【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）01-0133-02
分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法之一。在新课改的大环境下，要想在初中数学教学中，使学生真正地掌握分类讨论的方法，教师要对这种方法的意义和重要性等方面有详细的认识和了解，并对其应用的策略与方法熟练掌握、不断探索创新。
一 初中数学教学中分类讨论的必要性
在新课改中，强调了对学生综合能力的培养，学生总体素质和能力的提高是教学的重点。对有关的数学问题进行分割，将其按种类进行划分，然后对其进行逐个的解答，这个过程称为分类讨论。做好分类讨论的教学工作，符合新课改的要求，有利于学生整体素质和能力的提高。在进行分类讨论时，最基本的要求就是做到尽量不要将知识点重复讲解，也不要遗漏重要的知识。在初中数学教学中运用分类讨论的办法，能够有效地提高学生的创新能力和探究能力，在这一点上与新课改的要求是一致的。分类讨论对于学生思维的培养有着积极的作用，能够提高学生思维逻辑的有序性和严谨性，使学生能够对遇到的问题进行全方位的仔细分析，对其进行更深一步的探究，同时还能使学生的思维更加连贯。虽然在初中数学中的分类讨论有很多的好处，但是其对于学生来说，具体学习和掌握起来有很大的难度。通过多年的教学工作和学生的学习效果来看，很多学生还是做不好分类讨论，表现为对分类讨论运用得不够，在进行分类讨论的过程中，对于问题的考虑不够全面，使得在考试中这方面问题的得分率不高。对导致这种现象的原因进行分析，主要是在实际的初中数学的教学中，教师对于分类讨论思想的强调和讲解不够，学生不能够熟练地运用分类讨论思想。
数学问题究其本质是一样的，只是在某些具体问题上存在着差异，在对这些数学问题进行分类时，导致需要进行分类讨论的原因主要有以下几种：
第一，数学中相关概念的不同，例如对于绝对值的定义，我们将其分为小于零、等于零和大于零这三个具体的情况；对于求含有字母的绝对值的问题时，也要进行分类讨论；此外还包括对实数进行分类等等。
第二，某些数学公式、定理以及性质等在进行变换时存在着特定的约束限制条件，这时候也需要进行分类讨论，如对一元二次方程根的解决。
第三，在几何知识中，在图形的位置之间的关系变化和图形大小的变化等问题上，需要进行分类讨论，例如圆和直线的关系的确定；圆和圆位置关系的确定；利用圆周角确定同弧的圆心角时，都要用到分类讨论。
第四，在式子中存在某个字母参数时，要对参数的取值范围和各种临界点进行分类讨论，例如一次函数中K值的不同引起函数图像的变化；不等式的性质等等。
二 初中数学中运用分类讨论思想的重要意义
当我们在对于一些数学问题进行求解时，问题对象的不同可能会对研究结果造成很大的不同，使得最后的结果不能满足实际情况，所以，在求解的过程中，对于具体问题要进行分类的讨论；另外，随着问题的研究，出现了多种情况，也需要我们对其进行分类讨论和研究。
在解决数学问题的时候，运用好分类讨论，能够将原本复杂的问题简化，能够更清楚地了解问题的本质，在某种特定环境下对问题进行分析，使问题变得简单。“分类讨论”简单来讲就是对于数学问题先进行分类，然后逐个进行讨论。在对教材和教学大纲的阅读时可以发现，在初中数学的教材中对分类讨论是由易到难来进行安排的，将“分类讨论思想”划分为两个部分。首先是“分类思想”，它在初中数学教材的编排中较为重视，对此方面的教学安排较多，目的是为了使学生建立起分类的好习惯，正确运用分类方法。其次是“讨论思想”，对于讨论方法的学习要求教师在教学中向学生逐渐渗透。
三 初中数学教学分类讨论思想的基本原则
在初中数学中的分类讨论要严格遵照一些基本原则去进行，本文将这些原则大体总结为以下几点：
1.标准一致性原则
在进行分类时要按照一致的标准进行，对于同一个问题在进行分类时按照不同的标准进行，这样会造成分类的混乱。例如，在实际的教学中，有的学生对三角形进行分类时，将其分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等边三角形。在分类时将按角分类和按边分类混用，造成了分类的混乱。锐角三角形中存在着等腰三角形，直角三角形同时也可能是等腰三角形；而等腰三角形中同时包含着锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这种混乱的分法对于学生的学习和理解无形之中增加了困难。
2.无交集原则
在进行分类后，各个分类情况中包含的子项应该是彼此没有交集的，要做到互相排斥，不产生关联，要做到同一个子项只属于某一个大类。例如在运动会上，班级里有十个同学参加了田径和舞蹈两个比赛，其中七个人参加了舞蹈比赛，六个人参加了田径项目。假如将这十个人按照参加舞蹈和田径比赛来进行划分，这就违背了无交集原则，这是因为，在这十个人当中，一定有人参加舞蹈比赛又参加了田径比赛。
3.相称性原则
在进行分类时要做到相称，也就是说在分类之后，分成的各小项的总和在进行扩展和延伸时，要与未分类之前问题的拓展和延伸相对称，不能在分类之后，在进行问题延伸时与原问题出现差错。例如对于有理数的分类，有的学生将其分为负有理数和正有理数，这就违反相称性原则。分类后各项进行延伸后的和小于分类之前的，没有将零这种特殊的有理数考虑在内，因为零既不属于正数又不属于负数。
4.多层次性原则
对问题的分类包括一次分类和多次分类。“一次分类”指的是对于所讨论的问题或对象只进行一次分类；“多次分类”指的是在进行首次分类后，对于分类后的各个小项再次进行分类，一直到能够达到实际需要。在实际中，一些较为复杂的问题，常常会用到“二分法”，根据一些性质对其进行划分，将所讨论问题进行不断地延伸，直到在分类中出现矛盾。
四 初中数学中进行分类讨论的一般步骤
在初中数学中进行分类讨论是要遵循一定的步骤，其大体步骤如下：（1）对讨论问题和对象的取值范围以及其本身进行确定；（2）对于分类标准要进行正确、合理地选择，做到分类的合理；（3）按照所分类型逐个进行分析讨论，解决问题；（4）对于讨论的结果进行总结。
五 在初中数学的教学过程和解题中对分类讨论思想的具体应用
要想在初中数学的教学过程和解题中应用好分类讨论思想，首先要求教师在进行知识传授的同时，重视对分类讨论思想的渗透，从而帮助学生养成遇到问题分类讨论的好习惯。目前，初中生在数学的学习中对分类讨论运用的效果不好，其遇到问题进行分类讨论的意识还有待增强，不清楚该对哪些问题进行分类讨论，头脑较为混乱。另外，分类讨论思想不同于其他的数学知识，不是通过短时间的学习就能够学会的。这就对教师提出了更高的要求，教师要对教材进行更进一步的研究，在教学中结合有关知识渗透分类讨论思想，帮助学生建立分类讨论的习惯，对其本质进行更好地揭示，从而使学生能够更好地运用分类讨论思想解决有关问题。
下面根据本人在教学中分类讨论教学的实例，来讲解在初中数学的教学中如何具体地应用分类讨论方法。
例1，当m为何值时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。
解答：当（m+5）x2m-1为一次项时，要求2m-1=1；则m=1，函数为y=13x-3。当（m+5）x2m-1为常数项时，
2m-1=0；则m= ，函数为y=7x+ ；当m+5=0时；
m=-5，函数为y=7x-3。
点评：对（m+5）x2m-1进行讨论，考虑其是常数项或者一次项的情况，对这两种情况分别进行解答，求出满足条件的m的所有值。
例2，若|n-m|=m-n，且|n|=4，|m|=3，则（m+n）2为多少？
解答：由于|m|=3，|n|=4，所以m为3或者-3，n为4或者-4；又由于|n-m|=m-n，因此，m-n的值大于等于零，且m大于等于n；当m=3时，n的可能取值是-4，结果是1；当m=-3时，n的可能取值是-4，这时的结果为49。所以（m+n）2的所有可能的值是49或1。
点评：与绝对值相关的问题，在解答时要特别注意对其进行分类讨论。对其各种情况进行合理的分类，才能得到正确的完整结果，若不能进行分类，会造成最终结果的不全面，导致错误。
例3，某运动旗舰店卖篮球袜和护腕，篮球袜的定价为200元一组，护腕的定价为40元一套。卖家在进行促销时有两种具体的优惠方案，第一种是买篮球袜送一套护腕；第二种方案时篮球袜和护腕均按原价卖，顾客在同时购买时，可享受九折优惠，并且只能选择一种优惠方案。某个运动队教练要到该旗舰店购买20套篮球袜和20套以上的护腕，请为这个教练选择一种最经济的购买方案。
问题分析：由于题干中没有具体说明要买的护腕的数量，所以这种购买方案具有不确定性，是由购买的篮球袜的数量而决定的。
解答：假设教练要购买篮球袜x套，则根据方案一，所付款数为200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）；根据方案二，所付款数为：（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）；设两者的差为y，则y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）。（1）当y
根据以上分析，当购买护腕数大于20套而不足100套时，选择方案一；当购买护腕数等于100套时，哪种购买方案都行；当购买护腕数大于100套时，选择方案二。
六 总结
以上就是对初中数学分类讨论思想的论述，分析了在初中数学教学中分类讨论思想的意义和重要性，并简单介绍了其应用的基本原则和步骤，最后根据本人在教学中的实际，列举了分类讨论的具体应用。由于本人能力有限，对这方面的研究还不够充分，还需要在今后的教学中进一步探索，让学生在解决数学问题时真正掌握分类讨论的思想方法。
参考文献
[1]邓凤文.如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].中学教学参考，2013（26）：65～66
[2]徐桂彬.浅谈初中数学分类讨论教学[J].中学生数理化，2013（3）：130～132
一、我国初中数学解题能力培养的问题
在我国的初中数学教育过程中，往往对数学题的解题逻辑能力非常重视，但是却忽视了学生解题的思路和方法。本文在研究过程中发现在初中数学教学中出现的一些解题能力的问题，包括：第一，初中生对于解答数学题的认识水平不到位；第二，初中生收集和处理信息的能力较弱；第三，初中生的解题策略有待于提高；第四，在数学题解答过后，不注意反思和回顾。
二、初中数学解题能力培养方法
（一）注重培养学生正确的问题解决观
初中数学题多为复杂问题，主要表现在：学生需要建立问题模型或者进行复杂计算来解决问题。那些习惯于对问题进行直译而不去建立问题模型的学生，或者在计算中容易出现错误的学生，都会导致应用题解答的失败。从学生对数学题解题的认识调查情况来看，学生对问题解决的认识可能对数学题解题造成一定影响，这种认识的不稳定和矛盾直接影响着解题积极性和效率。另外，学生学习能力差异造成的对数学题解题的不同认识以及问题解决的操作行为，也会对解题过程和结果产生影响。
因此，教师在进行数学教学时，首先要引导学生形成对数学题本身的正确认识。特别是在经历了数年的数学题解题训练以后，让学生明白数学题与实际生活的联系与区别。其次，学生应该逐步养成建立问题模型解决问题的意识，也就是在条件信息之间建立联系，在问题与条件之间建立联系。
（二）注重培养收集和处理信息的能力
《新课标》中对初中数学教学目标中明确提出：能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力。笔者认为可以从以下两方面着手培养收集和处理信息的能力。
（1）开放条件。在教学中经常培养学生收集信息和处理信息的能力，学生不再是一个依赖教师的模仿者，而是解题的主导者，体会到解应用题最重要的不是将数据代入公式，而是要确定哪些数据、哪些因素对事情有影响，通过选择有用的信息解决问题，体会应用题解题时的条理性和严密性。
（2）数形结合。在进行数学题解题思路的教学中，要引导学生依据问题与已知条件的内在联系，由数想形，以形思数，把抽象的数学问题直观化、形象化，引领学生把握数学问题的本质。笔者建议在教学过程中，教师应作有心人，充分利用“一图抵百语”的“数形结合”优势，引导学生在解题研究中步入神奇的数学殿堂。
（3）注重有效解题策略的培养。有效解题策略的形成是学生策略知识积累、方法操作熟练化、学生认知能力提高的结果。教师要做的就是将策略性知识传授给学生，并不断纠正策略实施中的错误。
一般的学生实际上能在操作互动中理解问题，并建构问题模型策略，而不是依据数据本身进行表面化思维。因此，教师应该特别关注学生对问题是如何进行表征的。在课堂教学中，教师要帮助学生理解应用题的条件语句，使用问题模型策略建构条件与问题的数量关系模型，然后运算解决问题。在遇到具体问题时，学生还要学会使用一些数学思想方法。如： ①转化。利用己有的经验和知识，将复杂的转化为简单的，将未知的转化为已知的，将看来不能解答的转化成能解答的。②尝试与猜测。当应用题已难与原认知结构建立直接联系，并很难找到问题解决的入口，可以采用猜测―尝试的方法，逐步调整直至问题的解决。
总之，应用题解题思路的教学应该重视过程：探求解法，而不单纯是记忆步骤；探索模式，而不单纯是记忆类型；形成猜测，而不单纯是做些习题。
（4）注重在回顾与反思中提升思维。“学而则思”这是古人在学习中己懂得的道理，在应用题解题思路教学中，笔者认为，师生也要经常地学而则思，在不断的教与学中自我反思。自我反思就是个体对自己的认知过程的自我觉察、自我评价、自我调节。教师在教学中应该让学生明白：这是积累经验，避免以后走弯路，形成解题思路的重要途径。只有这样，教学质量才能不断在反思中得到提高，思路才能更为广阔。
第一，反思收集和处理信息的过程。对自己在理解题意过程中是这样“获取信息”进行再思考。特别是对那些有过反复曲折过程的问题进行反思，比如获得过哪些信息？遗漏过哪些信息？为什么会遗漏这些信息？题意中的哪些信息是自己比较清楚的，哪些信息自己还不清楚？为什么不清楚？是被题目表面形式所迷惑，还是遗忘了？对条件和结论之间的哪些关系没有发现，关系转化是否有错误？对条件和结论是否作过适当讨论？讨论是否全面？以后在理解题意时应该怎样去做？等等。
如列表法解题中在收集处理信息之后可以进行两次反思。
反思一：将列表整理与情境图进行对比，反思得到情境图里的信息是复杂的、凌乱的、情境化的，有的信息还是多余的；而整理后的信息是简洁的、有序的、数学化的，是经过筛选后的重要信息和有用数据，都与要解决的问题直接相关，有助于把握实质问题，简化解题思路，从而使学生体会到列表整理的合理性、必要性。
反思二：将所有整理形式进行对比。学生整理的方式可能是多种多样的，有横向整理的表格，有纵向整理的表格，有示意图，有文字记录等等，引导学生对这些方法进行反思，找到整理的共性和异同，从而形成对整理信息有效性的进一步体验。
第二、反思解题策略形成的过程。主要反思解题过程中的各个环节是否合理、简捷。如替换法解应用题在替换法总结后进行反思，在例题的学习中是怎样做的？首先发现题目出现了两个未知量，其次是想办法将两个未知量转化成一种未知量，然后观察在替换的过程中什么变了，什么没有变？让学生体会策略的真正价值。
第三、反思解题结论。事实上，就问题解决的一个周期而言，问题是问题解决的端始，而一个问题的解决往往意味着一个新问题的产生。在每教学完一道应用题后，教师应指导学生思考该题所得出的结论：能否检验这个结论？能否以不同的方式来推导这个结论？能否在其他的问题中应用这个结论？能否从其它的角度重新审视题目，将问题的结论进行推广？
本文以在研究过程中发现在初中数学教学中出现的一些解题能力的问题为切入点，从四个方面提出了初中数学教学中培养学生的解题能力的方法。具体包括：第一，注重培养学生正确的问题解决观；第二，注重培养收集和处理信息的能力；第三，注重有效解题策略的培养；第四，注重在回顾与反思中提升思维。希望本文的研究能为初中数学教学提供理论支撑和实践借鉴。
参考文献：
数学开放题，其实就是开放性的数学问题，开放性问题最大的特点就是答案不唯一，促使学生发散思维，多方面的思考问题。因为初中生对于数学知识的学习相对较少，深度也相对较浅，所以初中数学开放题还是有一定的限制的，初中数学开放题一般是这样定义的：问题的条件设置不完整，或者是其可以得出多种的结论，即结论具有不确定性，需要学生运用所学的知识，进行观察、分析、猜想，从而能够完善问题条件或得出确定的结论。
二、数学开放题的特点
数学开放题作为应国家素质教育而生的产物，其对学生对于知识运用的熟练程度和学生思维能力的要求很高。数学开放题具有新颖性、多样性、发散性等特点。特别是多样性，数学开放题存在着由易到难的各种各样的题目，其可以考察的知识点也很多，像是函数、几何、方程等，这些都是可以设计数学开放题的知识点内容。简单的函数方面的数学开放题：写出一个图像经过点（-1，1）的函数关系式。这道问题看似简单，但是其以小见大，考察了学生关于函数知识的问题，这个题目学生的答案可以是一次函数、二次函数或是反比例函数等。
三、把握数学开放题的常见类型
由于初中生对于数学学习的知识面还不够宽泛，深度也相对较浅，分析其特点，初中数学开放题大都分为两类，一类是条件不完整的条件开放类，另一类是结论不具确定性、唯一性的结论开放类。
条件开放类，条件开放类的数学开放题在出题时，往往会给出确定的结论和不完整的条件，此类题目需要学生分析可以得出此结论的条件，但是此条件还要受到其他已给出的条件的限制。此类问题要求学生具有逆向思维的能力，善于探索。如在多项式1+4x2中添加一个单项式，使这个多项式成为一个完全平方式。这个题目就是典型的条件开放类的数学开放题。
结论开放类，结论开放类的数学开放题在出题时，会让学生根据已给出的条件，写出符合条件的结论，通常这个结论都是不确定的、不唯一的，学生给出的答案也是多种多样的。此类问题考察的是学生对于知识掌握的熟练程度和其发散性的思维能力，像上文有关函数的数学开放题，就是一道结论开放类的数学开放题。
四、数学开放题的教学方法
针对数学开放题新颖性的特点，我们要从数学开放题的基本出发，使学生认识、了解此类题目，把握此类题目的解题规律。教师在教学过程中，要首先为学生分析此类题目，使学生充分认识、了解此类新的题型，才能在以后的教学中培养学生的思维能力，提升初中数学开放题的解题技巧。
数学开放题涉及知识点的范围较广，综合性较强。教师在教学过程中，要注意锻炼学生对于知识点的熟练运用，但是，对于单一知识点的掌握是不能满足数学开放题的解决条件。综合性知识的掌握和运用，才能满足数学开放题解决的基本条件，在满足这一条件的基础上，分析题目，对涉及的知识归纳简化，然后再进行探索证明，从而为解决数学开放题奠定基础。
数学开放题还具有发散性的特点，针对这一特点，教师就要注意在日常的教学训练、培养学生多方面思考的习惯和能力，才能适应和习惯数学开放题，提升自身对于初中数学开放题的解题技巧。例如，上文所提到的“在多项式1+4x2中添加一个单项式，使这个多项式成为一个完全平方式。”这个题目考察的是完全平方式a2±2ab+b2=（a±b）2，所添加的单项式可以是多项式中的首项、中间项或是末项，学生可以根据平方式公式的中间项2ab来直接判断，从而得出结论。
五、数学开放题的解题技巧
对于条件开放类的数学开放题，像上文所述，此类题目一般都是给定结论，通过结论来让学生探索应给与的条件。此类题目通常都是从结论出发，逆袭思考问题，假设、猜测出条件，得出条件后一定要对题目中的结论进行验证，验证所假设的条件是否正确。此类题目通常简单，但“陷阱”较多，学生做此类题目时一定要仔细，切不可因为题目的简单而掉以轻心，把应得的分丢掉。
对于结论开放类的数学开放题，由于条件都已给出，学生可根据常规题目的做法，由给出的条件开始探究，逐步得出结论，由于结论通常都是不确定的、不唯一的，探究过程中必然存在假设，所以在得出最后结论时，一定要再次从条件开始验证，保证结论符合条件。
解题方法多样的数学开放题，此类数学开放题的思考方式和解题方法是多样的，也就是通常所说的“一题多解”，对于此类题目，切忌以课本内容生搬硬套，学生在解题时要注意灵活性，要积极思考，敢于大胆创新。
类别类的数学开放题，此类数学开放题通常需要根据已给的结论得出新的所需的结论。这类题目还是出现过的，比如，“已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边的距离分别为h1、h2、h3，ABC的高为h。此时，若点P是AB上的点，此时h1=0，可得结论h1+h2+h3 =h。利用这一结论，试着解决：当点P在ABC内，点P在ABC外两种情况时，结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，那么h1、h2、h3 与h的关系又如何呢？（不需证明）。”
再一类就是归纳型的数学开放题，这类题目要根据已有的规律探讨最终的结论。这类题目多运用的是数学数列知识，这一知识点为高中所需要学习的知识内容，教师可根据班级学生的具体情况进行讲解。
上述几类是特殊数学开放题中已出现过的问题，但是初中数学开放题绝不是只有这几种，具体的题目还需教师根据实际情况分析，本文就不再多做介绍了。
六、数学开放题的价值和意义
数学开放题新颖性、多样性和发散性的特点，对培养、提高学生的发散性思考和思维能力有很大的帮助，其应教育改革而生，对提高学生素质，培养学生能力也具有一定的实际意义。数学开放题运用的知识点范围广，可以促进学生对于知识点的熟练掌握，锻炼学生在解决具体题目时对所学知识内容的归纳简化，同时也可以让学生接触到更高层次的数学知识内容，对学生以后的数学学习奠定一定的基础。
教师也可以在数学开放题的教学过程中，提高自己的教学水平，丰富自身的教学经验，使得教师和学生共同成长、进步。
参考文献：
[1]张凤云.中国教育创新.2010.
[2]殷惠琴.初中数学开放题教学初探[J].文理导航（下旬），2012，（07）.
一、前言
随着教学体制的改革，初中数学的课堂教学模式已经从过去“以老师为教学中心”的理论指导形式转换为“以学生为教学中心”的探究指导形式。同时“问题连续体”的提出和应用，成为了初中数学教学设计的重要手段。“问题连续体”利用不同类型的问题，使初中数学教学具有层次和深度，同时通过“问题连续体”的教学设计可以激发学生学习的自主性，让学生主动参与到课堂互动学习中，加深学生对数学知识的认识[1]。本文在“问题连续体”的基础理论上，针对初中数学的概念课程、命题课程以及习题课程进行教学设计，希望对初中数学的教学研究起到一定的借鉴作用。
二、初中数学概念课程的“问题连续体”教学设计
在初中数学概念课程的教学中，教师必须让学生正确认识数学概念的由来及其发展，并对数学概念名称、特定符号进行详细的了解。当学生了解概念的含义后，并对概念的外延知识及表现形式进行深入分析，并让学生可以正确的将这些概念运用到实际做题中。初中数学概念课程的“问题连续体”教学设计模式如下：
（1）实例：对初三数学 “二次根式“概念教学设计
（2）教学设计背景：在初中数学教学中，二次根式是初三数学课程教学的重要组成部分，主要是在整式加减乘除、因式分解以及平方根等课程的基础上的延伸，同时也是方程和函数课程教学的重要基础，所以对于二次根式概念的理解就显得尤为重要了。
（3）教学设计模式：
老师：在前面的数学课程学习中，我们对平方根已经有所了解了，那么平方根到底是什么概念呢？
学生：例如在 22=4数学公式中，2是 4的平方根。
老师：是的，例如这数为n，如果n的平方等于a，则n就是a的平方根，其公式为：n2=a。那么在同学所说的22=4中，4的平方根就只要有2吗？
学生：—2也是4的平方根。
老师：是的，正数的平方根总有两个，一个为正数，一个为负数。那么0和负数存在平方根吗？
学生：0有平方根，0的平方根只有一个，就是0。负数没有平方根。
老师：我们在复习平方根知识后，我将以平方根知识为基础，对二次根式概念进行了解。那么现在先让同学们来思考几个问题，并对计算结果规律进行思考。①如果正方形的面积为5，那么正方形边长为？②一个直角三角形的长为5cm，宽为6cm，那么它的斜长为？③一个圆形的面积为5.48平方米，那么它的半径大约为？
学生：这些题目的结果都是正数的平方根。
老师：如果用数学符号“二次根式”来填写上述题目答案，应该怎么表示呢？
学生：可以有
老师：很好，但是如果（a≥0），这样式子也能称为二次根式？
学生：当a=0时，这个公式有意义，当a
老师：好的，经过学习我们知道二次根式必须有两个条件，其一，二次根式要有根号，其二，被开方的数字必须大于或者等于0。
通过这样的方法，既让学生对以前的知识点进行复习和巩固，同时有利于学生对新知识的掌握，提高学生对数学概念的认识。
三、初中数学命题课程的“问题连续体”教学设计
在初中数学命题课程教学中，主要是让学生了解数学定理产生的必要条件、表示形式及结论，并掌握数学定理中的证明方法，明确定理证明在初中数学中的运用范围，并将其运用到实际做题中。初中数学命题课程的“问题连续体”教学设计如下：
（1）实例：对初二“勾股定理”课程教学的设计
（2）设计背景：在初中数学教学中，三角形是初中数学的重要组成部分，其中的勾股定理的学习是重中之重，是学习三角函数、三角证明及直角三角形等知识的重要基础，所以勾股定理教学设计很重要。
（3）教学设计模式：老师：通过观察图3.1，你发现了什么？学生：图3.1主要由多个黑白等腰直角三角形组成，其中组合构成了正方形A、B、C。
老师：你能说出正方形A、B、C形成的面积关系吗？
学生：正方形A与正方形B面积相同，两者面积之和与正方式面积相等。
老师：那正方形A、B、C 连接形成的等腰直角三角形的三个边长有什么特别之处吗？
学生：由于正方形A的边长平方与正方形B的边长平方之和与正方形C的边长平方相同，即等腰直角三角形斜边平方等于直角两边边长平方之和。
老师：好的，因为等直腰角三角形属于特殊性的直角三角形，才能形成这样的定理。那么这个定理可以应用到普通的直角三角形吗？
通过这样的方法，可以让学生自主的参与到学习探究中，加强学生与学生、学生与老师之间的互动，加强学生对定理体的探究能力和应用能力。
四、初中数学习题课程的“问题连续体”教学设计
在初中数学习题课程教学中，首先要了解学生的认知能力，并制定符合学生认知程度的教学方法。其次要引导学生对同类题目做题规律和结构的掌握，以提高学生的做题能力。再者，充分利用“问题连续体”设计教学活动，以使得学生对数学认知和应用能力得到很大的提高。初中数学习题课程的“问题连续体”教学设计如下：
老师：在题目中0为平行四边形ABCD 两条对角线 BD 、AC 的交点，问
SAOD + SBOC是否等于 SAOB+ SDOC？
老师：如果题目中的0为平行四边形ABCD中的任意点，把AO、BO、CO、DO用实线连接，那么SAOD + SBOC是否等于 SAOB+ SDOC？
老师：如果点0在平行四边形ABCD中在AD 边上，那么SAOD + SBOC是否等于 SAOB+ SDOC？
这种教学设计模式，主要是通过对同一个题目的条件进行修改，并根据“问题连续体”的教学设计方法，引导学生对同类题目的分析和思考，并在掌握同类题目的做题规律和方法，有利于学生对同类题目做题能力的提高。
五、结语
总之，老师要在教学目标和教学内容基础上，分析课程教学的特点，并利用“问题连续体”的教学设计原理，有针对性的进行初中数学课程教学的设计，丰富初中数学的教学内容，提高学生的做题能力，保证初中数学的教学效果。
参考文献：
[1]易巍陆，卢桂霞，傅惠敏.“多元智能问题连续体”教学模式在基础护理学教学中的应用[J].卫生职业教育，2012，11（?13）：90—91.
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）16-0091-02
数学学习本身就是一个提出问题、分析问题、再解决问题的过程。运用数学探究式教学方式展开数学学习，能深入理清学习思路，并掌握学习技巧，提高学习效率。本文从数学概念、解题方法、数学思维、解题拓展这四个方面讨论了数学探究式教学方案的实践与应用方法和措施。
一、数学概念探究―建立知识体系
初中数学概念比较多，而对于概念的学习不能死记硬背，需要进行深入的理解和探究，理清其中的相互关系。比如在九年级学习一元二次方程时，对于什么是一元二次方程，这一概念可以进行拓展探究。联系到七年级学的一元一次和八年级学习的二元一次方程，我们进行概念性的探究教学。这里的“元”是指什么？这里的“次”又是指什么呢？一元二次方程的学习与之前的一元一次和二元一次有什么区别？解决一元二次方程有什么方法？这些都是根据单一的数学概念来拓展出来的问题。解答这些问题，我们可以联系以前学习的知识，进行简单的对比分析。比如：简单的x+3=4是一元一次，x+y=5是二元一次，对比一元和二元，多了一个未知数，而次是指未知数指数的最高数字，可想而知，一元二次方程是形如ax2+b=c的方程，其中a不为0。可以拓展出二元二次方程为ax2+by2=c的方程，a，b都不为0。再学习这一概念的关键是如何解答这一元二次方程，可以有公式法、配方法、还有分解因式法等，这些解题方法再一一对比讨论。数学概念的学习，关键是与以前学习的知识进行联系，并可以扩展到后续将要学习到的知识，建立知识体系架构，让学生头脑中有清晰的认识。
二、解题方法探究―注重一题多解
探究式教学方法在一题多解中应用的非常广泛，注重解题方法的探究，对于在特定时间内有效解决问题是非常有帮助的，探究解题方法，能有助于提高解题效率，也能在经过不同方法验后，避免失根等问题。在解决几何问题时，如何最快速地获得解决办法，或者一个问题到底有几种解答方法，这需要我们熟练掌握各种定理，灵活贯通各类知识，多总结、多分析。如例1：如下图，已知D、E在BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
对于这个问题，其证明方法多种多样，我们可以从几个方面分别进行分析。方法一、我们常用的全等三角形的证明方法，首先证明ABE与ACD全等，再就可以证明ABD与ACE全等了。从而可以得出结论BD=CE。方法二、由等腰三角形的三线和一，可以得出ADE和ABC全等。过A点做垂线AH，得出DH=EH和BH=CH，从而相减得出BD=CE。方法三、采用叠合法可以证明。因为等腰三角形是轴对称图形。由这个例子可以知道，在数学探究式教学过程中，我们不能拘泥于一种方法和一种形式的解答过程，教学过程应该注重对学生思维的扩展，让学生重点掌握一种方法，而其他的辅助方法在遇到其他问题时，也能得心应手地采用。
三、数学思维探究――理清解题思路
数学思维，这个词我们经常看到，数学思维对于数学学习又有什么帮助呢，这就需要我们对数学思维和思想进行探究，获得自己对数学的独特的想法，理清解题思路。探究数学思维，是当遇到某一类题目时，就自然而然的相到类似题型的关键点和相关解题方法和思路，建立思维圈，让解题方法信手拈来。比如在进行边、角相关问题的讨论时，我们就联想到作图法，在验证关系模型的建立是否正确时，我们就联想到特例法等。例2：关于（x-3）x=（2x+4）x这一方程的解答，我们首先联想到可以约去相同的因子x，而这一操作又会影响到方程的解，所以，在关于方程的解的问题时，我们首先要考虑，约去的是不为0的因子。这就是数学思维，建立在大量练习基础上的，长期以来形成的思考数学题型的方式，严谨、认真。
四、归纳拓展探究―深化知识迁移
不管是数学知识，还是其他学科，知识之间的相互牵连都非常紧密。对数学知识进行归纳拓展探究，有利于实现拓展思维，就能灵活运用各种相关知识，然后成功实现数学的提升和进步。比如，在研究几何问题时，我们可以分析出，三角形、四边形、五边形等的内角、外角、以及边的相互关系，随着边的增加，内角和、外角和是如何增加的呢？这些我们都可以总结出一个规律。在进行初中数学学习时，可以设置专题分析，然后对每个专题的知识进行归纳总结和拓展，促进知识的深化和迁移，让学生再碰到类似的题目时，可以进行联想，提高学习效率。
本文从数学概念、解题方法、数学思维、解题拓展这四个方面讨论了数学探究式教学方案的实践与应用方法和措施。在初中教师进行初中数学探究式教学的过程中，要鼓励学生积极参与和讨论，利用学生好奇心强的这一特点，促进学生展开想象的翅膀，多怀疑、多实践，才能多进步。
参考文献：
一、前言
在日常生活和学习中，数学思想的运用是非常广泛的，例如，在讨论社会问题、经济问题时越来越多地运用数学的思想方法，尤其是二次函数的内容社会生活各个方面有着非常重要的地位。由于新课标将二次函数划为初中学习阶段的基础内容之一，加上二次函数与高中阶段的二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，所以初中阶段学好二次函数对高中的学习以及各种其他学科的学习都有着极其重要的作用。
二、初中二次函数的教学理念与策略
1.理解二次函数的概念，学会由方程到函数的转变
在初中数学的日常教学中，二次函数概念在整个初中数学的教学中所具有的至关重要的作用。初中数学教师应加强在日常数学教学中渗透二次函数的概念，例如：设圆的半径为R面积为A，要求写出正方形面积的函数表达式。在二次函数教学中，教师可以从这个具体的实例中去阐述“形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数”这样的一个概念，让学生在具体实例中去理解二次函数的概念，在此过程中教师还应该对函数的定义域给出明确的解释，让学生明白给出任意x的值就能得到任意y的值，说明y是x的二次函数。另外，教学中教师要让学生明白这样一个等式不仅仅一个方程式，同时是两个未知数的一种变化关系，即用含一个未知数的式子表示另一个未知数，前面的未知数叫做自变量，后面的未知数就是前者的函数，两者之间是一种函数关系。让学生做到由方程式向函数概念的转变。
2.利用数形结合方法，培养学生的观察能力
利用函数图像学习函数的性质是学习函数的主要手段之一，它直接影响到学生对函数概念与性质的理解和掌握，在二次函数的教学中，教师要充分利用图像的直观性，培养学生的观察力。要使学生养成每遇到一个二次函数，都应根据条件画出它的草图，再仔细观察它在平面直角坐标系中的形状和位置这样的学习习惯。例如：在教授任意一个形如y=ax2+bx=c（a≠0）的函数时，根据已知条件要求学生画出该函数的图形，对图形的开口方向、顶点位置和坐标、图像的对称轴等等问题有所了解，为具体问题的解答做好铺垫。锻炼学生的观察能力，使学生能够从复杂的图形或关系中抓住主要特征，并能根据考察目的不同而选择适当的观察角度，以达到解决问题的目的。
3.运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力
心理学及生理学的研究表明，初中阶段是人的逻辑思维能力发展的关键时期，由于数学的函数思想又是逻辑思维方式中较常用的思维方式，因而在初中数学中函数教学对学生的逻辑思维发展有重要的作用。但是，因为函数是比较抽象的知识，教学中仅仅靠教师的口头讲解和板书，不仅让学生没有直观的感受，久而久之还会使得学生产生厌恶的情绪。在初中数学教学中引入多媒体等方式可以增强学生学习的兴趣，在函数的教学中，多媒体技术的运用有着增加课堂的容量，提高课堂效率的优点，因为精心制作的PPT能达到图、文、声、像并茂，突破传统教学信息表现单一的局限，由式想图，由图议式，能对函数的教学达到更好的效果。
三、初中二次函数教学的注意事项
1.课堂教学方法的多样性
数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展起来的创造性思维能力，探索的过程实质上是一个不断提出设想、验证设想、修正和发展设想的过程，数学探索能力的培养主要是体现在课题学习中。所以教学方法的运用就显得格外重要。通过培养其发散思维使学生更好的领会函数中所包涵的数学思想，从而达到发展学生创造性思维的目的。
2.教学中注意函数与其它内容的有效区分
数学学习不仅要使学生在数学基础知识、基本技能、思维能力、运算能力、空间想象能力等方面得到训练和提高，还应使学生学会提出问题并明确探究方向，让学生能够运用已有的知识进行交流，并将实际问题抽象为数学问题。由于中学数学课程的内容之间具有密切联系，如何区分函数与其它相似内容成为教师的主要任务。例如：二次函数和一元二次方程式，二次函数与一次函数、反比例函数的区别和联系，通过各种例题的讲解和学习让学生能有效的归纳出：一次函数的未知数x的最高次数为1，二次函数的未知数x的最高次数为2，反比例函数实际就是常数项为0的x的-1次式，即函数的名称与未知数x的次数有联系这样的结论。这样能让学生对的函数认知发生了根本的变化，同时也加深了对二次函数的理解。
3.激发学生兴趣，提高学习效率
厌学是长期困扰教育界的一个问题，也是目前中学生普遍存在的现象，尤其是在数学学科的学习中尤为突出，这给数学学科的教学带来了巨大的困难，正所谓兴趣事最好的老师，激发学生的学习兴趣是提高学习效率的有效方法。在初中函数教学中，教师可采用多媒体教学手段结合分层教学方法来对函数中基本概念进行理解和学习；采用理论结合实际的方法，在备课过程中将数学问题变为实际生活中的问题，将函数与具体情境相结合等办法对一些较难理解的解题方法加以阐述；同时在课后适当的根据作业难度，培养学生的学习动机，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。以此来提高学生对于知识的理解和巩固，提高学习效率。
参考文献：
[1]马旭军.初中数学函数知识教学模式探析[J].中学教学参考，2010，26.
[2]董爱国.浅析初中数学函数教学中思维能力的培养[J].新课程，2009，（4）.
[3]路秀梅.初中数学教学中如何建立起学生的函数观点[J].中学生数理化，2009，（3）.
[4]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习，2009，（11）.
一、制定具体有效的复习计划
初中数学复习计划对指导师生进行复习具有明显的导向作用。计划的有效性如何与复习效果关系甚为密切。因此，制定初中数学复习计划时：
1.认真学习《大纲》、钻研教材，确定复习的重点。确定重点可从以下几方面考虑：
（1）根据《大纲》的教学要求。《大纲》对教学内容提出了四个层次的基本要求：了解、理解、掌握和熟练掌握，这是确定复习重点的依据和标准。对大纲要求“了解”的，让学生知其然即可，不要继续过分引申；要求“理解”的，要领会其实质，知其所以然，并在原有基础上加深印象；要求“掌握”的，要巩固加深，对其所涉及到的各类型的习题，能准确的解答；要求“熟练掌握”的，要能灵活掌握解题的技能技巧。
（2）知识在初中数学教材中的地位、作用；
（3）近年毕业升学考试的分数分配情况。从以上几个方面对初中数学内容分析可知，初中数学的重点内容为：数与式、一元二次方程、函数、三角形的全等与相似、四边形、圆、解直角三角形、概率等等。
2.正确分析学生的知识状况。一是对平时教学中掌握的情况进行定性分析；二是进行摸底测试。
3.制定复习计划。根据知识的重点、学生的知识状况及总复习时间制定比较具体详细可行的复习计划。一般地复习计划主要内容应包括系统复习安排和综合复习安排。系统复习中的每一章节内容，要计划好复习时间、复习要求、复习重点、基本复习方法；计划好如何挖掘教材，使知识系统化；训练哪些方法、培养哪些能力、掌握哪些数学思想等。综合复习应设计如何引导学生对初中数学教材完成由厚到薄的转变；如何培养学生综合应用知识解决问题的能力；安排如何引导学生对各种数学方法进行训练，使知识系统化、熟练化，形成技能技巧，促进数学能力的提高，使学生形成自己的初中数学知识体系。另外，也应考虑对优生培养、中等生的提高、差生转化的具体方法和措施，做好分类教学、分类指导。
二、切实抓好“双基”的复习
初中数学的基础知识、基本技能（基础知识、基本技能包括概念、法则、性质、公式、公理、定理、结论及思想方法等）是学生进行数学运算、数学推理的基本材料，是形成数学能力的基石。如何进行基础知识的复习呢？我认为一是要紧扣教材，依据《大纲》的要求，不能拔高，注重基础；二是要突出复习的特点，上出新意，以调动学生复习的积极性，提高复习的效率。从复习安排上说，搞好基础知识的复习主要依赖于系统复习，在系统复习中，教师要引导学生从弄清某一单元的知识结构入手，由结构找性质（概念、结论、性质、判定等），由性质找方法（运算方法、推理论证的方法、画图方法、思维方法等），则熟练掌握方法到形成能力（运算能力、思维能力、独立解决数学问题能力等）。在一个单元的复习中，为了有效的引导学生弄清该单元的知识结构，宜先用一定的时间让学生自己根据自己实际，对该单元知识进行以查漏补缺为目的的自由复习。要求学生在复习中重点放在理解概念、弄清结论、掌握基本方法上。复习中，教师应巡回辅导了解信息，而后教师引导学生对本单元知识进行系统归类弄清内部结构，然后让学生通过恰当的训练（先基础、后小综合）加深对概念的理解、结论的掌握、方法的熟练和能力的提高，此阶段切忌求快、求深、求难。否则中差生、特别是差生是达不到合格水平的。复习时，还应注意知识的纵横联系，将各部分知识串在一起，弄清它们之间的共性与区别，弄清它们的联系，可使对知识的学习深入一步。因此，复习时除按课本章节顺序进行外，还可将知识按另外的方式进行归类总结。如将内容归为数、式、方程、函数等部分。复习时要加强代数与几何之间的联系，“数”“形”沟通。
三、抓好教材中例题、习题的归类、变式教学
在数学复习课教学中，挖掘教材中的例题、习题等的功能，既是大面积提高数学质量的需要，又是对付考试的基本手段。因此，在复习中应根据教学目的、教学重点和学生实际，引导学生对有关例题习题进行分析总结解题规律，提高复习效率，对具有可变性（一般化、特殊化、深化、减弱）的例习题引导学生进行变式训练使学生从多方面感知数学知识和方法，提高学生综合分析问题、解决问题的能力。目前，“题海战术”的现象还普遍存在，学生整天忙于解题，不总结解题规律及方法，这样既给学生增添了沉重的负担又不能使其熟练掌握和灵活应用知识。事实上，有许多题目，是从同一道习题演变而来的，其思维方式和所运用的知识完全相同。如果不掌握它们之间的内在联系，就题论题，那么在遇上形式稍有变化的题，便束手无策，教师在讲解中，应该引导学生对有代表性的问题进行灵活变换，使之触类旁通，培养学生的应变能力，提高学生的解题技能技巧。挖掘教材中例、习题的功能，可以从以下几方面入手：
（1）寻找其他方法；
（2）改变题目的形式。如变解答题为填空题或选择题等。
（3）题目的条件和结论的交换或部分交换。
（4）改变题目的条件。
（5）把结论进行推广与延伸。如：由特殊推广到一般，或在同等条件下，找出新的结论并证明或解答等。
（6）串联不同的问题。
（7）类比编题等。
做好例、习题的教学。对引导学生深钻教材，培养学生转换问题的能力，观察问题、分析问题、解决问题的能力，能起到事半功倍的作用。
四、落实各种数学思想与数学方法的训练，提高学生的数学素质
理解、掌握各种数学思想和方法是形成数学技能技巧，提高数学能力的前提。
初中数学中，已经出现和运用了不少数学思想和方法。既包括无理数运算转化为有理数运算，有理数转化为算术数运算。解二次方程降次转化为一次方程，解二元、三元方程消元转化为解一元方程等等。应通过不同的形式给以训练使学生熟练掌握。致于分析、综合、归纳、演绎、抽象、概括、类比、推广等重要的数学思想方法，也应让学生有所了解。
初中数学教材中出现的数学方法有：换元法、配方法、图象法、解析法、待定系数法、分析法、综合法、分析综合法、反正法、作图法。这些方法有的是要求了解的，有的要求理解的，有的要求学生熟练掌握、灵活应用。因此，复习中针对要求，分层训练。
对学生进行数学思想和方法的训练，可采用以下两种方法：
1.采取不同训练形式。一方面应经常改变题型，填空题、判断题、选择题、简答题、解答题、证明题等交替使用，使学生认识到，虽然题型变了，但解答题目的本质方法未变，增强学生练的兴趣；另一方面改变题目结构，如变更问题、改换条件等。
2.适当进行题组训练。用一定时间对一方法进行专题训练，能使这一方法得到强化，学生印象深、掌握快、牢。
总之，在初中数学的复习过程中，按照复习计划的安排，脚踏实地，一步一个脚印的走，是一定能取得较好效果的。
参考文献
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）07-0087
综合题的教学有利于在中学数学教学过程中体现问题解决的思想精髓，强调创造能力和应用意识，鼓励学生去探索、猜想和发现。数学的综合运用能力反映出一个人的数学素质和素养状况。初中数学综合题目涉及数学学科内的各个分支，如数与式、方程与不等式、函数、图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明、概率与统计等两大块及以上的知识。笔者经过对初中数学教科书以及近年来各地中考试题、训练题进行分类整理，归纳出初中数学综合题分为以下几种类型：方程型综合题、函数型综合题、几何型综合题、分类讨论综合题、情境应用型综合题、创新型综合题、跨学科综合题。初中数学综合题教学，注重数学知识的整体性，注重使学生学到的知识构成网络、形成系统、打破章节、学科的界限，提高综合运用知识的能力和迁移能力。
一、初中数学综合题的概念、特点及其分类
数学知识之间具有的纵向逻辑联系，这些数学知识一般分属于相同的数学分支，主要依靠知识之间的内在逻辑关系实现它们的联系。所谓综合题，就是横跨两个或两个以上知识块的具有一定难度的问题，需要利用包含两个或两个以上知识块中的若干知识点，经过适当的计算和推理才能获解的问题。在初中数学中，把一个涉及到代数、几何或概率统计的多个知识点、多项基本技能、多种数学思想方法的问题称为综合题。
综合题具有以下一般特点：融合了丰富的数学知识，渗透了重要的数学思想方法，如配方法、换元法、待定系数法、方程与函数思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等，体现了较高的思维能力，如抽象概括、归纳类比、联想转化、分析综合等。在课改形势下，初中数学教科书以及中考数学命题中都以《数学课程标准》为依据出现了许多新特点：探究型问题不时涌现，关注社会生活，聚焦社会热点，实际应用性进一步加强，考查创新意识和实践能力逐步加强，综合考查思维品质。
初中数学综合题教学，注重数学知识的整体性，注重使学生学到的知识构成网络，形成系统，打破章节、学科的界限，提高综合运用知识的能力和迁移能力。因此，在知识网络的交汇点上加强指导，改进教学方法，有利于促进学生对所学知识主动地进行归纳和整理，实现对知识的主动建构，获得认知结构的改造和重组；有利于培养学生的探索精神和创新意识，提高综合运用知识解决问题的能力。
初中数学综合题分为以下几种类型：方程型综合题、函数型综合题、几何型综合题、分类讨论综合题、情境应用型综合题、创新型综合题、跨学科综合题。初中数学综合题教学，注重数学知识的整体性，注重使学生学到的知识构成网络，形成系统，打破章节、学科的界限，提高综合运用知识的能力和迁移能力。综合题的出题方式很多，主要是方程、函数、几何、情景应用、开放探索、阅读理解、图表信息、操作设计、运动等各种问题的综合应用，在中考中得分率较低。笔者认为初中数学综合题教学，不仅要训练学生具体的解题技能方法，更应让学生深刻领会数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的数学能力和优良数学品质。通过数学综合题教学，帮助学生加深对基础知识和方法的掌握，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力。
二、初中数学综合题的解题方法
初中综合题所考查的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考查，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。解数学综合题一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。具体需要做到以下几点：
1. 运用数形结合思想在初中阶段出现的综合题很多都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数，即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。
2. 运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，近年来各地中考题出现的综合题应用分类讨论思想解题己成为新的热点。分类讨论就是把难度较大的问题专化为难度较小的问题，实现化难为易、化繁为简的目的。近年来，为加强对学生全面思维能力的考查，分类讨论题在各地中考题中频频出现。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1．中学生思维能力之特点
我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。
首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。
2．学习数学的几种思维形式
（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。
（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。
（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。
1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。
2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。
3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）
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4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。
另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。
首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）20-0182-02
一、初中数学教学的特点
初中数学主要研究的数量关系、空间，符号体系具有严密性，公式结构也是独特的，图像语言非常形象。和小学数学相比而言，初中数学拥有逻辑性的教材结构、更强的系统性。首先在知识衔接上，后边学习的基础往往是前面所学的知识；另一方面表现在数学知识掌握的技能技巧方面，已有的技能技巧是新的技能技巧形成的前提条件。概括起来讲，初中数学教学有以下几个方面的特点：抽象性，逻辑的严密性，应用的广泛性。
（一）抽象性
数学和其它学科的抽象性相比，初中数学在对象上、程度上都不同。借助于抽象才形成起来的数学，也是凭借抽象发展的。对象的具体内容是抽象的数学撇开的，而只是保留了数量关系和空间形式。运算数学、推理数学、证明数学、理论数学的合理性等，而不同于可以借助可重复的实验来检验那样，严密的逻辑方法才能保证其实现。
（二）逻辑的严密性
具有严密逻辑性的数学，任何被承认的数学结论都是经过了严格的逻辑推理的。也并非数学所独有严密的逻辑性。任何科学都会有逻辑工具的应用。但和其它科学相比数学对逻辑的要求不同。
（三）应用的广泛性
数学作为一种工具或手段，运用在科学技术及一切社会领域中。数学化各门科学，是一大趋势。互相联系的三个数学的特点，抽象性的高度，决定了严密性的逻辑，同时又确保其应用性的广泛性。
二、初中数学教学的过程
新课标形势下，要求初中数学教学要包含以下几个过程：
（一）教师专业化的学习
教师进行专业理论以及专业知识的学习，是教育教学能力提高的重要途径之一。为推进教学改革数学新课程，数学教师应加强学习现代教育理论。加强对大众数学、新的教学理论的了解；加强对当下数学教育发展的总体趋势的了解，把握数学学科改革的大体方向；加强对《数学课程标准》学习和把握；加强对本学段全套数学教材的钻研；各个部门组织的专业培训应积极参与，学校数学课程的培训和研究应主动参加，理论素养不断提高，不断加强数学专业水平和教学能力。
（二）教师学科备课
（1）制定长期和短期教学计划。
（2）了解国家精神和学校要求，明白教材理念和精神。
（3）制定本学期的教学安排和内容，巩固好本阶段和上阶段已完成的阶段性的胜利。
（4）制定复习计划。
（三）教师课堂教课
1.数学课堂的教学要求
（1）实施的教学目标应符合新课标的要求，学生此阶段的心理基础、特征、认知水平。
（2）学习资源、素材应提供丰富、恰当，教学媒体的运用有助自主学习课堂的建构。
（3）有学习组织的有序，数学教学过程清晰。
（4）学习指导的合理有效。数学问题情景的合理创设，学生探究心理被激发；
（四）批改作业
1.布置作业紧扣新课标，习题的精选，适当的难度，适中的份量，学生过重课业负担得到减轻。
2.题型避免单一，注重弹性，不同的作业要求对不同水平的学生。
必须批改统一布置的作业。
三、初中数学教学的主要问题
（一）落后的观念，学习积极性缺乏
目前，大部分的课堂教学仍然是以老师为主，讲的越多越好，学生只是被动的听，练习也很机械，这种教学方法对学生的发展很不利，也不符合新课标的要求，不能适应当代社会对人才的需要。
（二）只注重形式，忽视教学本质
有些老师课堂上只一味的和学生进行互动，对互动的目的并没有很多思考。随意的带动学生，随意的开展讨论，只是对新课标的理解的流于形式。
（三）单调的形式，没有互动
和上一条相比，有些教师在课堂上只是注重学生考试成绩，只是讲解各个知识点，并不能让学生很好的理解为什么是这样，更有甚者让学生自己死记硬背公式，或者例题，课堂上根本没有和学生有互动，一个人在讲台上唱独角戏。
（四）互动没有深度，层次停留在表面
在和学生的互动中，老师经常一味的提问，学生机摸不着头脑的回答，很机械。我们还经常发现很多学生回答问题的答案都是一样的，问题在于老师的提问很有问题。
（五）教师只是喜欢数学好的学生
我们都喜欢好孩子，老师都喜欢好学生，在课堂教学中，成绩比较好的学生更容易获得老师关注，成绩会越来越好，但是有些本来数学成绩不好的学生成绩会愈来愈差。
四、初中数学教学的策略
（一）教师理论水平的提高
要想上课有东西可讲，老师首先必须有足够的理论知识，而且必须保证其理论知识不断的更新。在培养学生综合素质的同时，教师应该不断的提高自己的综合素质，教师理论水平很大程度了影响了学生的水平。
（二）课堂气氛要平等，和谐
教师要亲切，和蔼可亲，讲堂上像对自己的孩子一样，耐心细致的对待自己的学生。
（三）扩大互动范围
教师要注重调动每位学生的积极性，而不是某些特别的学生。师生互动的主要目的就是让学生参与到课堂中来，让学生真正的收益，我们应该坚持师生互动，提高教育水平，个性化的制定教学方法。
（四）深化教学过程，注重教学结果，实现过程和结果的和谐统一（下转147页）
（上接182页）要让学生在学习过程中感受到快乐，同时又能学习到知识。在学习知识的同时又能得到成长，获得人生的感悟和总结。针对不同阶段的教学特点，制定该阶段的教学过程和适用的方法，以达到教学效果最大化。
五、小结
初中阶段的学生有其该时期的特点，该阶段的数学教学也有其独特的特点，我们应该深化教学过程，找到最优教学办法，以达到教学效果最优，使学生体验到学习快乐的同时，又能学到数学知识。
参考文献
[1]《关于初中数学教学全过程的有效性的研究》2010.张传敏
数学教学案，是在教师启发引导下学生进行自主学习的数学课堂学习方案。它突出学生自主学习能力的培养，同时又重视教师的主导作用，与传统意义上的教案或学案比较，突出了导与学的有机结合。在教学实践中，我们探索、尝试编写了《初中数学教学案》，并运用教学案进行教学实践，取得了良好的效果，对编写初中数学教学案也有了一些新的认识。现将我们编写初中数学教学案的理念、框架与过程与大家交流，以求抛砖引玉。
一、教学案的基本框架
在明确编写理念的基础上，我们将每一节课的数学学习，在明确学习目标后，一般分为三个环节：学习准备——探究形成——反思检测。下面结合二次函数的图象与性质的学习，作一些说明。
1．1学习准备
“学习准备”就是学生在学习新知识前建构好一定的心理基础，组建好相应的基础图式，为学习新知作好铺垫。学习准备包括知识准备、情绪准备和工具准备。知识准备主要是学习本节内容应具有的知识储备。情绪准备就是创设学习情境，激发学生的学习兴趣，使学生产生学习的欲望和心向，为学习新知做好情绪状态上的准备。为此，我们设置了课前导学与情境创设两个栏目。
在“课前导学”栏，引导学生作好知识准备与经验准备．通过设置问题、活动(如观察、剪纸、拼图)、练习、建议等，将学生头脑中已有的相关知识、经验调动到大脑的最前沿，为学习新知作好知识经验上的准备。如在探究二次函数的图象与性质前，可设置问题：①一次函数的图象是什么?是怎样得出来的?画函数图象的一般步骤是怎样的?②一次函数有何性质?我们是怎样研究得到的?③何谓二次函数?它有哪些特殊形式?以此把学生头脑中已有的函数知识、研究函数的一般方法调动到大脑的最前沿，引导学生类比一次函数的研究方法探究二次函数的图象与性质。在“情境创设”栏，设置引发学生问题意识、探究欲望的问题情境，激发学生学习的内驱力，使他们产生好奇心和学习欲望，为探索讨论作准备。也
就是说，通过创设问题情境，激发学习兴趣，使学生产生学习的欲望和心向。
如探究二次函数图象与性质，可在课前导学的基础上，设置问题情境(从比较笼统、抽象的问题逐步引向具体、细致的问题)：①二次函数的图象会是什么呢(形成认知冲突)?②与一次函数相比，二次函数y=ax2+bx+C(a≠0)比较复杂。
研究比较复杂的问题时，我们一般从哪里入手呢(重视一般科学思维方法训练)?③(承接课前导学)在二次函数的特殊情形中，哪个最简单又不失本质(二次函数)?④观察函数y=x2，你获得了哪些信息(“数”、“形”上的结论、猜测)?由此，我
们应该怎样来列表、描点、画图?
1．2探究形成
“探究形成”就是在问题引领下，学生尽可能地自主探索，教师适当引导、启发、指点，并通过问题的尝试解决，在运用中达到对知识的理解掌握。在此设置探索讨论与尝试解决两个栏目。在“探索讨论”栏，一般采用填空格、问题串、提示语等形式去引领学生解读教材(读懂教材)、探索新知。教师可以根据具体的数学知识特征和学生的自主学习能力情况，采用不同层次的探究方式，如引导式探究、开放式探究、自主式探究，逐步引导学生走向自主探究．在探究过程中，要重视学习策略的渗透。
采用填空格的形式，让学生通过复述新知要点，解读教材；设置问题串，在一系列相关问题引领下，导疑、导思、导学，引导学生逐步深入探究。问题串中，应注意认知的层次性、形式的多样性，除了知识性问题、推理性问题外，还应有质疑性问题、引导学生提出问题的问题等，由此培养学生创新意识、批判性思维。通过提示语，作一些重点的提示、难点的释义、思想方法的暗示及学法指导等。
1．3反思检测
“反思检测”则包含小结反思、自我反馈、拓展提高三个栏目，分别从文本(陈述性知识)、基础操练(程序性知识)、拓展提高(延伸性知识)对所学的知识、方法进行反思检测．由此培养学生的反思习惯、自我检测与评价能力，提升学生的元认知水平、
在“小结反思”栏，重点设置培养学生元认知水平的问题。在问题引领下，让学生从知识整理、探究方法、知识之间联系、问题解决的过程与方法等方面，通过文字语言(用自己的话记录)，反思自己学习中的得与失，调节自己的学习策略与方法。如“通过本课学习有哪些收获?还有哪些疑惑?”是学生应该养成的最基本的反思习惯，即每学一点，就应该问一问：“我有哪些收获?哪些困惑?”根据不同年龄(年级)学生的特点及学生自主学习能力情况，反思的问题可作适当的细化，作一些要点提示。
如通过二次函数y=ax2(a≠0)图象与性质的探索及学生的尝试解决，应引导学生及时反思(整理)：①本课学习了哪些知识，请你整理小结一下。(结合学生实际，也可提出更具体的问题如：二次函数y=ax2 (a≠0)的图象是什么?有何性质?你记住了吗?)②想一想：我们是怎样研究二次函数y=ax 2(a≠0)的图象与性质的?从函数图象中，你获得了哪些信息?在“自我反馈”栏，关键在于通过精选的练习题，让学生自我测评和发现问题，同时，教师及时了解学生的学习效果，获得教与学的反馈．所选练习题，应突出基础性，重视思想方法，同时，有利于学生对所学知识进行精细加工、深化理解。
二、初中数学教学案编写
教学案的编写要始终牢记编写理念：数学学习不仅是获得结果，应深入探究知识发生、发展过程中的思想方法，数学理解应是“关系性理解”，学生学习数学应当逐步走向自主学习，归纳类比有利于问题意识、创新能力的培养，而演绎推理有利于培养理性思维。在编写理念的指引下，教学案的编写一般应有如下过程(如图1)：
参考文献
