化繁为简，是数学教学中的重要思想，学生在平时常常会碰到，如：植树问题的教学中，也要是采用这种方法。
（2）列表法：通过列举，让每一个学生都能直观感受到每增加1只兔或减少2只鸡都需要调整2只脚，也很好地为后面的假设法作好了铺垫。
（3）画图法：用简化的方法，用圆圈表示头，小竖表示脚，形象地表现出了鸡和兔。在画图中，提高了学生学习的兴趣，并形象地表示出了鸡和兔的只数。
（4）假设法：假设笼子里都是鸡或者都是兔，并结合画图法，理解真正的意义。
（5）折半法：根据美国著名数学家GO波利亚的一个解法，设想一个奇特的现象，每只鸡都用一只脚站在地上，而兔子则举起了前脚，这里脚只有13只。而兔子的脚总比头的总数大1。兔子：13-8=5只。
（6）方程法：对于原六年级学生可适用这个方法，但对于人教版四年级下册学生来说，不切实学生实际。可做为课外拓展和阅读。
……
在课堂教学中，教师只是一个学习者、合作者、组织者。教师心中有各种方法，才能更好地跟学生共同学习，指导学生走在学习的路上，让学习之路走得越来越远。
二、自主探究 走在学会学习路上
在课前调查中我们知道，有一部分的孩子在课外奥数班中已经会用解决这类问题，有的父母已经告诉他了，有的上课之前已经通过预习知道了解法。大部分孩子是直接套用模式，知其然，而不知其所以然。在教学中，教师不再是一味地灌输方法，要让学生知其所以然，发挥学生的积极主动性，自主探究，让学生真正地参与到学习中去。
如出示探究题：笼子里鸡和兔若干只，从上面数有8个头，从下面数有26只脚，鸡和兔各有几只？
师：那到底是几只呢？有什么好的方法？
学生独立思考后，进行小组合作交流。
列表法。
1.逐一尝试：你发现了什么
鸡/只
兔/只
腿/只
2.跳跃尝试或中间尝试：你是怎样调整的
务必抓“2”，对接下来的假设法是一种方法上的突破。因假设法它是列举法中一种特殊的方法。尝试的方法分为三个层次：
（1）逐一尝试：优点是能够引导学生发现规律，而且答案不会有遗漏；
（2）中间尝试：优点是尝试的范围缩小了一半；
（3）跳跃尝试：需要不断调整，思维价值大。
假设法。
假设是我们数学学习中经常用到的方法，我们常常先是假设再进行调整，直至达到目的。
（1）假设笼子里都是兔；
（2）假设都是鸡。
①图与算式相结合
②每个数字表示什么意思？
③理解“2”
当方法多样化后，我们要找到其中的共同点（假设），让学生在不断合理推想、尝试验证、调整方案探索的全过程，体会解决问题的全过程。
数学学习中，要创设情境激发学生探究的欲望的同时，并提供探究的素材，让他们有的放矢，有究可探。让学生成为教学的主体，以生为本，乐学、会学、学会，一直走在学会学习的路上。
三、学以致用 奔向未来学习之路
学习数学的目的不仅仅是掌握基础知识和基本逻辑推理能力。更为重要的是培养学生发现、提出和运用数学知识解决数学问题的能力。教材安排这部分内容，引导学生深入思考，“生活中你见过有人把鸡和兔放在一个笼子里B殖的吗？就是放在一起养殖，也没有谁去做数头数脚这种无聊的事吧。我们的老祖宗干嘛煞费苦心地进行研究呢？一千多年过去了，为什么鸡兔同笼这道数学题还作为宝物似的流传到今？”不是古人很笨，也不是只解决“鸡兔同笼”本身问题，而是要借助这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略。让学生感受问题的变式，使其解法成为解决这类问题的模型，既渗透了建模思想，又有利于学生的灵活应用。鸡兔同笼正是二元一次方程的模型，如龟鹤问题、人马问题、牛鸡问题、汽车和自行车的轮子问题等等。生活中可以找到很多这么的原型，如：
（1）新星小学“环保卫士”小分队12人参加植树活动。男同学每人栽了3棵树，女同学每人栽了2棵树，一共栽了32棵树。男女同学各有几人？
（2）信封里放着5元和2元的钞票，共8张，34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？
（3）有38个同学去游乐园划船，共租了8条船，每条船都坐满了。大船每条乘6人，小船每条乘4人。大小船各租了几条？
生活中有许多“怪鸡”“怪兔”同笼的数学问题，可以让学生通过阅读书本、信息网络等工具找到相类似的题目，选择适合自己的方法来解决实际生活中的这一类问题，形成问题――方法――模型――应用的模型化过程，举一反三、触类旁通，提升了数学学习能力，为未来的学习奠定了扎实的基础。
总之，生命不息、学习不断。教师要让学生学得开心、学得有效。做一个学习型的老师，教给学生学习的方法，让学生学会学习。让师生共同在数学学习的路上越走越远！
参考文献：
“鸡兔同笼”作为一种经典名题，在教材中，不少版本都有编排。比如，北师大版五年级上册“尝试与猜测”中用它来让学生学会表格列举；苏教版六年级上册将之作为一道练习题来巩固“假设和替换”的策略；而人教版则是浓墨重彩，在六年级上册“数学广角”中用6个页码详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、多种解法及实际应用。除此之外，还有名师在二年级用“画图法”、在六年级用“二元一次方程组”来生动地演绎它。《小学数学教师》编辑部陈洪杰，特级教师朱乐平、俞正强等都对此进行课堂演绎或评析。
二、教学目标
1.了解“鸡兔同笼”问题，尝试用不同方法解决“鸡兔同笼”问题，体会各种方法之间的内在联系，体会假设法与代数法的一般性。（沟通方法之间的联系）
2.沟通“鸡兔同笼”与同类问题的联系，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用。（沟通问题之间的联系）
3.在学习的过程中渗透有序思考、推理、模型等数学的基本思想和方法。
4.感受数学文化，感受古代数学问题和经典解法的趣味性。
三、教学重点
让学生经历用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，体会其中的内在联系和所蕴含的数学思想方法。
四、教学难点
理解假设法中各步的算理。
五、教学设计
1.课前谈话：同学们，猜猜我有几岁？（盲目猜、调整猜、折中猜）
2.独立尝试，全班交流。（沟通方法之间的联系）
出示例题：（鸡兔同笼的同类问题）全班38人去公园划船，一共租了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，问大船和小船各租了几只？
题中有哪些条件？这个问题你会解决吗？请把过程写下来。
预设学生三种解题思路：猜测调整、假设法、方程法。
【设计意图】如果直接出示耳熟能详的鸡兔同笼，学生们可能会直接用假设法或方程法这些简便的方法，而不用列表法猜测、调整，这种简便是数学的，而不是教育的。所以，我打算从鸡兔同笼这类问题出发，同时关注一个素材的知识价值和教育价值，让学生体会方法间的内在联系。也回答了“为什么有更好的方法教，为什么还要回归‘原始’”这个问题。
全班交流：从猜测调整例子着手――列表法（有序猜测、折中猜测、跳跃猜测）你是乱猜出来的吗？你是怎么调整的？如果要把所有可能都清楚记录下来，该怎么办？（列表）看出什么规律了吗？这种方法有什么好处？板书：列表法。
【设计意图】进一步培养有序思考的习惯，渗透假设法的体验，发现一一列举、折半列举、假设列举等思考方法。引导学生发现船的总量一定，大小船只数的变化与人数变化的关系，渗透函数的思想和逼近的思想。这一环节落实得好，学生对列表法的形成过程就有了一个体验，没有对此过程的体验，学生甚至根本不承认列表法是一种解题策略。
引出假设法。
有可能是0和8，或8和0吗？有人就是这么猜的，你信吗？（表格中补充）
假设法，请同学讲，或教师引导。（投影出示学生过程或板书）
我们把这种方法叫作假设法。板书：假设法。
【设计意图】沟通列表法与假设法的联系，渗透极端的范围以及在一定的范围内思考的习惯。并且体会假设法的简洁性。
方程法。
还有人猜大船有X只的呢？小船应该怎样表示呢？你能想到别的方法吗？（在表格中）
介绍方程法（结合实际情况，如学生有，则刚好利用，如没有，则教师出示，重点讲列方程的依据是什么？）板书或投影。
这三种方法有什么相同的地方吗？板书：方程法。
【设计意图】沟通这三种方法的联系，让学生分析这些方法所共同具有的假设思想。把假设的思想方法作为解决鸡兔同笼问题所有方法中最为基本的解题思想，抓住了解题思路上的核心。
3.体验结构，初步建模。（沟通问题之间的联系）
看来看似不同的解决方法也有相联系的地方，下面这题你会解决吗？
出示：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94条腿。问鸡和兔各有几只？
这问题你听说过吗？这可是刚才这几个问题的“老祖宗”，介绍出处（孙子算经）。
板书：鸡兔同笼。
这题题目有哪些条件？（显性的条件和隐性的条件）
和上面的问题有相似之处吗？交流，找到一一对应。
【设计意图】在这个教学环节中，把鸡兔同笼与前面出示变式的问题联系起来，让学生去理解，识别模型，从而达到同化的作用。经过提炼，让学生更进一步明确鸡兔同笼问题的结构，模型。让学生经历数学化的过程，这样的过程会使学生感受到模型的力量。
你想听听古人以及数学家是怎么解答这题的吗？――介绍抬腿法、翅膀作脚法、自学金鸡独立法。
【设计意图】再次沟通方法之间的联系，抬腿法对应着假设全是鸡，翅膀作脚法对应着假设全是兔等，既让学生感受数学文化，又体会到数学的趣味性。
出示：明明从超市买来鲜牛奶和酸牛奶共40袋，鲜牛奶每袋4元，酸牛奶每袋2元，一共付出112元，问鲜牛奶和酸牛奶各买了多少袋？
这里还有鸡和兔吗？
【设计意图】由“变式题―原型题―变式题”的过渡，再次构建模型引导学生通过假设法和方程法解决这一问题，并体会这两种方法的一般性，进一步巩固假设法和方程法。（投影）
为什么只需把“鸡兔同笼”写入《孙子算经》就可以了？
【设计意图】让学生进一步感受许多问题都可以看成“有不同只脚的鸡与兔”的鸡兔同笼问题模型。这样的拓展过程，无疑是进一步抽象的过程，是对模型进一步深刻理解的过程，也是进一步数学化的过程。
4.对于今天学的鸡兔同笼问题，你有什么想说的？
【反思一】对于鸡兔同笼问题，还有不同的解法吗？
如果将猜测也当做一种解法，那么教材里呈现的例1的解法，已经有5种之多。
解法1（猜测法）：猜测哪一组鸡兔数目的组合满足题意，是3只兔、5只鸡吗？还是4只鸡、4只兔？……
解法2（枚举法）：按照鸡的数目从最大（8只）到0来列举所有可能的鸡兔数目组合，从中找出满足题意的数目组合。
解法3（假设引出脚数差）：假设全部是鸡，通过脚数的差异找到兔子数，再得到鸡数。
解法4（列一元一次方程求解）：略。
解法5（用“鸡兔抬脚”的奇思妙想求解）：略。
这些解法大体上是按照从算术解法到代数解法的顺序编排的，突出了代数解法的一般性。然而，对于这个问题，还有不同的解法吗？作为教师，我们是否应该储备更多的解法呢？答案是肯定的。
比如，这个问题还可以用二元一次方程组来求解。设笼子里有鸡x只、兔y只，则x+y=35，4 y+2 x =94。解之得到x=23，y=12。此外，当然还有其他解法，教材为了突出代数方法的一般性，所以只呈现了一部分解法。再加上二元一次方程组需要等到初中才正式学习，所以，教材将这种解法省略掉了。
【反思二】“鸡兔同笼问题”的教材编排体系如何？
尽管教材仅仅是将上面提到的各种解决方法当作供学生“模仿”的例子，但我们作为教师，是不应该停留在“模仿”的阶段上，应该善于拓展教学空间，储备更多的知识，走得比教材远。正如俗话所说 “要教给学生一杯水，自己得先有一桶水”，我们要能统观“鸡兔同笼问题”在整个教材体系中的编排。
首先，在五年级上册的第四章“简易方程”中，教材已经在练习十三当中设置了一道这样的练习题：鸡和兔的数量相同，两种动物的腿加起来共有48条，鸡和兔各有多少只？在那里，学生主要是用方程来求解的，至于将代数方法和方程方法专门对比、深化，这是在六年级上册才进行的。而除了沟通算术解法与代数解法，我们还应能够预期由本章各种解法向中学阶段二元一次方程组内容延伸的前景。而这些知识联系的空间，就是学生学科发展的空间。能否把握这个空间，是判断教师学科知识水平的一个重要指标。
【反思三】如何夯实学生学科发展的基础？
课本设置的鸡兔同笼问题类型的练习题，包括各种各样的求两样事物各几何的问题：龟鹤40只，脚112只；38人租大船和小船共8只，分别可载6人和4人；12人植树，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，共32棵树；自行车三轮车共10辆，26个轮子；篮球比赛3分球与2分球，张鹏投了15个进了9个，共21分；大珠小珠共30个重266克，大珠单个重11克，小珠单个重7克；答对一题加10分，答错一题扣6分，答10题得36分；37名学生分科技类小组和艺术类小组，科技类小组每组5人，艺术类小组每组3人，现分9个小组；有2分和5分硬币共b枚，钱的总数为a元，两种硬币各几何；花了231元买足球和篮球共6个，足球每个42元，篮球每个36元；100个和尚吃100个馒头，大和尚一人3个，小和尚三人1个……这些题目涵盖了各种生活情境。对此，教材的导向很明确，既要使学生佩服古人的奇思妙想和聪明才智，也要让学生能够在多种解决方法的探索和对比当中认识到解决问题策略的多样性和代数方法的优越性，从而促进其逻辑推理能力的发展，锻炼学生观察、分析、推理和解决问题的能力。因而，通过解决这一系列问题，让学生善于在不同的情境中把握问题的本质，这显然就是学生学科发展的基石，应该成为一个最基本的教学要求。对此，我们又应该如何把握呢？
首先，我们需要引领学生辨别鸡兔同笼问题的本质。比如，通过练十六中的这一道题目“盒子里装着5分和2分的硬币，一人从盒中任意取出硬币若干，并说出硬币的个数和总钱数，另一人来猜其中5分硬币有几个。”其实能够帮助学生获得进一步的精细化认识：尽管这里的“5分”不是一个偶数（例题里的鸡和兔的脚数都是偶数），但它仍然适用类似的解决方法。由此，可以延伸出例题当中的“脚数”可以是任意整数的认识。这样就排除了奇（偶）数这个非本质信息。类似的，关于抢答加分和扣分的问题，也让学生对于“脚数”这个量的认识得到拓展。这些类似的拓展信息，其实都不是解决这类问题的本质。其次，我们需要让学生明确，解决此类问题，关键就在于如何辨别问题中与例题中的“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，并能够将例题中的数量关系迁移到新的问题情境中。而只有“鸡”“兔”相对应的量，以及与“鸡脚”“兔脚”相对应的量，这四个量之间的关系及其联结着的结构，才是这类数学问题的本质结构。只有把握了这个本质结构，学生才能获得解决这类问题的一般经验，这才是学生跨越“模仿”教师和例题，获得学科能力发展的关键。因此，在教学当中，我们不能仅仅带领学生解完问题以后就戛然而止，而应该引导学生对解决这些众多问题的过程进行回顾与反思，将学生的认识进一步升华到这个本质结构的理解上去。这就是我们需要帮学生夯实的“基础”。
事实上，以上几个方面包括了对教学内容拓展空间的反思、对课程内容编排体系的反思、对学生发展基点的反思，这样的立体式思考，就构成了对该教学单元的“解剖麻雀式”的思考，从而使我们获得了对该单元课程内容的整体把握。而这种思考的线索，无疑也能为我们对其他教学内容的思考产生一定的启发。
教学对象：小学二年级学生
教学目标：
知识与技能：了解“鸡兔同笼”问题，掌握画画数数的解法及其升华——假设法，并能用来解决生活中简单的该类问题。
过程与方法：掌握将画画数数解法抽象升华到假设法的过程，培养初步的抽象逻辑思维能力、符号和数学建模意识，渗透对应思想、优化思想。
情感与价值：获得解决问题的成功体验，提高学习数学的兴趣和自信心；了解有关的数学史，增强民族自豪感；体会“鸡兔同笼”问题的应用价值。
教学重点与难点：将画画数数的解题方法抽象升华为假设法及模型的过程。
教学准备：多媒体课件、白纸等
教学过程：
一、观察提炼，做好铺垫
师：同学们，你们喜欢小鸡和小兔吗？
生：喜欢。
师（放录像）：我们先放一段有小鸡和小兔的录像，同学们观察一下一只鸡和一只兔子各有几个头、几个身子、几条腿，一样多吗？
生1：一只鸡有一个头，一个身子，两条腿；一只兔有一个头，一个身子，四条腿；一只兔比一只鸡多两条腿。
师：很好！可鸡和兔子的腿长在哪里呢？
生1：长在身子上。
师：鸡和兔的身子都像什么图形？
生1：扁圆形。
师：同学们观察得很仔细。鸡和兔的身子有相似性，都接近于扁圆（椭圆）形，也就是这种 ■ 形状。
【评析：引导学生对鸡兔的头、身子、腿的数量及对应关系进行观察，提炼出身子的形状，为后面画身子、画腿做了铺垫。这有别于大多数教学设计“用圆或椭圆表示头，在头上画腿”的不合情理的教学设计。】
二、创设情境，导入新课
师（课件展示）：一天傍晚，小明去王阿姨家串门，发现阿姨把养的鸡和兔关进了一个笼子里。他就问：“为啥关在一个笼子里？”阿姨说：“家里只有这一个笼子，晚上把它们关在一个笼子里睡觉好管理。”小明又问：“您养了多少只鸡，多少只兔？”阿姨说：“笼子里的鸡和兔共有8个头，20条腿，你就自己算算吧。”“啊！这也需要数学？”
师：是啊！生活中到处都要用到数学。为了方便，我们先结合这个问题产生的背景给它起个名字，然后帮帮小明吧。
生2：叫“笼子里的鸡兔问题”。
生3：名字太长，也没说明是同一个笼子。叫“鸡兔同笼”吧。
师：同学们真善于动脑筋。我国古代的劳动人民早就给它起了“鸡兔同笼”问题这个名字，既简短，又能反映其产生的背景。这节课，我们就来探讨这个问题。（板书课题：鸡兔同笼问题）
【评析：教者从创设生活情景入手，既体现了数学与生活的密切联系，又使问题的引出水到渠成。】
三、诱导启发，主动探索
师：同学们都喜欢画画，看看能不能用画画数数的办法来解决这个问题呢？当然，没有必要像美术课那样去画，只要简单地画出来，能体现题目中鸡和兔子的有关数量关系就行。可不知道各有几只，画多少个鸡头、兔头好呢？头的差异又比较大，难画，画错了改的时候也麻烦。怎么画好呢？
生4：一个头对应一个身子，身子都是扁圆形，先画身子，再画腿，确定了鸡和兔后再画头。
师：同学们真善于动脑筋。那就用 ■ 表示身子，用一道竖杠“｜”表示一条腿试试吧。少画了补上好办，多画了擦掉麻烦，不多画当然最好。
（教师巡视，以便选择不同画法的学生回答）
师：我看到同学们都画完了，也都画对了，而且画法好多啊！有的先全画成鸡；有的先全画成兔；有的先画2只鸡，再画6只兔；有的先画5只鸡，再画3只兔；有的先画4只鸡，再画4只兔；有的按一只鸡一只兔的顺序画；有的按两只鸡两只兔的顺序画；等等。结果都是——
生（齐答）：6只鸡，2只兔。
师：由于时间关系，老师下面请三位同学把画的过程说出来。
生5：我先画了8个身子，再在身子下画腿。考虑到多画了还得擦掉，就把它们当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，比实际的20条腿少4条腿，需添上4条腿。一只兔比一只鸡多两条腿，画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了两只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。
师：这个同学很善于动脑，思路很清晰，表述得也很好。
生6：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我估计鸡应该多，就先在5个身子下画2条腿当鸡，在3个身子下画4条腿当兔，数一数画了22条腿，比20条腿多2条腿，就把画4条腿的一个身子擦掉了2条腿改成鸡，所以兔2只，鸡6只。
师：这个同学首先进行了估计，思路也很清晰，值得我们学习。
生7：我也先画了8个身子，再在身子下画腿。我喜欢兔，就先在每个身子下画4条腿当兔，数一数画了32条腿，比20条腿多12条腿，就每个擦去2条腿改成鸡，擦到第6个时就一共擦去了12条腿，所以6只鸡，2只兔。可惜我喜欢的兔太少了。
师：这个同学从喜欢的角度出发开始画，思路也很清晰，表述也很好。老师也给出了多种画法，就包含这三位同学的画法。同学们比较一下这三种画法，哪种最简单呢？（展示课件，让学生浏览）
生8：第一种画法简单，没多画腿，省了擦的工夫。
师：以后我们解题时，既要善于探讨不同的方法，又要比较哪个方法更好，争取掌握最好的方法。
【评析：不同画法的展示及优劣比较，既培养了学生的发散思维能力，又渗透了数学优化思想。尤其是让学生把画的过程用语言表述出来，实际上是解决问题思维过程的展现，有利于学生思维的清晰化、条理化、系统化，以及方法的内化和语言表达能力的培养。】
四、抽象提炼，思维升华
师：既然大家都认为第一种画法简单，我们一起把这种画画数数的过程边说边用算式来表示一下。
师（课件展示过程）：把8个身子当鸡来画，在每个身子下画2条腿，数一数画了16条腿，可以列成——
生9：2×8＝16（条）腿。
师：比实际的20条腿少4条腿，可以列成——
生10：20－16＝4（条）腿。
师：一只兔比一只鸡多两条腿，可以列成——
生11：4－2＝2（条）腿。
师：画的每只鸡上添2条腿就改成兔，4条腿添到了2只鸡上，所以兔有2只，鸡有6只。可以列成——
生12：4÷2＝2（只）兔，8－2＝6（只）鸡。
师：同学们真棒！写出画的过程太麻烦，我们把能用式子表示的语言替换下来，写成下面的解法。
解：全当做鸡，有2×8＝16（条）腿，比实际少20－16＝4（条）腿。一只兔比一只鸡多4－2＝2（条）腿，兔有4÷2＝2（只），鸡有8－2＝6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们看，简单吧？
生：简单。
师：以后我们再解这类问题就没有必要真的去画，只要在自己大脑里展现画的过程，边说边写就行了。
【评析：首先，教者不厌其烦地引导学生从画法中提炼、抽象算式的做法有着重要的意义。这种把汉语语言转化为数学语言过程的展现，有利于学生掌握转化的方法，为升入高年级解数学应用题奠定了基础。因为，解应用题的实质就是实现这两种语言的转化。同时，也有利于学生的认知由具体运算阶段向形式运算阶段过渡，由具体形象思维向抽象逻辑思维发展。
其次，教者在画画数数方法的基础上进行提炼、升华，呈现出了用假设法解决鸡兔同笼问题的解题过程。这一浑然天成的处理方式，既抓住了两种方法之间的联系，又展现了假设法的实质就是画画数数解决问题的这一学前儿童都能掌握的方法，实现了两种方法的统一，有利于学生掌握。另外，假设法出而不点的处理方法还是很有新意的，既避免了不同方法的罗列，又避免了学生产生新的疑惑。】
师：同学们能仿照着老师写解法的过程，把第二和第三种画画数数的过程，边说边写吗？（课件展示画法及画图过程）
（教师巡视指导，让两个学生板演）
生13：写第二种。
解：5只当做鸡，3只当做兔，共有2×5＋4×3＝22（条）腿，比实际多22－20＝2（条）腿。一只兔比一只鸡多4－2＝2（条）腿，所以多了2÷2＝1（只）兔，兔有3－1＝2（只），鸡有8－2＝6（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
生14：写第三种。
解：全当做兔，有4×8＝32（条）腿，比实际多32－20＝12（条）腿。一只兔比一只鸡多4－2＝2（条）腿，鸡有12÷2＝6（只），兔有8－6＝2（只）。
答：有6只鸡，2只兔。
师：同学们都写得很好（课件展示这两个解法）。大家都掌握这个问题的解法了吗？
生（齐声答）：掌握了。
【评析：教者首先示范，再让学生去抽象、提炼解法，既发挥了低年级学生模仿性强的优势，又可促进学生抽象逻辑思维的发展。尤其是三种不同假设法的展现，打破了大多数书籍、教学论文中只假设全是鸡或全是兔的做法。事实上，若鸡和兔共有n个头，可以假设有m（0≤m≤n）只鸡（兔）来解答。】
五、巩固拓展，建立模型
师：前面说过，我国古代的劳动人民早就提出了鸡兔同笼问题。大约在1500年前，数学著作《孙子算经》中就有一个这样的问题。（课件展示）“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”
师：雉就是鸡，足就是脚，几何是指多少。用现代话来说是“现在有若干只鸡和兔在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚，问鸡兔各有几只？”
师：同学们帮古人解决这个问题好吗？要边在大脑里画，边说边写解法。
（学生独立练习，小组交流自己的解法）
师：《孙子算经》中的“鸡兔同笼”问题还漂洋过海传到了世界上很多国家，如日本、俄罗斯等。人们又仿照它编出了“龟鹤问题”、“人狗问题”等，这说明了它具有重要的价值。其实，“鸡兔同笼”问题不是一个题，而是一类问题，画画数数的解题过程可作为一个模型用来解决很多类似的问题。
师（课件展示）：这个问题就属于“鸡兔同笼”类问题。老师买了两种不同的圆珠笔共16支，一种每支3元，另一种每支5元，共花了62元。问两种圆珠笔各买了多少支？
生15：这里没有鸡和兔啊？
师：不要紧啊，我们可以把每支3元的圆珠笔当成“1个头，3条腿”的“怪鸡”，把每支5元的圆珠笔当成“1个头，5条腿”的“怪兔”。这样，16支变成了什么？62元变成了什么？
生16：16支变成了16个头，62元变成了62条腿。真有意思！
师：那就在大脑里想象画画数数的过程，边说边写，把解法写出来吧。可要灵活啊！
生17：全当做是3元的圆珠笔共花3×16＝48（元），比实际少62－48＝14（元）。1支5元的圆珠笔比1支3元的圆珠笔多花5－3＝2（元），所以5元的圆珠笔有14÷2＝7（支），3元的圆珠笔有16－7＝9（支）。3元的圆珠笔有9支，5元的圆珠笔有7支。
师：大部分同学解的都很好，只是个别同学把圆珠笔真的写成了“怪鸡”、“怪兔”。我们说可以当做 “怪鸡”与“怪兔”，但不要机械地往上套啊！
【评析：教者通过对有关史料的介绍，在传承我国古代数学文化的同时，也使学生体会到我国文化的博大精深，有利于学生民族自豪感的培养。另外，让学生感受问题的变式，使其解法成为解决这类问题的模型，既渗透了建模思想，又有利于学生的灵活应用。】
六、课堂小结
师：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？
生18：学习了“鸡兔同笼”问题，会解这类问题了。
师：这类问题难不难？
生：不难。
师：这可是五六年级的哥哥姐姐们才学的呀！
生：啊！
师：这说明只要我们勤动手、勤动脑，数学一点都不难。也说明同学们真棒（伸大拇指）！最后请同学们在大脑里再画一遍，嘴里默默地把过程再说一遍好吗？
生：好！
【评析：通过回顾总结，让学生对知识进行梳理，再次巩固和内化了解“鸡兔同笼”问题的数学模型。最后揭示该问题是五六年级所学知识，使学生树立了信心，培养了学生的自豪感。】
七、课后作业（略）
总评：“鸡兔同笼”问题是我国广为流传的有名的古算题。由于解决这个问题的思维含量高，人们常常拿它来考察一个人的智力状况，也成了小学高年级奥数的经典题型，现已进入小学五六年级的数学教材。因此，让二年级的学生掌握这类问题的解法，是一具有挑战性的教学任务。当我的学生刘慧进行课外实践，提出想给二年级学生讲这堂课时，我为她捏了一把汗。没想到的是，她的教学设计取得了很好的教学效果，不仅深受学生欢迎，还得到了任课教师的好评。总之，这是一堂出色的课，除了穿插的评析外，再指出以下几点。
1．符合学生的认知和思维发展水平是本节课成功的关键
教学从画画数数入手，抽象与提炼解法时要求学生脑子里想象画法、边说边写，以及解法用语言与式子混合写出，没有只用算术表达式（含综合算式）等，均符合二年级学生的认知发展与思维发展水平。
2．引导到位，放收合理
本节课教师的引导与学生的自主探究结合得比较好，教师始终有效地掌控教学，没有大撒把，避免了自主探究流于热热闹闹的形式。
