既是教学中心又是科研中心的大学，必然在着重加强基础训练同时，又要使教学过程带有研究性质，在教学过程中，提出学生觉得需要解决的问题，加以适当引导，学习研究。在解决问题的同时，提高学生思维能力，使教学与科研相结合。那么研究式教学就有着必然性，成为调动大学生学习的积极性、主动性、创造性和辩证思维能力的重要手段。
在中学教学中，为了有目的性，针对性调动学生学习积极性、主动性，引导他们在教学大纲范围内巩固基础知识，提高能力，发展智力，将来适应大学的研究性教学形式，我认为，中学教学教育中，也可以根据中学生特点，采取“提问质疑--自学求索--讨论研究--总结提高”的中学教学研究式教学方法。
提问质疑。在课堂上，课外活动中或数学讲座上，根据学生水平，教材内容，提出需要解决的问题，激发学生兴趣，引起对学习某种知识的需要，产生学习研究的动机，对求知欲旺盛的学生来说，也起到引导他们正确学习方向的把关作用，防止无目的不切实际的“乱学”，即一是“引趣”二是“定向”。
自学求索。教师引导学生对课本或有关课外阅读材料，书籍，学习与研究问题有关的知识，要求学生精读教材或课外书。掌握有关知识或提出不懂问题。
讨论研究。在课堂上（提出的问题在教材范围内且与大多数学生必须掌握的基础有关）或在课外（提出的问题有一定难度）由集体（小组或教师与个别有关学生）进行探索研究，介绍自己的学习体会或解决问题的方法。
总结提高。由老师或学生总结解决问题的方法或结论，进行归纳小结，可采用老师在课堂上或数学讲座中总结规律，解答疑难，也可由学生写读书笔记或小论文。用自己的语言进行归纳，谈出自己学习心得或独立见解。
在《不等式》一章教学中，课本对基本不等式“A=≥=G”的证明，只要求对n=2.3的情况进行证明，当学生运用公式达到一定熟悉程度时，便对数学成绩好的学生（对成绩中等以下则要求不要去研究，以免加重负担），提出怎样证明公式一般情形，介绍有关学生阅读华罗庚的《数学归纳法》或其他教学参考书，数学成绩好的学生兴趣很浓，翻阅有关书籍学习，并对常见两种证法提出不懂问题进行热烈讨论。最后，教师在数学讲座中给以讲解，并对教学归纳法证明中的一些技巧或“变着”进行介绍，加深了数学爱好者对数学归纳法的深入理解。其中有一个学生在一本课外书上看到关于这个公式证明的简单介绍：可用“如果a1a2…=a=1（a1a2…an∈R+）则a1+a2+an≥n”（实际上是公式A≥G的特例）证明公式“A≥G”而前者则可用数学归纳法证明。当他学习研究有困难，教师加以指导。这个学生终于解决这一问题，则让他归纳总结，写成小论文，后发表在《中学生数学报》1985年第5期。这种证法介绍给其他学生，学生感到较前面两种证明方法易懂。通过这样做，使学生带着问题，围绕当前学的基础知识去自学研究，使知识面扩宽，有利于培养学生的创造性思维。
“什么是创造性思维？”它是主动地，独创性地发现新事物，提出新的见解，解决新的问题的一种思维形式，就是我们平常说的能做到举一反三闻一知十。这里的创造，不是指科学家的发明创造，科学家的发明创造是说他们所发现和解决的问题往往是人类不曾发现和解决的新事物，而学生的发现、创造和解决问题仅仅是对于他本人来说是一种新鲜事物。学生创造性思维的培养和发展，有助于他们将来进行更大的创造。“（章永生：《教育心理与教学法》）诚然培养中学生的创造性思维，首先会有利于中学生将来到大学深造时主动地有创见性的学习。中学的研究式的教学法与大学少年班的研究式有不少差别：如对象不同---少数数学优等生与群体优等生（且优的程度差别很大）。性质不同--解决尚未学懂的问题与解决尚未解决的问题。方式不同---以发挥老师主导作用解疑为主与发挥学生主体作用为主。但都是为了培养学生主动的积极的创造性的学习动机、方法和能力。前面介绍研究“A≥G”公式证明有创见（即通过学习探讨获得新知识）的学生，尔后学数学的兴趣愈浓，参加1986年全国数学竞赛获自治区三等奖，他所在班级（即笔者任教并试行此法的八七理二班）学数学，研究数学的空气很浓，参加1986年全国高中学生数学竞赛时，有12人获地区一、二、三等奖，有一人获自治区一等奖，二人获自治区二等奖，有一人获自治区三等奖，体现了学生的分析问题和解决问题的能力，创造性思维能力都有很大提高。
提问质疑，其目和是唤起学生的兴趣，求知欲，好奇心，必须难度适当，不能脱离教学大纲和学生实际，而应该是能体现教学大纲，让学生通过自己的积极努力能理解并感到克服学习困难产生一种乐趣的这种适当难度。可以这样说，让学生跳一跳才能摘到树上的果子。若伸手可得或高不可攀都是不可取的，适当的质疑，让学生经常“跳一跳”摘到果子，这样多跳几次，“弹跳力”---自学能力，分析能力等就随之提高了。
在“自学求索”这一阶段，必须培养学生的自学习惯。读书的方法和钻研的精神，即自学能力。例如在立体几何关于《直线与平面平行的判定定理》一节中，在课前预习提出下列问题：1、直线与平面有几种位置关系？判定方法怎样？2、直线与平面判定定理怎样证明？还有其他方法吗？课堂上，学生都可以回答上述两个问题，特别是对第二问题讨论热烈，列举各种证法，经过总结，提高了学生对反证法的运用能力。然而，向学生提出“直线与平面平行的判定方法是怎样思考到的？”这一问题时，学生都无从回答，其原因是学生在“自学求索”这一过程中，学生仅在预习课本时，直接记出定理，没有求索探因，对第一个问题（这是本节最基本问题）觉得似乎易懂而放弃思索研究，笔者带领学生再进一步研究直线与平面的直线在平面内，直线与平面相交平行三种位置的特点：用一支细直棍（代表直线）在一平面进行“在平面内”“平行”的变化过程的演示。
将直线先从在平面内，再平行移动到平面外，来找到线向平行的判定方法。这样做使学生对教材深入钻研，自学求索。过去，笔者是先从上述演示而引起线与平面平行判定定理，再证明，这样做可称“启发式”，而现在采取先提出问题，让学生经过自学研究等阶段来总结提高，可称“研究式”。
研究式的教学方法可应用于课堂教学（如立几的线面平行判定定理一节）中，可与其他教学形式有机结合在一起进行课堂教学，也可应用于课外研究，数学讲座，数学课外活动小组，指导个别数学优等生学习。（如公式“A≥G”的证明）
对某个数学问题的研究，不应毕其功于一役，而应该结合学生掌握知识的程度的不断提高而引导学生在“自学求索”“讨论研究”两个阶段中逐渐深入研究问题。
在解析几何《椭圆》一节中有这样一个例题：我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点A距地面439公里，远地点B距地面2384公里，地球半径为6371公里，求卫星轨道方程。
此题计算不难，学生很容易掌握，但下课前，提出问题，为什么地球的近地点和远地点分别在椭圆长轴两端点（实际上，在预习此课时，已有少数养成研究习惯的学生提出此问题），并结合题目分析归纳成一个极值问题：为什么椭圆上的点到焦点的距离的最远点和最近点分别这椭圆长轴的两端点？
课后，有的学生利用代数方法解决这一问题，但不少学生在遇到函数自变量为二个变量x.y时忘记了，“曲线上的点的坐标必满足这曲线方程”这一基本概念，或者运算化简过程中配方法不熟练。
当学习到圆锥曲线统一定义时，第二次提出此问题让学生研究，掌握用“求圆锥曲线点到焦点的距离可化这点到准线距离”来解决，减少变量个数。
当学习参数方程时，第三次提出此问题，让学生学会利用以角为参数方程，使代数极值问题化为三角函数极值问题来解决。
那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想法。
一、考虑学生现有的知识结构
知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结构。
什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。
例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教学才能顺利进行。
二、考虑学生的思维结构
数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。
心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学生思维水平有关的两个问题。
1．中学生思维能力之特点
我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有如下特点。
首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统一的辩证思维规律。
其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，使他们的思维能力得到更好的发展。
2．学习数学的几种思维形式
（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。
（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例如：试求其反函数等于自身的函数。
（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。
（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。
了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。
三、考虑教材的逻辑结构
我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。
如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。
数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度提高思维能力，完成学习任务。
在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，对它应有一个总的认识。
1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。
2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几个部分，各部分又相互渗透，相互为用。
3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在这块土壤中发育成长起来的。
前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活动的教学（思维活动的教学）
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4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价值。
5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。
初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学对于初等数学再合适不过了。
数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。
四、考虑积极的教学方法
目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。
我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活掌握。
数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。
另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。
究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。
从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响活动教学的效果。
为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。
首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论的内容，举实例将结论内容具体化。
立足于帮助学生顺利度过“四大难关”，教材研究的首要任务是应该搞清各个“难关”的成因。对此作宏观分析，我们容易概括出下面三个方面的成因：
（1）抽象层次的提高
教学内容的抽象性是众所周知的，但作为数学教材的数学内容，则着意体现由直观到抽象的渐变过程，以适应学生认识的发展，在这种变化过程中，起伏程度有所不同，各大难关所表现的正是抽象程度的骤变过程，抽象层次骤然提高，这种变化若学生不能立即适应，就成为学习数学的巨大障碍，就成为“难关”了。
如从算术到代数的过渡，其重要标志就是用字母表示数，特别是字母代替的数既是确定的，又是任意的，这种两重性与小学阶段的数学内容相比，抽象程度显著提高，可以说表现为一次飞跃；从代数到几何的过渡，其抽象程度的飞跃则表现在由以前的单纯的以计算为主到对数学问题的推理论证、大量抽象符号和数学语言的运用过渡；由常量数学到变量数学的过渡，以函数概念的引入为标志，宣布了数学问题的研究由处理相对稳定的数学问题进入处理运动、变化的量与量关系的数学问题的领域，标志着抽象层次的又一次大的迈进；而由有限到无限的过渡，是以极限概念的引入为标志的，其推理方式由对有限问题的处理进入对无限问题的处理，抽象程度又一次发生了质的改变。由此可见，抽象层次的提高，是“难关”的成因之一。
（2）研究对象的转变
恩格斯在《反杜林论》中曾指出：“……纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系－－这是非常现实的材料－－为对象的”这给数学尤其是初等数学的本质作出了很科学的概括。围绕“数”和“形”这两个方面讨论而展开的。而在教材内容的发展过程中，由以数为主要研究对象的内容转变到以形为主要研究对象的内容时，其角度、特点以及抽象程度都有显著的变化，这一转变过程中，学生不能很快适应，就会形成由代数到几何的过渡－－初二平面几何入门的一大难关。由数到形，又到数形结合，研究量与量之间运动、变化过程中表现出的关系，则又是一类研究对象，这就是函数概念的引进－－因研究对象与研究方法的转变而导致的不适应，就出现了由常量数学到变量数学过渡的这一难关。而其它几大难关也不同程度的涉及到研究对象的改变。由此可知，数学内容研究对象的转变也是“难关”的成因之一。
（3）思维方式的转变
每一次“难关”的出现，都相应地出现思维方式上大的转变，都是对前面习惯思维的扬弃。当教学思维从特殊转入对一般情况的研究时，就是相应的第一大难关的来临，此时可以说思维进入归纳思维的范围；而当平面几何以全新的研究对象出现时，演绎推理－－从一般到特殊的思维方式占了主导地位，这种改变又导致了第二大难关的产生，而对辩证思维要求的提高，是导致后两大难关的重要因素，因为这要经受由相对稳定－－运动变化－－无限领域的一系列重大变革，数学中的静与动、有限与无限等矛盾在运动中被一一揭示出来，在思想方向上使中学生经受一次又一次的重大洗礼。由此可见，思维方式的转变是“难关”的重要成因。
二、对策
（1）广泛联系、挖掘量变因素
前面已经指出，“难关”的出现其实质是一个质变过程，它需要量变的积累，如果量变有了充分准备，质变就显得自然，“难关”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度加工到使学生通过努力能够接受的水平上来。在代数关系的研究中，积极注意挖掘与几何结合较紧密的内容，广泛联系，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍。
（2）重点深入，合理设置问题
“圆”是一个古老的课题，人类的生活与生产活动和它密切相关。有关圆的知识在战国时期的《墨经》、《考工记》等书中都有记载，授课中将有关史料穿去，作为课本知识的补充和延伸。例如讲解圆的定义与性质时，我向学生介绍，约在公元前二千五百年左右，我国已有了圆的概念，考古说明我国夏代奴隶社会以前的原始部落时期就有圆形的建筑。至于圆的定义和性质在《墨经》中已有记载，其中，“圆，一中同长也”，即圆周上各点到中心的长度均相等；此外，还进一步说明“圆，规写交也”，即圆是用圆规画出来的终点与始点相交的线。这与欧几里得的定义相似，而《墨经》成书于公元前4～3世纪，是在欧几里德诞生时间问世的。再比如圆心角、弓形、圆环形、圆内接正六边形、直角三角形的内切圆、圆锥等一系列概念与性质，在《墨经》、《考工记》、《九章算术》等书中都有记载，在讲到这些内容时，我便用几句话向同学们作简要介绍。这样，随着这一章教材的不断展开，同学们对我国古代在相关领域的发展概貌有个初步的了解，明白我国古代就对这些内容有了比较全面、系统的认识。特别是早在战国时期就有了论证几何学的萌芽，几乎与古希腊的几何学同时产生。
二、根据教材特点，适当选择科学史资料，有针对性地进行教学。
圆周率π是数学中的一个重要常数，是圆的周长与其直径之比。为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家作出过卓越贡献。该章的“读一读：关于圆周率π”对此作了简单的介绍，并提到祖冲之取得了“当时世界上最先进的成就”。为了让同学们了解这一成就的意义，从中得到启迪，我选配了有关的史料，作了一次读后小结。先简单介绍发展过程：最初一些文明古国均取π＝3，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过实践逐步认识到用古率计算圆周长和圆面积时，所得到的值均小于实际值，于是不断利用经验数据修正π值，例如古埃及人和巴比伦人分别得到π＝31605和π＝3125。后来古希腊数学家阿基米德（公元前287～212年）利用圆内接和外切正多边形来求圆周率的近似值，得到当时关于π的最好估值约为：31409〈π〈31429；此后古希腊的托勒玫约在公元150年左右又进一步求出π＝3141666。我国魏晋时代数学家刘微（约公元3～4世纪）用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为192时，得到3141024〈π〈3142704。后来把边数增加到3072边时，进一步得到π＝314159，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之（公元429～500年）更上一层楼，计算出π的值在31415926与31415927之间。求出了准确到七位小数的π值。我国以这一精度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元1429年左右才被中亚细亚的数学家阿尔·卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。这样可使同学们明白，人类对圆周率认识的逐步深入，是中外一代代数学家不断努力的结果。我国不仅以古代的四大发明———火药、指南针、造纸、印刷术对世界文明的进步起了巨大的作用，而且在数学方面也曾在一些领域内取得过遥遥领先的地位，创造过多项“世界记录”，祖冲之计算出的圆周率就是其中一项。接着我再说明，我国的科学技术只是近几百年来，由于封建社会的日趋没落，才逐渐落伍。如今在向四个现代化进军的新长征中，赶超世界先进水平的历史重任就责无旁贷地落在同学们的肩上。我们要下定决心，努力学习，奋发图强。
课堂教学是实施素质教学的主阵地，提高学生的素质是课堂教学的重要内容，怎样将“应试教育”向“素质教育”转轨,怎样变单纯的“知识输入”为“能力培养、智力开发”，如何大面积提高中学的数学教学质量，这是摆在我们广大数学教师面前的一个重大课题。在众多教学改革的原则中，主体性是素质教育的核心和灵魂．在教学中要真正体现学生的主体性，就必须使认知过程是一个再创造的过程，使学生在自觉、主动、深层次的参与过程中，实现发现、理解、创造与应用，在学习中学会学习．使学生产生明显的意识倾向和情感共鸣，乃是主体参与的条件和关键．
情境教学具有一定的代表性，它以优化的情境为空间，根据教材的特点营造、渲染一种富有情境的氛围，让学生的活动有机地注入到学科知识的学习之中。它讲究强调学生的积极性，强调兴趣的培养，以形成主动发展的动因，提倡让学生通过观察，不断积累丰富的表象，让学生在实践感受中逐步认知知识，为学好数学、发展智力打下基础。简言之，情境教学以促进学生整体能力的和谐发展为主要目标．结合本人十多年的教学经验和近几年在数学教学实践中的探索，谈谈情境教学的一些体会
创设情境教学的原则
创设情境的方法很多，但必须做到科学、适度，具体地说，有以下几个原则：
①要有难度，但须在学生的“最近发现区”内，使学生可以“跳一跳，摘桃子”．
②要考虑到大多数学生的认知水平，应面向全体学生，切忌专为少数人设置．
③要简洁明确，有针对性、目的性，表达简明扼要和清晰，不要含糊不清，使学生盲目应付，思维混乱．
④要注意时机，情境的设置时间要恰当，寻求学生思维的最佳突破口．
⑤要少而精，做到教者提问少而精，学生质疑多且深．
重视创设情境教学的特性
一、诱发主动性：
传统教育的弊端告诫我们：教育应以学生为本。面对当今新时期的青少年，服务于这样一种充满生气、有真挚情感、有更大可塑性的学习活动主体，教师决不可以越俎代庖，以知识的讲授替代主体的活动。情境教学就是把学生的主动参与具体化在优化的情境中产生动机、充分感受、主动探究。如在复习函数这节课时，教师可以创设以下的教学情境：
案例:“我”在某市购物，甲商店提出的优惠销售方法是所有商品按九五折销售，而乙商店提出的优惠方法是凡一次购满500元可领取九折贵宾卡。请同学们帮老师出出主意，“我”究竟该到哪家商店购物得到的优惠更多？问题提出后，学生们十分感兴趣，纷纷议论，连平时数学成绩较差的学生也跃跃欲试。学生们学习的主动性很好地被调动了起来。活势形成，学生们在不知不觉中运用了分类讨论的思想方法。
曾有人说:“数学是思维的体操”。数学教学是思维活动的教学。学生的思维活动有赖于教师的循循善诱和精心的点拨和启发。因此，课堂情境的创设应以启导学生思维为立足点。心理学研究表明：不好的思维情境会抑制学生的思维热情，所以，课堂上不论是设计提问、幽默，还是欣喜、竞争，都应考虑活动的启发性，孔子曰：“不愤不启，不悱不发”，如何使学生心理上有愤有悱，正是课堂情境创设所要达到的目的。
二、强化感受性：
情境教学往往会具有鲜明的形象性，使学生如入其境，可见可闻，产生真切感。只有感受真切，才能入境。要做到这一点，可以用创设问题情境来激发学生求知欲。创设问题情境就是在讲授内容和学生求知心理间制造一种“不和谐”，将学生引入一种与问题有关的情境中。心理学研究表明：“认知矛盾时动机的根源。”课堂上，教师创设认知不协调的问题情境，以激起学生研究问题的动机，通过探索，消除剧烈矛盾，获得积极的心理满足。创设问题情境应注意要小而具体、新颖有趣、有启发性，同时又有适当的难度。此外，还要注意问题情境的创设必须与课本内容保持相对一致，更不能运用不恰当的比喻，不利于学生正确理解概念和准确使用数学语言能力的形成。教师要善于将所要解决的课题寓于学生实际掌握的知识基础之中，造成心理上的悬念，把问题作为教学过程的出发点，以问题情境激发学生的积极性，让学生在迫切要求下学习。
案例：在对“等腰三角形的判定”进行教学设计时，教师可以通过具体问题的解决创设出如下诱人的问题情境：
在ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下了一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形重新画出来？学生先画出残余图形并思索着如何画出被墨水涂没的部分。各种画法出现了，有的学生是先量出∠C的度数，再以BC为一边，B点为顶点作∠B=∠C，B与C的边相交得顶点A；也有的是取BC中点D，过D点作BC的垂线，与∠C的一边相交得顶点A，这些画法的正确性要用“判定定理”来判定，而这正是要学的课题。于是教师便抓住“所画的三角形一定是等腰三角形吗？”引出课题，再引导学生分析画法的实质，并用几何语言概括出这个实质，即“ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC”。这样，就由学生自己从问题出发获得了判定定理。接着，再引导学生根据上述实际问题的启示思考证明方法。
除创设问题情境外，还可以创设新颖、惊愕、幽默、议论等各种教学情境，良好的情境可以使教学内容触及学生的情绪和意志领域，让学生深切感受学习活动的全过程并升化到自己精神的需要，成为提高课堂教学效率的重要手段。这正象赞可夫所说的：“教学法一旦触及学生的情绪和意志领域，这种教学法就能发挥高度有效的作用。”
三、着眼发展性：
数学是一门抽象和逻辑严密的学科，正由于这一点令相当一部分学生望而却步，对其缺乏学习热情。情境教学当然不能将所有的数学知识都用生活真实形象再现出来，事实上情境教学的形象真切，并不是实体的复现或忠实的复制、照相式的再造，而是以简化的形体，暗示的手法，获得与实体在结构上对应的形象，从而给学生以真切之感，在原有的知识上进一步深入发展，以获取新的知识。
案例：在学习完了平行四边形判定定理之后，如何进一步运用这些定理去判定一个四边形是否为平行四边形的习题课上．我先带领学生回顾平行四边形的定义以及四条判定定理：
1、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2、平行四边形判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(2)对角线相互平分的四边形是平行四边形。
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
分析从这五条判定方法结构来看，平行四边形定义和前三条判定定理的条件较单一，或相等、或平行，而第四条判定定理是相等与平行二者兼有，如果将它看作是定义和判定(1)中各取条件的一部分而得出的话,那么从定义和前三条判定定理中每两个取其中部分条件是否都能构成平行四边形的判定方法呢?这样我创设了情境，根据对第四条判定定理的剖析，使学生用类比的方法提出了猜想:
1.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形。
2.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形。
3.一组对边平行且对角线交点平分某一条对角线的四边形是平行四边形。
4.一组对边相等且对角线交点平分某一条对角线的四边形是平行四边形。
5.一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形。
6.一组对角相等且连该两顶点的对角线平分另一对角线的四边形是平行四边形。
7.一组对角相等且连该两顶点的对角线被另一对角线平分的四边形是平行四边形。
在启发学生得出上面的若干猜想之后，我又进一步强调证明的重要性，以使学生形成严谨的思维习惯，达到提高学生逻辑思维能力的目的，要求学生用所学的5种判定方法去一一验证这七条猜想结论的正确性。
经过全体师生一齐分析验证,最终得出结论:七条猜想中有四条猜想是错误的,另外三个正确猜想中的一个尚待给予证明。学生在老师的层层设问下,参与了问题探究的全过程。不仅对知识理解更透彻,掌握更牢固,而且从中受到观察、猜想、分析与转换等思维方法的启迪,思维品质获得了培养,同时学生也从探索的成功中感到喜悦,使学习数学的兴趣得到了强化，知识得到了进一步发展。
四、渗透教育性：
教师要传授知识,更要育人。如何在数学教育中，对学生进行思想道德教育，在情境教学中也得到了较好的体现。法国著名数学家包罗•朗之万曾说:“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊的。”我国是数学的故乡之一，中华民族有着光辉灿烂的数学史，如果将数学科学史渗透到数学教学中，可以拓宽学生的视野，进行爱国主义教育，对于增强民族自信心，提高学生素质，激励学生奋发向上，形成爱科学，学科学的良好风气有着重要作用。
教师应根据教材特点，适应地选择数学科学史资料，有针对性地进行教学
案例:圆周率π是数学中的一个重要常数，是圆的周长与其直径之比。为了回答这个比值等于多少，一代代中外数学家锲而不舍，不断探索，付出了艰辛的劳动，其中我国的数学家祖冲之取得了“当时世界上
通过大量的案例展示分析，揭示了中学数学素质教学中的情境教学的意义。最先进的成就”。为了让同学们了解这一成就的意义，从中得到启迪，我选配了有关的史料，作了一次读后小结。先简单介绍发展过程：最初一些文明古国均取π=3，如我国《周髀算经》就说“径一周三”，后人称之为“古率”。人们通过利用经验数据π修正值，例如古埃及人和古巴比伦人分别得到π=3.1605和π=3.125。后来古希腊数学家阿基米德（公元前287~212年）利用圆内接和外接正多边形来求圆周率π的近似值，得到当时关于π的最好估值约为:3.1409<π<3.1429；此后古希腊的托勒玫约在公元150年左右又进一步求出π=3.141666。我国魏晋时代数学家刘微（约公元3~4世纪）用圆的内接正多边形的“弧矢割圆术”计算π值。当边数为192时，得到3.141024<π<3.142704。后来把边数增加到3072边时，进一步得到π=3.14159，这比托勒玫的结果又有了进步。待到南北朝时，祖冲之（公元429~500年）更上一层楼，计算出π的值在3.1415926与3.1415927之间。求出了准确到七位小数π的值。我国的这一精确度，在长达一千年的时间中，一直处于世界领先地位，这一记录直到公元1429年左右才被中亚细亚的数学家阿尔•卡西打破，他准确地计算到小数点后第十六位。这样可使同学们明白，人类对圆周率认识的逐步深入，是中外一代代数学家不断努力的结果。我国不仅以古代的四大发明-------火药、指南针、造纸、印刷术对世界文明的进步起了巨大的作用，而且在数学方面也曾在一些领域内取得过遥遥领先的地位，创造过多项“世界纪录”，祖冲之计算出的圆周率就是其中的一项。接着我再说明，我国的科学技术只是近几百年来，由于封建社会的日趋没落，才逐渐落伍。如今在向四个现代化进军的新长征中，赶超世界先进水平的历史重任就责无旁贷地落在同学们的肩上。我们要下定决心，努力学习，奋发图强。
为了使同学们认识科学的艰辛以及人类锲而不舍的探索精神，我还进一步介绍：同学们都知道π是无理数，可是在18世纪以前，“π是有理数还是无理数？”一直是许多数学家研究的课题之一。直到1767年兰伯脱才证明了是无理数，圆满地回答了这个问题。然而人类对于π值的进一步计算并没有终止。例如1610年德国人路多夫根据古典方法，用262边形计算π到小数点后第35位。他把自己一生的大部分时间花在这项工作上。后人为了纪念他，就把这个数刻在它的墓碑上。至今圆周率被德国人称为“路多夫数”。1873年英国的向客斯计算π到707位小数，1944年英国曼彻斯特大学的弗格森分析了向克斯计算的结果后，产生了怀疑并决定重新算一次。他从1944年5月到1945年5月用了一整年的时间来做这项工作，结果发现向克斯的707位小数只有前面527位是正确的。后来有了电子计算机，有人已经算到第十亿位。同学们要问计算如此高精度的π值究竟有什么意义？专家们认为，至少可以由此来研究π的小数出现的规律。更重要的是对π认识的新突破进一步说明了人类对自然的认识是无穷无尽的。几千年来，没有哪一个数比圆周率π更吸引人了。根据这一段教材的特点，适当选配数学史料，采用读后小结的方式，不仅可以使学生加深对课文的理解，而且人类对圆周率认识不断加深的过程也是学生深受感染，兴趣盎然，这对培养学生献身科学的探索精神有着积极的意义。
五、贯穿实践性：
情境教学注重“情感”，又提倡“学以致用”，努力使二者有机地统一起来，在特定的情境中和热烈的情感驱动下进行实际应用，同时还通过实际应用来强化学习成功所带来的快乐。数学教学也应以训练学生能力为手段，贯穿实践性，把现在的学习和未来的应用联系起来，并注重学生的应用操作和能力的培养。我们充分利用情境教学特有的功能，在拓展的宽阔的数学教学空间里，创设既带有情感色彩，又富有实际价值的操作情境，让学生扮演测量员，统计员进行实地调查，搜集数据，制统计图，写调查报告，其教学效果可谓“百问不如一做”，学生产生顿悟，求知欲得到满足更加乐意投入到新的学习情境中去了。同时对学生思维能力、表达能力、动手能力、想象能力、提出问题和解决问题的能力，甚至交际能力、应变能力等等，都得到了较好的培养和训练。
案例:“三角形内角和定理”就可以通过实践操作的办法来创设教学情境。学生的认知结构中，已经有了角的有关概念，三角形的概念，还具有同位角、内错角相等等有关平行线的性质。这些都是学习新知识的“固着点”，但由于它们与“三角形内角和定理”之间的逻辑联系并不十分明显，大部分同学都难以想到要对三角形的三个内角之和进行一番研究，这种情况下，我们可以创设这样的数学情境:首先，在回顾三角形概念的基础上，提出:“三角形的三个内角会不会存在某种关系呢？”这是纲领性提问，对学生的思维还达不到确定的导向作用，学生可能会对角与角的相等、不等、两角之和(差)与第三个角的大小比较等等问题进行研究，当发现这些问题只对某些特殊三角形有意义时，他们的思维可能会指向“三个内角的和是否有一定的规律？”我适时地提出:“请同学们画一些三角形(包括锐角、直角、钝角三角形)，再用量角器量出三个角，观察一下各三角形的三个内角有什么联系。”经测量、计算，学生发现三个内角的和都在180°左右。我再进一步提出:“由于具体测量会有误差,但和数都在180°左右，三角形的三个内角之和是否为180°呢？请同学们把三个角拼在一起，看一看，构成了一个怎样的角？”学生在完成这一实验后发现，三个内角拼在一起构成一个平角。经过上述两步实验，提出“三角形的三个内角之和为180°”的猜想就水到渠成了。接着，我指出了实验操作的局限性，并要求学生给出严格的逻辑证明。在寻找证明方法时，我提出:“观察拼接图形，从中能得到什么启示？”学生可凭借实践操作时的感性经验，找到证明方法。实践操作不但使学生获得了定理的猜想，而且受到了证明定理的启发，显示了很大的智力价值。又如：我在初三复习列方程解应用题时，为了让学生明白学数学的主要目的是要培养思维和掌握解决问题的能力，在课的最后出了一道开放型命题：
将一个50米长30米宽的矩形空地改造成为花坛，要求花坛所占的面积，恰为空地面积的一半。试给出你的设计方案（要求：美观，合理，实用，要给出详细数据）。这题是一道中考题，是应用数学的典型实例，既培养学生解决问题的能力又开发他们的创新思维。学生讨论得十分激烈，不断有新的创意冒出来，有的因无法操作而被别人否定，也有不少十分不错的设想。通过这次讨论，我觉得每个学生都是有潜力可挖的，解决问题的能力虽有强弱，但我们教师更应该多培养多点拨多激励，以增强学生学习数学的自信心。
创设情境教学的主要方式
一，创设应用性情境，引导学生自己发现数学命题（公理、定理、性质、公式）
案例1在“均值不等式”一节的教学中，可设计如下两个实际应用情境，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及其推论．
①某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价．有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次找p折销售；丙方案是两次都打（p＋q）／2折销售．请问：哪一种方案降价较多？
②今有一台天平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量物体的重量，只须将物体放在左、右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实重量．你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法？
学生通过审题、分析、讨论，对于情境①，大都能归结为比较pq与（（p＋q）／2）2大小的问题，进而用特殊值法猜测出pq≤（（p＋q）／2）2，即可得p2＋q2≥2pq．对于情境②，可安排一名学生上台讲述：设物体真实重量为G，天平两臂长分别为l1、l2，两次称量结果分别为a、b，由力矩平衡原理，得l1G＝l2a，l2G＝l1b，两式相乘，得G2＝ab，由情境①的结论知ab≤（（a＋b）／2）2，即得（a＋b）／2≥，从而回答了实际问题．此时，给出均值不等式的两个定理，已是水到渠成，其证明过程完全可以由学生自己完成．
以上两个应用情境，一个是经济生活中的情境，一个是物理中的情境，贴近生活，贴近实际，给学生创设了一个观察、联想、抽象、概括、数学化的过程．在这样的问题情境下，再注意给学生动手、动脑的空间和时间，学生一定会想学、乐学、主动学．
通过大量的案例展示分析，揭示了中学数学素质教学中的情境教学的意义。二，创设趣味性情境，引发学生自主学习的兴趣
案例2在“等比数列”一节的教学时，可创设如下有趣的情境引入等比数列的概念：
阿基里斯（希腊神话中的善跑英雄）和乌龟赛跑，乌龟在前方1里处，阿基里斯的速度是乌龟的10倍，当它追到1里处时，乌龟前进了1／10里，当他追到1／10里，乌龟前进了1／100里；当他追到1／100里时，乌龟又前进了1／1000里……
①分别写出相同的各段时间里阿基里斯和乌龟各自所行的路程；
②阿基里斯能否追上乌龟？
让学生观察这两个数列的特点引出等比数列的定义，学生兴趣十分浓厚，很快就进入了主动学习的状态．
三，创设开放性情境，引导学生积极思考
案例3直线y＝2x＋m与抛物线y＝x2相交于A、B两点，________，求直线AB的方程．（需要补充恰当的条件，使直线方程得以确定）
此题一出示，学生的思维便很活跃，补充的条件形形．例如：
①｜AB｜＝；②若O为原点，∠AOB＝90°；
③AB中点的纵坐标为6；④AB过抛物线的焦点F．
涉及到的知识有韦达定理、弦长公式、中点坐标公式、抛物线的焦点坐标，两直线相互垂直的充要条件等等，学生实实在在地进入了“状态”．
四，创设直观性图形情境，引导学生深刻理解数学概念
案例4“充要条件”是高中数学中的一个重要概念，并且是教与学的一个难点．若设计如下四个电路图，视“开关A的闭合”为条件A，“灯泡B亮”为结论B，给充分不必要条件、充分必要条件、必要不充分条件、既不充分又不必要条件以十分贴切、形象的诠释，则使学生兴趣盎然，对“充要条件”的概念理解得入木三分．
五，创设新异悬念情境，引导学生自主探究
案例5在“抛物线及其标准方程”一节的教学中，引出抛物线定义“平面上与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”之后，设置这样的问题情境：初中已学过的一元二次函数的图象就是抛物线，而今定义的抛物线与初中已学的抛物线从字面上看不一致，它们之间一定有某种内在联系，你能找出这种内在的联系吗？
此问题问得新奇，问题的结论应该是肯定的，而课本中又无解释，这自然会引起学生探索其中奥秘的欲望．此时，教师注意点拨：我们应该由y＝x2入手推导出曲线上的动点到某定点和某定直线的距离相等，即可导出形如动点P（x，y）到定点F（x0，y0）的距离等于动点P（x，y）到定直线l的距离．大家试试看!学生纷纷动笔变形、拚凑，教师巡视后可安排一学生板演并进行讲述：
x2＝y
x2＋y2＝y＋y2
x2＋y2－（1／2）y＝y2＋（1／2）y
x2＋（y－1／4）2＝（y＋1／4）2
＝｜y＋14｜．
它表示平面上动点P（x，y）到定点F（0，1／4）的距离正好等于它到直线y＝－1／4的距离，完全符合现在的定义．
这个教学环节对训练学生的自主探究能力，无疑是非常珍贵的．
六，创设疑惑陷阱情境，引导学生主动参与讨论
案例6双曲线x2／25－y2／144＝1上一点P到右焦点的距离是5，则下面结论正确的是（）．
A．P到左焦点的距离为8
B．P到左焦点的距离为15
C．P到左焦点的距离不确定
D．这样的点P不存在
教学时，根据学生平时练习的反馈信息，有意识地出示如下两种错误解法：
错解1．设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由双曲线的定义得
｜PF1｜－｜PF2｜＝±10．
｜PF2｜＝5，
｜PF1｜＝｜PF2｜＋10＝15，故正确的结论为B．
错解2．设P（x0，y0）为双曲线右支上一点，则
｜PF2｜＝ex0－a，由a＝5，｜PF2｜＝5，得ex0＝10，
｜PF1｜＝ex0＋a＝15，故正确结论为B．
然后引导学生进行讨论辨析：若｜PF2｜＝5，｜PF1｜＝15，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝20，而｜F1F2｜＝2c＝26，即有｜PF1｜＋｜PF2｜＜｜F1F2｜，这与三角形两边之和大于第三边矛盾，可见这样的点P是不存在的．因此，正确的结论应为D．
进行上述引导，让学生比较定义，找出了产生错误的在原因即是忽视了双曲线定义中的限制条件，所以除了考虑条件｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，还要注意条件a＜c和｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜．
通过上述问题的辨析，不仅使学生从“陷阱”中跳出来，增强了防御“陷阱”的经验，更主要地是能使学生参与讨论，在讨论中自觉地辨析正误，取得学习的主动权．
总之，切实掌握好创设情境教学的原则、重视创设情境教学过程的特性，合理应用创设情境教学的方式，充分重视“情境教学”在课堂教学中的作用，通过精心设计问题情境，不断激发学习动机，使学生经常处于“愤悱”的状态中，给学生提供学习的目标和思维的空间，学生自主学习才能真正成为可能．在日常的教学工作中，不忘经常创设数学情境，引导学生自主学习，动机、兴趣、情感、意志、性格等非智力因素起着关键的作用．把智力因素与非智力因素有机地结合起来，充分调动学生认知的、心理的、生理的、情感的、行为的、价值的等方面的因素，让学生进入一种全新的情境境界，学生自主学习才能达到比较好的效果．这就需要在课堂教学中，做到师生融洽，感情交流，充分尊重学生人格，关心学生的发展，营造一个民主、平等、和谐的氛围，在认知和情意两个领域的有机结合上，促进学生的全面发展．
参考文献：
1、皮连生《学与教的心理学》（华东师范大学出版社1997年）
2、柳斌《学校教育科研全书》（九州图书出版社，人民日报出版社1998年）
3、肖柏荣《数学教育设计的艺术》（《数学通报》1996年10月）
4、章建跃《关于课堂教学中设置问题情境的几个问题》（《数学通报》1994年6月）
5、盛志军《今天，我没有完成授课计划》（《数学教学》2004年第11期）
现代社会正经历着由信息革命引起的深刻的技术革命和社会变化，多媒体技术作为信息革命在学校的具体体现,其功能与作用愈来愈多受到大家的普遍重视。多媒体的使用已作为一种新型的教育形式和现代化教学手段进入到我们课堂教学中,给教育界带来巨大影响。
利用多媒体技术对文本、声音、图形、图象、动画等内容通过综合处理及其再交互，编制出学科教学计算机辅助教学课件.在学生面前展示出生动逼真、图文并茂、有声有色的世界，创设出良好的教学环境，为教学的顺利实施提供形象的表达工具，能有效地激发学习兴趣。同时还减少教师的时间，大大提高了课堂的效率，真正地改变传统教育单调模式，使乐学落到实处。
然而，一个不容忽视的事实是，多媒体教学在我们高中数学课堂的教学的运用并不是很广，大多数的数学课依旧是粉笔加黑板的传统教学模式，为什么多媒体进入数学课堂的步履如此艰难呢？我认为原因主要有两点：1.没有充分考虑到怎样将多媒体技术与数学教学有机的结合起来2.在强调教育技术的同时没有充分考虑发挥教师的作用。故难以多媒体技术和数学教学完美地结合起来。在这里本人就这两方面谈一下对多媒体在实现数学课堂教学整体优化中的认识。
一.多媒体技术与数学教学有机地结合
1.掌握数学学科的自身特点
利用多媒体辅助数学教学，不能完全照搬其他学科成功经验,数学学科的自身特点限制了不可能在课堂上大量引入影视资料和音乐,不可能一面分析数学问题，一面播放音乐，也不可能来一个从黑板到屏幕的大搬家。事实上数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，数学教师在黑板上的作图、证明、解题的过程本身就是一个不可缺少示范教学过程，同时数学是一个相对完备、封闭的王国、对数学定义来不得半点拓宽，对定理来不得半点变动。
2.找准多媒体技术与数学结合的契机
要将多媒体技术融合到数学教学中,成为教学的有机组成部分,这样要求教师不仅要熟练掌握技术手段,了解多媒体技术进入数学教学的优势和局限性,更重要的是深刻了解教育的本质,了解本学科教学的教学目的,了解教学中的重,难点所在,了解传统教学的优点和局限性,了解做授班级的学生综合素质,结合技术所提供的能力选择最佳组合,更好地进行教学活动。总之做好多媒体与数学的整合工作的前提是数学教师走进计算机领域，学生、教师的同努力，才能将整合工作做好。数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，传统的数学教学基本要求是：学生掌握基础知识的基本技能。整个教学过程是培养学生思维过程，熟练掌握基本技能的过程，开发学生的空间想象能力的过程，这些都是数学教育的特殊基本要求。计算机是信息处理的有效工具，但它在数学教育尤其是课堂教学上其优势却不象其它学科那样明显，辅助数学教学的初期人们自然引用了“课本搬家”和“题库”式的数学教育软件，虽然增加了一些动画，但这类软件的作用与课本和习题集没有什么根本的区别，与传统的数学教学相比表现出十分勉强。
运用现代多媒体技术，从多方面、多角度来解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维。先进的计算机技术与学科教学有机的结合在一起，充分发挥技术的优势和作用，提高教学效率、突破重点难点，甚至在技术的支持下改革现有的教学方法、教学模式、教学内容和教学观念，把各种技术手段完美地适当地融合到课程中——就象在教学中使用黑板和粉笔一样自然、流畅。
我在高一教学过程中，仔细研究高一数学的内容，和计算机技术的特点，尤其是《几何画板》的功能，认为传统的“课本搬家”，“题库”，“美丽的画面和声音”，“人为安排的交互界面”都不能充分展现计算机技术的魅力，要进一步发挥计算机技术在数学教学中的特殊功能，利用计算机创设出一个赋有创造性，启发性的教学情境如：对教学概念、定义的理解，对新知识的探索，挖掘数学的内涵，增强计算能力等方面。其中一个关键因素是选择适当的切入点，不同的教学阶段有着不同的切入点。高一代数重点在函数的概念、图象、性质。在教学中我们分步骤分层次利用《几何画板》来完成函数的图象。①按定义作出函数的图象。②完善所作的图象（并验证在定义域内函数图象的正确性）。③由图象归纳出函数的性质。④验证、分析在定义域的临界点附近的函数状态。⑤从已作出的图象中能否挖掘出新的知识点，或进一步理解数学的内涵。
例如：对于幂函数的图象的变化，当a>0时幂函数图象在第一象限是增函数，并且无论a在大于0的范围内怎样变化，它的图象都一定经过直角坐标系中的原点和横坐标纵坐标都等于1的点。当a<0图象的变化，这个时候幂函数图象在第一象限内是减函数，并且一定经过直角坐标系中的（1，1）点。当a<0时,图象在第一象限内向上与Y轴无限接近，向右与X轴无限接近。我们知道教科书上在介绍幂函数时是分a<0和a>0两种情况来讨论的，那么为什么a≠0呢？。当a=0的情况，这时图象已退化成一条平行于X轴，且在X轴上方一个单位的一条直线。同样可以通过改a的值，看出当a=1时幂函数y=xa的图象实际上就是Y=X这条直线。这些图象的变化都可以运用几何画板软件来很好的完成。对于学生，一方面从多媒体的演示，再结合有关必要的解说和优美音乐，将现实的环境虚拟到课堂中使学生身临其境，产生动画效应，同时通过启发性提问，引导学生积极开展思维，自我挖掘各种图形间的内在联系或变化，还有有关计算公式的推导、演变。动画模拟不但能彻底改变传统教学中的凭空想象、似有非有、难以理解之苦，同时还能充分激发学生学习能动主观性，化被动为主动。
3.多媒体教学要和传统教学优势互补
目前有一种是过分夸大计算机技术与计算机辅助教学的作用的倾向，认为计算机辅助教学就要完全离开传统的教学方法，应该与粉笔与黑板再见，整节课不顾学生的素质，完全采用多媒体技术。从上课的第一分钟直到下课，教师除了讲解，就是点击鼠标。认为只有这样才能解决教学中的重、难点，开拓学生的视野，开发学生的思维，体现现代教育的优势。我认为这是有片面性的看法,多媒体教学要和传统教学应优势互补。一方面教育需要技术，技术需要教师，现代技术与传统教学要来个优势互补。对具体问题作具体的分析、具体处理。这里从一个侧面反映了教师的数学修养、教学经验、教育理论水平起重要的作用。同时教师在课堂上的讲解、作图，本身就是对学生的一个示范，必要的计算训练也是不可少的。
计算机在数学教学中有着它的独特作用，在辅助学生认知的功能要胜过以往的任何技术手段。在帮助学生系统地复习、运用知识方面也有着比传统教学更先进的模式，特别它的表述的方式很灵活，可以以文字、图形、动画、电影、图表等多种方式出现。
在计算机引入数学课之后，多媒体手段与传统教学完美的结合显得十分重要。多媒体技术作为辅助工具是为教学服务的，课堂上该用的时候就用，不该用是时候一定不要勉强使用，好比我们上立体几何课时用的模型，该用的时候拿起来，不用的时候放下来。
传统教学的优势应该保留，如教师的示范作用、教师与学生之间的及时交流，教师课堂组织能力等等
二.在强调教育技术的同时考虑发挥教师的作用
发挥教师的作用，不是指在教学课堂中以教师为主。老师的教以学生的学为主，因此，教师在适度运用多媒体的同时，激发学生的兴趣，引导他们积极思维。
1.教师要改变教育观念，实现职能转变
数字化教学对教师提出了新的挑战，教师的职能发生了深刻变化，由传统教育的“传道授业解惑”转化为学生学习活动的组织者与引导者。教师要改变教育观念，自觉顺应信息时代的需要。善于学习，勤于研究，勇于创新，不断提高自身素质。一方面，教师应冲出“以书本知识为本”的旧观念的束缚，深刻认识21世纪多媒体技术对传统教育带来的巨大冲击与挑战，树立“以人为本”的教育新思想，积极学习探讨掌握新课改理念，树立正确的学习观、教育观、教学观。
2.多媒体运用于数学课堂教学时也应注意师生之间的情感交流
课件中的内容不加选择、一点不漏地一一点击逐一展现，这样的话教师就成了播音员和讲解员。课程自然也不会具有艺术性，这样就忽视了教学中最为重要的师生之间的情感交流，与新课标脱轨了。我们知道，课堂教学是由教师、教学内容、教学媒体、学生四种因素组成的整体。其中学生是整体中的主要组成部分，它对课堂教学的整体优化起着决定性的作用。教学是师生的双边活动。教学过程是教师传递信息和学生反馈信息的全部过程。教师还要根据学生接受信息后的反馈情况，及时调整教学内容。由此可见，学生在教学中不仅起着反馈信息的作用，而且对教学过程起着主导作用。因此，要用多媒体手段优化教学的全过程，教师要注意师生之间的情感交流，
时至今日，随高科技日益发展，多媒体教学在课堂教学的应用已经十分广泛，它的发展，给数学教学改革提供了新的机遇。数学教师要努力掌握教育技术的理论和技能，积极参与多媒体课堂教学设计和课件制作，开展教学模式与教学方法的探索与实验，优化教学过程，努力创设多媒体的数学教学情境，为数学教学现代化开辟一条新路。
人类已进入信息时代，以计算机和网络为核心的现代信息技术正在越来越深刻地改变着我们的工作方式和学习方式。所谓多媒体课件，简单地说就是利用数字处理技术和视听技术，以计算机为中心，按照教师的教学设计，将文字、语音、图像等多种媒体信息集成在一起，以实现对教学材料的存储、传递、加工、转换和检索的一种现代教学技术手段。由于它图、文、声、像并茂，能够实现人机频繁地多种交互控制，方便辅助教学，所以越来越受到人们的重视。在中学数学教学中，适时恰当地运用多媒体课件进行辅助教学，利用其图、文、声、像并茂的特点，创设具体的教学情境，可以充分调动学生的学习兴趣，可以使抽象的教学内容具体化、清晰化，可以开拓学生的思路、增强思维灵活性，还可以有效地发挥学生学习的主动性，使他们积极参与教学过程，从而提高教学质量，优化数学教学过程。
一、创设情境，激发学生学习兴趣
一堂好课好比一本趣味盎然的好书，开篇就该引起读者的兴趣。课上，巧妙成功的开头，能有效地激发学生的求知欲，使他们的注意力很快地集中到教学内容上去，学生在轻松愉悦的氛围中由被动变主动，畅游课堂，学习新知识。
例如，我在上一节数学归纳法的课时，我可以让学生先看看电脑投影机上的先后出现的几张扑克牌红桃2,红桃3,红桃4,,然后盖住一张牌让学生猜它是什么牌，学生马上有很多猜是红桃红桃5，当我用鼠标点开这张牌时发现它是张牌确实是红桃5，他们很开心，然后我盖住一张牌让学生猜它是什么牌，学生马上有很多猜是红桃6，而当我用鼠标点开这张牌时，同学们发现它是一张黑桃Q,这时我及时由不完全归纳法的不足引入数学归纳法的概念。学生对数学归纳法就有了极大的学习兴趣，使我这堂课上的很活跃。
像这样，在课堂伊始，让学生欣赏一段动画，倾听一段音乐来引入课题，能极大地激发学生的学习兴趣，唤醒他们的有意注意，在活跃的课堂上，学生的心会一直被教师引导着，使教学过程顺利进行，从而提高教学效率。
二、变抽象为直观，突出重点，突破难点
由于多媒体课件形象具体，动静结合，声色兼备，所以在课堂上恰当地加以运用，可以变抽象为具体，调动学生各种感官协同作用，解决教师难以讲清，学生难以听懂的内容，从而有效地实现精讲，突出重点，突破难点。
比如我在讲数学归纳法的概念时，我首先让同学们看一段多米若骨牌倒下的动画，然后让同学们归纳出要所有的骨牌倒下，骨牌必须满足哪几个条件，当学生们归纳出第一、要第一张牌倒下，第二、要每张牌倒下后它后面的牌一定能倒下，这时我们就能推断所有的牌一定会倒下，这时我就归纳出证明中的关键两步，第一、当n=n0（例如n=1或n=2等）时结论正确，第二、假设n=k（k∈n*且k>n0）时结论正确,证明n=k+1时结论也正确。然后让学生对比着两者来理解数学归纳法的本质，及其在证明中运用两步走的方法的原因，再通过几个实例练习后，让学生通过一个直观的动画深刻理解了数学归纳法这个较抽象的概念。
又如在上一节折叠问题专题课中一道题
下面左图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折叠可还原），则这个多面体的顶点数为个
学生对于这个立体图形没有一个形象的思维，但是通过电脑动画演示整个折叠过程，最后结果如右上图，学生马上就可以知道答案是七个角。
另外在的一个教三视图课堂中，如果要求学生们通过观察下图左边三个侧面图想象实物图象，这是比较难的事，但是如果通过如图的各个对应面闪烁动画演示，学生就很容易理解。
动静结合，引发了学生的思维，提高了学生的注意力，融化了知识的难点。
三、调整学生情绪，调动学生积极性
实验心理学家Treichler做过两个著名的实验。一个是关于人类获取信息的途径。他通过大量的实验证实，人类获取的信息83.5%来自视觉，11%来自听觉，3%来自嗅觉，1.5%来自触觉，1%来自味觉，可以看出，人们通过听觉和视觉获得的信息占其所获得总信息的94%；另一个实验是关于知识保持即记忆持久性。结果是，人们一般能记住自己阅读内容的10%，听到内容的20%，看到内容的30%，听到和看到内容的50%，在交流过程中自己所说内容的70%。另外，记忆率的研究结果表明相同的结论。心理学家研究记忆率发现，对同样的学习材料，单用听觉，三小时后能保持所获取知识的60%，三天后则下降为15%；单用视觉，三小时后能保持70%，三天后降40%；如果视觉、听觉并用，三小时后能保持90%，三天后可保持75%。
因此，如果在教学的过程中，能同时调动学生的视觉、听觉、触觉等多种感知器官参与感知活动，从而会有助于学生对知识的理解和接受。
计算机的强大媒体处理功能使我们现代课堂教学有了新的发展，用计算机制作的课件实现了文字、图形、声音、动画及活动影像等多种媒体间的互相配合和协调呈现，把电视机所具有的视听合一功能与计算机的交互功能结合在一起，产生出一种更合乎自然的交流环境和方式，直接诉诸学生的多种感官，调动学生主动运用多种感官积极参与媒体的活动，使学生由知识的被动接受者转变为知识的主动发现、探索者。在教学过程中有效地激发了学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望，形成学习动机，更积极有效的接受知识。
在多媒体计算机交互式学习环境中，学生还可以按自己的学习基础、兴趣来选择自己所要学习的内容，选择适合自己水平的练习，甚至能够选择教学模式。这种主动参与性为使学生发挥积极性、获得有效认知创造了很好的条件
四、运用多媒体课件教学，增加课堂的信息容量
传统的数学授课中,由于教师可利用的教学手段少，而数学概念抽象而枯燥，学生接受的刺激单调，呆板，往往兴趣不浓，课堂效率不高，容量当然就小。利用CAI的先进技术，课堂教学就可以变得生动活泼。
首先，计算机的信息存贮量大、处理迅速，具有方便的人机交互功能。我们在分析数学概念时，可设计一些与概念相关情境，从多个角度、不同层次考察，学生就可以全方位的把握概念的内涵和外延。同时在展示问题时，设置“飞入”、“百叶窗”、“螺旋”等动画效果和“打字”、“机关枪”、“爆炸”等声音效果，或把重点、难点的内容设成彩色文字，以刺激学生的视觉和听觉，加深学生的印象，使学生很好地记忆和理解数学概念。
其次，利用计算机的模拟功能，可使抽象内容形象化，静止内容动感化，枯燥内容生动化，重点内容突出化，为学生创造生动、活泼、直观、有趣的教学条件，可极大地调动学生的学习热情，激发学习动机，便于学生形成有意注意，消除学习的疲劳和紧张。这样做既有助于学生良好的心理品质的形成，又使学生获取准确、深刻的直观感知，从而形成完整的理性认识，提高课堂教学质量。比如在进行三角函数图象变换的教学时，通过几何画板生动的动画功能演示出y=sinx变换成图象的相位、周期、振幅的变化的全过程，变课本上死板的画面为栩栩如生的动画，使学生获得充分的感性认识，从而加深对知识的理解和掌握。对学生而言，课堂教学中运用CAI手段，形成多角度、多层次的信息剌激，能够强化学生对知识的记忆和理解，缩短学生对知识的掌握时间，提高了学生学习的积极性，扩展了学生的知识面，在提高课堂容量的同时，提高教学效益。特别是上高三数学复习课时，因为很多知识都是学习过了，所以学生主要需要的就是大量的做练习，这时如果运用多媒体课件就可以节省许多的板书时间，而且可以通过形象的图形及动画使得解题过程更易理解，从而节省了讲解题目的时间，最终可以使得一节课的题目容量大大增加。
中学是大学的基础，大学教育要想有一个好的开端，就必须提高中学教育的质量和水平。就中学教师来说，人人都希望自己的教育与教学活动能高效率，但这并非易事，它涉及到方方面面的诸多因素，如自己的工作能力、教育的大环境与小环境等主客观原因，无论如何，学习、掌握、借鉴各种优秀的教育、教学方法则是非常必要的。作为一名数学教师，应该了解国内外先进的数学教学方法，找出各种方法的优缺点，然后根据中学的实际情况，吸收他人教学方法的长处，使自己的教学更上一个新的台阶，从而促进中学教学方法的不断完善和发展。
国内外中学数学施教的对象都是中学生，年龄段在13-18岁，心理发展阶段属于青少年期，他们具有相似的心理和认知水平，教学内容大同小异，所要达到的目标和遵循的原则基本一致；正是由于在施教对象、教学内容、教学目标等方面具有共同性，因此中学数学教学存在着可比性。比较中西方中学数学教学方法，发现有如下的相似之处：
(1)教学程序基本一致。各国中学数学讲授新课基本上采用这样的程序：老师提出问题，学生自学预习：学生在老师的指导下理解所学的内容；巩固所学的内容；检测所学的知识。
(2)讲授法是各国中学数学教学普遍采用的基本方法。不论中国还是美国，或者西方其他发达国家，数学知识的传授基本上是以讲授法为主，其他方法为辅助。
(3)普遍重视启发式教学。第二次世界大战后各国都进行了程度不同的教学方法改革，中学教学也不例外。通过教育改革各国都重视如何提高学生素质、培养能力的教学，尤其重视启发式教学思想在学科教学中的应用。①
从中学数学教学实际来看，我国的教学方法与西方发达国家的相比，存在着差别，主要表现在：
(1)教师与学生在教学过程中关系和作用不同。中国大部分的教学方法都是以老师为中心，有“重教轻学”的倾向，在教学过程中大都是采取灌输式的教学方法。这主要是我国长期的应试教育导致的。尽管我国的教育改革努力向素质教育的方向发展，但由于中考、高考对学生的影响仍然很大，使得大多数学校教育自觉或不自觉地滑向了题海战术、应试教育。这样的教学方法虽然有利于学生记住数学概念、数学公式，在一定程度上掌握了较深、较难的数学知识。但弊端是很明显的，它不能很好地调动学生的兴趣，束缚了学生学习的主动性。而国外特别是发达国家的教学方法重视学生自学能力的培养，注意探索学生的好奇心；多采用启发式教学方法，注重应用教育，鼓励学生发展。在教学过程中讲究自愿，学生享受学习的充分自由，学习比较轻松愉快。
数学教学中学生与老师的关系不同也造成教学气氛有明显的差异。发达国家中，老师和学生基本上是朋友关系，可以互相自由地交往、交流，教师在教学过程中起辅导提示的作用。课堂上老师有目的地让学生讨论，学生可以自由出入，有时老师甚至可以别出心裁地把课本搬到野外与学生们一起在明媚的阳光下、柔和的清风中愉悦地学习。这种教学方法能促进学生积极开动脑筋，增加对学习数学的快乐，减轻学生压力，造成欢快的教学气氛，但中国学生长期以来处于严格的课堂管理中，强调教室、强调自己的座位，老师也不敢放开，担心过分放松，会造成课堂上活泼有余、严肃不足和自由散漫的混乱场面，因为学习到底不是娱乐。同时由于中国传统思想习惯不同，在严重“尊师”思想的影响下造成了老师与学生之间存在不可逾越的“鸿沟”，在教学过程中教师往往过分严肃，学生过分紧张，再加上数学不同于文科，故事性的内容少，更加使学生失去学习的兴趣，学生很容易感到疲惫懈怠，致使一部分学生特别是差生把学习数学当成是服“若役”。
(2)对培养能力与个性发展的重视程度不同。在发达国家中强调个性的培养，鼓励学生自由发展，因而分层次个体教学方法使用得比较多。比如他们在教改中提出的非学校论的教学方法，及计算机程序教学法（把所要学的知识编成程序，让学生面对计算机自学）。这些方法强调自学，注重因材施教，能较好地培养学生自学能力，满足不同学生学习的需要。但这样的教学方法也存在一定的弊端，如使学生很少听到老师主动的讲解，难以与同学进行互相帮助，互相影响；此外使学生很少接触到课本以外的数学知识，影响学生的社会化。我国一般采用的教学方法大多是集中型吃“大锅饭”的统一的教学。这样的教学方法虽然有利于学生系统地掌握知识，有利于教师全面考虑、统筹安排，教师易于把握节奏。但是容易造成优差生的严重分化，教学没有针对性，不利于因材施教，实际上忽视了个性的差异。
在国外的数学教学中，注重对学生的了解和沟通。如美国一些学校使用的教学日记法，学生以日记的形式记录教学中的思维过程、心理状况，使学生与教师能经常通过日记进行交谈，教师易于了解学生的认知水平、知识经验、兴趣及个人思维风格等非智力因素的个体差异，教师能从学生的这些资料中综合出各种学生的成就抱负水平、焦虑水平、意志水平，从而设计出教学方案，提高教学水平。而我国教师过分注重智力因素，相对忽视了非智力因素，教师和学生的交流少，自然而然在他们之间形成隔膜，老师对学生的心理、情感、动机、兴趣难以了解，无法得到反馈，学生的焦虑、交际需要等得不到及时的满足。导致学生学习积极性不高。教师的教学具有很大盲目性。②
(3)培养学生的数学意识与应用数学教育的思想存在差异。国外的教学方法一般注意培养学生的数学意识。重视应用数学教育，具体反映在注重数学与日常生活的联系，数学中采用的例子尽量来源于现实生活。如日本的CRM教学法（复合的现实数学教学法），在教学过程中选取一些学生熟悉的事物，针对其中所包含的数学知识进行讨论和探索，最后得出结论。这种教学方法深化了学生对数学知识的理解，有利于培养他们利用数学眼光看问题和建构数学模型的意识，培养了用数学方法解决实际问题的能力，学生毕业后能较好地适应社会的需要。当然如果过分地联系难免有牵强附会之嫌。我国的教育目标虽然说重视应用教育，但至今未有与之协调的教学方法，事实上成了纸上谈兵，仍然只是从数学本身的结构出发培养学生的数学素质，造成曲高和寡的情形。另一方面，中国当前的教育方法对培养学生的解题能力非常有效，善解题是中国教学方法中比较突出的特点，这从数学奥林匹克竞赛中取得的突出成绩可以看出。
(4)教学中使用的工具和教学媒体也存在着差异。国外由于经济和科技发达，直观教学手段有了极大提高，计算机辅助教学及各类教学媒体普遍被使用。随着我国教育的改革，中国也力争改善教学手段，如多媒体教学，但由于经济、科技等方面的原因，多媒体的普及远远不是近期可以实现的。③
（二）
当前我国的教育改革在极力推进由应试教育向素质教育的转轨，因而以后教学的关键是如何提高学生的素质。所谓的全面素质可以概括为“四素质三能力”，即：文化科学素质、思想道德素质、身体心理发展素质、劳动技术素质等四素质和逻辑思维能力、应用能力、创造能力等三能力。故通过中外数学教学方法的比较，结合我国的实际情况，按照素质教育的要求，我认为改进教学方法应从以下几个方面入手：(1)重视教师和学生的交流，改善教师与学生的关系，加强对学生的全面了解，调动学生的积极性；(2)重视能力的培养，真正做到使学生的素质全面发展；(3)改进教学方法必须与改革考试制度相联系，不破除升学率的压力，就无法使教师与学生从考试的繁重负担中解放出来。必须改变考试凌驾于教学之上，考试是“指挥棒”的不合理状况，使考试成为教学的检测手段，起辅助教学的作用。
教学有法，但无定法，世界上没有一种放之四海而皆准的教学方法，因而对任何好的教学法都不能完全照搬，而应根据实际情况，吸取合理的思想和有效的成分，创立一套合符实际的教学方法；在教学中不要固守一两种教学方法，而要根据不同的教学内容、不同的学生采取相应的教学方法，因材、因人施教是教学方法的唯一出发点。
主要参考文献
分层递进教学是一种面向全体，因材施教的教学模式，它强调了“教师的教要适应学生的学，要做到“因材施教，分层提高，让尖子冒出来，使多数迈大步，叫后进生不落伍，达到班级整体优化”。分层递进教学的核心是面向全体学生，正视学生的个体差异，使学生在自己原有基础上得到发展，在每一节课内都能获得成功的喜悦，从而激发学生的学习兴趣，渐渐从要我学变成我要学，达到终身学习的目的。
一、分层教学的必要性及可行性
自古以来，便有提倡“因材施教”，宋代朱熹在《论语》的注解中指出：“孔子教人，各因其材。”“因材施教”它的终极目标和我们现在要说的“分层递进教学”是一样的。分层递进教学的理论基础为布卢姆的掌握学习理论：“只要在提供恰当的材料和进行教学的同时，给每个学生提供适度的帮助和充分的时间，几乎所有的学生都能完成学习任务或达到规定的学习目标”。
新的课程标准指出，数学要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。而现行的教学方式为传统的“平行分班”，由于学生基础知识状况、兴趣爱好、智力水平、潜在能力、学习动机、学习方法等存在差异，接受教学信息的情况也就有所不同，而且一个班级里人数较多，如果按中等学生的水平授课，长期下来必然形成一部分学生“吃不饱”，一部分学生“吃不了”，优生学习没动力，冒不了尖，后进生最基本的也掌握不了，给其它学科的学习带来困难，不能实现每个学生在原有基础上得到最大限度的发展。
另外，对于农村初中，以中考升学（一级达标高中）率的高低去衡量办学的优劣的观念至今未打破，甚至越来越严重。而且现在实行的是九年义务教育，全体小学毕业生都就近入学，学生水平参差不齐，于是，多数教师往往不惜血本，绞尽脑汁，采用多种手段，使大多数学生，陪同小部分“有希望”的“尖子生”，为之而“奋斗”，这样就使大多数“陪读生”“劳师无功”“，大大挫伤了他们学习的积极性，也严重影响了整体的教育教学质量，这显然与素质教育背道而驰。
因此教师必须从实际出发，因材施教，循序渐进，充分激发学生的学习积极性，发挥学生个人的创造能力，激发创新思维，才能使不同层次的学生都能在原有程度上学有所得，逐步提高，最终取得预期的教学效果。
二、分层教学实施的指导思想及原则
首先，分层次教学的主体是班级教学为主，按层次教学为辅，层次分得好坏直接影响到“分层次教学”的成功与否。其指导思想是变传统的应试教育为素质教育，是成绩差异的分层，而不是人格的分层。为了不给差生增加心理负担，必须做好分层前的思想工作，了解学生的心理特点，讲情道理：学习成绩的差异是客观存在的，分层次教学的目的不是人为地制造等级，而是采用不同的方法帮助他们提高学习成绩，让不同成绩的学生最大限度地发挥他们的潜力，以逐步缩小差距，达到班级整体优化。
在对学生进行分层要坚持尊重学生，师生磋商，动态分层的原则。应该向学生宣布分层方案的设计，讲清分层的目的和意义，以统一师生认识；指导每位学生实事求是地估计自己，通过学生自我评估，完全由学生自己自愿选择适应自己的层次；最后，教师根据学生自愿选择的情况进行合理性分析，若有必要，在征得学生同意的基础上作个别调整之后，公布分层结果。这样使部分学生既分到了合适的层次上，又保留了“脸面”，自尊心也不至于受到伤害，也提高了学生学习数学的兴趣。
其次，在分层教学中应注意下列原则的使用：
①水平相近原则：在分层时应将学习状况相近的学生归为“同一层”；
②差别模糊原则：分层是动态的、可变的，有进步的可以“升级”，退步的应“转级”，且分层结果不予公布；
③感受成功原则：在制定各层次教学目标、方法、练习、作业时，应使学生跳一跳，才可摘到苹果为宜，在分层中感受到成功的喜悦；
④零整分合原则：教学内容的合与分，对学生的“放”与“扶”，以及课外的分层辅导都应遵守这个原则；
⑤调节控制原则：由于各层次学生要求不一，因此在课堂上以学、议为主，教师要善于激趣、指导、精讲、引思，调节并控制止好各层次学生的学习，做好分类指导；
⑥积极激励原则：对各层次学生的评价，以纵向性为主。教师通过观察、反馈信息，及时表扬激励，对进步大的学生及时调到高一层次，相对落后的同意转层。从而促进各层学生学习的积极性，使所有学生随时都处于最佳的学习状态。
三、分层教学的组建与实施
1、学生层次化
在教学中，根据学生的数学基础、学习能力、学习态度、学习成绩的差异和提高学习效率的要求，结合教材和学生的学习可能性水平，再结合初中阶段学生的生理、心理特点及性格特征，按课程标准所要达到的基本目标、中层目标、发展目标这三个层次的教学要求，可将学生依上、中、下按3：5：2的比例分为A、B、C三个层次：A层是拔尖的优等生，即能掌握课文内容，独立完成习题，完成教师布置的复习参考题及补充题，可主动帮助和解答B层、C层的难点，与C层学生结成学习伙伴；B层是成绩中等的学生，即能掌握课文内容，独立完成练习，在教师的启发下完成习题，积极向A层同学请教；C层是学习有困难的学生，即能在教师和A层同学的帮助下掌握课文内容，完成练习及部分简单习题。
在编排座位时，最好四个人（1个A层、2个B层、1个C层）为一个学习小组，便于讨论、辅导、交流、提高、竞赛，体现群体中的“优势互补”。注意分组是相对的，并非一成不变的。经过一段学习后，由学生自己提出要求，教师根据学生的变化情况，引入适当的竞争机制，作必要的层次间的升降调整（一般是半个学期或一个学期为一次），激励学生上进，最终达到C层逐步解体，A、B层不断壮大的目的。
2、教学目标层次化
分层次备课是搞好分层教学的关键。教师应在吃透教材、大纲的情况下，按照不同层次学生的实际情况，因材施教，设计好分层次教学的全过程。确定具体可行的教学目标，分清哪些属于共同目标，哪些属于层次目标。对不同层次的学生还应有具体的要求，如对A层的学生要设计些灵活性和难度较大的问题，要求学生能深刻理解基础知识，灵活运用知识，培养学生的创造力和创新精神，发展学生的个性特长；对B层的学生设计的问题应有点难度，要求学生能熟练掌握基本知识，灵活运用基本方法，发展理解能力和思维能力；对C层的学生应多给予指导，设计的问题可简单些，梯度缓一点，能掌握主要的知识，学习基本的方法，培养基本的能力。
如“一元二次方程根与系数的关系”教学目标可定为：
共同目标：记住方程的根与系数的关系并能用它来解决简单的问题。
层次目标：
A层：能推导方程的根与系数的关系，并能熟练运用它去解决一些有一定难度的灵活性、综合性的问题；
B层：理解方程的根与系数关系的推导过程，并能用它去解决一些稍为复杂点的问题；
C层：了解方程的根与系数关系的推导过程，记住方程根与系数的关系，并能进行一些简单的应用。
3、教学过程分层
教学分层是课堂教学中最难操作的部分，也是教师最富创造性的部分。荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：教师的作用就是如何使每一个学生达到尽可能高的水平。因此我们在课堂教学中应采用：低起点，缓坡度，多层次立体化的弹性教学。为了能鼓励全体学生都能参与课堂活动，使课堂充满生机，教师应将有思维难度的问题让A层的学生回答，简单的问题优待C层的学生，适中的问题回答的机会让给B层学生，这样，每个层次的学生均等参与课堂活动，便于激活课堂。学生回答问题有困难时，教师再给他们以适当的引导。对B、C层的学生要深入了解他们存在的问题和困难，帮助他们解答疑难问题，激发他们主动学习的精神，让他们始终保持强烈的求知欲。对于A层的学生在教学中注意启发学生思考探索，领悟基础知识、基本方法，并归纳出一般的规律与结论，再引导学生变更问题帮助学生进行变式探求。对A层学生以“放”为主，“放”中有“扶”。突出教师的导，贵在指导，重在转化，妙在开窍。培养学生的独立思考和自学能力进而向创新精神和创造能力发展。
4、课堂练习分层
分层练习是分层教学的核心环节，其意义在于强化各层学生的学习成果，及时反馈、矫正，检测学习目标的达成情况，把所理解的知识通过分层练习转化成技能，反馈教学信息，对各层学生进行补偿评价和发展训练，达到逐层落实目标的作用。因此教师要在备课时，针对学生实际和教材内容精心设计编排课堂练习，或重组教科书中的练习，或重新选编不同层次的练习，在选编三个不同层次的练习时，必须遵守基本要求一致，鼓励个体发展的原则。通俗点就是“下要保底，上不封顶”。在保证基本要求一致的前提下，习题综合与技巧分三个层次。
5、作业分层
作业能及时反馈不同层次学生所掌握知识的情况，能反映一堂课的教学效果，又能达到初步巩固知识的目的。因此，作业应该多层次设计，针对不同层次的学生，设计不同题量、不同难度的作业，供不同层次学生选择，题型应由易到难成阶梯形。C组做基础性作业；B组以基础性为主，同时配有少量略有提高的题目；A组做基础作业和有一定灵活性、综合性的题目。使得作业的量和难度使每个学生都能“跳一跳，摘到苹果”。从而调动各层次的学生的学习积极性。在作业批改上，对C层学生尽可能面改，发现问题及时订正，集中的问题可利用放学后组织讲评，反复训练，真正掌握；成绩较好的学生的作业可以采取抽查、互改等处理。
如在“勾股定理”第一课时后，分别设计了下面的作业：
①熟记勾股定理，并对照图形默写两遍。
②求下列直角三角形中的未知边。
③矩形的周长为34，长为12，求矩形的对角线长。
④如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，求AOB斜边上的高。
要求：A层次同学要完成全部题；
B层次同学要完成①、②、③题；
C层次同学只要完成①、②两题。
6、测试分层
测试是检验一个学生对知识的理解和掌握程度，我们不可能用同一把“尺”去量尽世界上的万物，同样我们也不能用同样的要求、标准去衡量每一个学生。在试题编制中，我们依据教学目标，把测试题可以分基础题和分层题，其中每份测试卷中基础题占80分，层次题各20分，可完成本层次题也可完成高一层次题，若完成高一层的测试，则该部分得分加倍。
如在考查“用平方差公式进行因式分解”时，设计：
A层次：；
B层次：；
C层次：。
7、评价分层
分层评价是实施分层教学的保证。对不同层次的学生采取不同的评价标准，充分发挥评价的导向功能和激励功能。如对C层采用表扬评价，寻找其闪光点，及时肯定他们的每一点进步，唤起他们对数学的兴趣，培养他们对学习数学的自信心；对B层的学生采取激励性评价，既揭示不足又指明努力方向，促使他们积极向上；对A层的学生采用竞争性评价，坚持高标准，严要求，促使他们更加严谨、谦虚，不断超越自已。总之通过对作业评价，课堂学习评价，测试后评价等充分调动各层次学生学习数学的情感、意志、兴趣、爱好等多方面积极因素，促进智商和情商的协调发展，以实现大面积提高数学的教学质量。正如一位德国教育家所说：“教学的艺术不于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。”
在对分层教学的探索与实践中，学生的心理个性得到良性发展，学习积极性普遍提高。分层教学针对学习能力不同的学生采取不同的教学措施，让不同层次的学生各得其所，学生学习的兴趣被激发了，都获得不同程度的发展。程度差的学生，因为学习目标定得较低，学习过程中又能得到老师更多的帮助，从而增强了学习的信心和战胜困难的勇气。程度好的学生，学习的独立性增强了，对学习的要求也提高了，课堂上也“吃得饱”了。同时由于分层的不固定，学生分层可上可下，又增强了学生的自主性，培养了学生的创造力和强烈的竞争意识，出现了“你追我赶，奋勇向前”的可喜局面。
在取得的成就的同时，我们也发觉到了诸多的不足，如：分层评价方面还没有真正落到实处。不能实现对学生真正意义上的分层，虽然在教学目标、教学方法、课堂提问、课后辅导、作业等方面，我们注意到了对不同层次的学生用不同的评价方式，但对考试的最终评价上没有太大的改变，老师的心目中还是主要以考试成绩论英雄。这种评价方式对C组的同学的自信心、学习兴趣打击较大，因为他们总是尝不到成功的喜悦，但是由于中考的压力，很难找到一个比较合理的评价方式。
总之，实施分层教学虽然有一些困难和不足，但不能否认分层教学充分利用学生的智力因素和非智力因素，激发了学生的学习兴趣，引起学生内在的需求，调动了学习的积极性，为学生创造了一个轻松愉快的学习氛围，同时也减轻了学生的课业负担，提高了学习的效率。而如何使这种教学方法更好发挥它的作用，需要我们在今后的教学实践中不断地学习和探索。
参考文献：
1．中华人民共和国教育部制订《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》北京师范大学出版社2001年7月第1版；
2．孔庆邮《数学分层教学及研究性学习的探索实践与思考》中学数学教学2002年第1期；
3．冯跃峰《数学课堂教学中的层次设计》中学数学1997年第2期；
一、非逻辑思维能力培养的观念
非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等．研究表明：形象、直觉、灵感思维在人的创造思维能力中占有举足轻重的作用．数学审美能力在数学学习过程中，起着非智力因素与智力因素之间的桥梁和中介作用，它有助于培养创造性思维能力．
法国数学家彭加勒认为，数学创造性思维是逻辑思维与非逻辑思维功能的综合．真正有创造力的人，就必定既是善于严格思维，又善于不严格思维的人．这实质是说在数学创造发明的过程中，既包含非逻辑思维，也含有逻辑思维，且非逻辑思维占据优势，是逻辑思维主导下的非逻辑思维，两种思维的有机结合，互相补充和作用，创造力才能得到充分的发挥．数学的创造发明过程往往是先通过形象、直觉、灵感、审美等非逻辑思维迅速找出问题的突破口，再通过逻辑思维作出严格的证明．非逻辑思维是打开数学创造大门的钥匙．
数学王子高斯认为：发现和创新比命题论证更为重要，因为一旦抓到真理之后，补行证明往往只是时间问题．许多数学家总结发现真理的过程是“长期积累，偶尔得之”，“大胆猜想，严格论证”．这就说明数学真理的发现取决于非逻辑思维，而真理的论证则取决于逻辑思维．如当代数学家纳尔逊1983年指出：“与一般n维空间不同，在四维空间中至少存在两种不同的微分结构．”四维空间的这一奇妙性质，立刻轰动整个数学界，没有很好的非逻辑思维能力，作出这样的判断是难以设想的．再如非欧几何学的建立，完全是人们追求简单美的结果，这说明有美感才会有数学创造．
中学数学虽然对社会来讲，一般不会有客观上的创新结果，但学生在学习过程中的发现探索对于培养其创造素质是极为有利的．长期以来，人们在数学教学中，非常重视逻辑思维，过分偏重于演绎推理，过分强调形式论证的严密逻辑性的严格作用．数学教育仅赋予学生以“再现性思维”的严重弊病，对非逻辑思维的认识不足，忽视形象思维在创造中的作用，忽视直觉思维的顿悟作用，忽视数学审美的桥梁纽带作用．甚至认为数学思维只有逻辑思维，从而一定程度上限制了学生创造素质的发展．因此在数学教学中我们在重视逻辑思维能力培养的同时，也要重视培养学生非逻辑思维能力和提高数学美的鉴赏能力，要把纯演绎式的教材体系，还原为生动活泼的数学创造思维活动．揭示思维过程，讲清概念的来龙去脉，利用数学中的“形”，创造教学情境对学生进行形象、直觉思维训练，设计问题对学生进行猜想的训练，使数学教学成为“再创造思维”，只有这样，才能达到数学创造教育的目的．
二、数学语言能力培养
的观念数学语言是科学语言，它的符号与图形都是用来表示数量与空间形式及其关系的，是认识量与空间形式及其关系的有力工具．我们知道，语言是思维的工具和载体，语言可促进思维，深化思维，思维又可创造语言．
数学语言的发展与数学思维的发展更是相辅相成互为促进的．如数的发展产生了复数语言，而复数语言的发展又产生了复变函数论这门具有广泛应用价值的数学学科．数学语言所表达的创造性的数学思维过程，最能体现一个人的创造精神和克服困难的坚强意志．数学语言具有准确、抽象、简炼和符号化等特点．它的准确性可以培养学生诚实正直的品格，它的抽象性有利于学生揭示事物本质的能力的培养，它的简炼和符号化特点可以帮助学生更好地概括事物的规律，也有利于思维．一个公式、一个图形胜过一打说明，符号公式的和谐与简洁美，有利于学生记忆、有利于分析问题、有利于计算和逻辑论证．如学习复数时，“1＜｜z｜≤2”所表示的意义，若用日常语言说明就较麻烦，而懂数学语言的人一看就知道是表示什么．再如用维恩图表示集合间的关系，使抽象问题变得形象直观，有利于学生掌握其内在联系．
学生语言的发展就是思维的发展．一个人没有很好的数学语言能力，就不可能有很好的创造能力，从某种意义上讲，数学教学就是传播数学语言，要把数学当作一门特殊的语言来研究，要确立数学语言培养的观念．在数学教学中，要重视概念的形成，重视数学语言与日常语言间的转译，重视符号图式的表示和运用以及知识网络纵横交错的联系．如会用符号语言列方程解应用题，会用函数语言描述运动模型，会用逻辑语言论证，会用计算机语言指导计算．在当前的数学教学中还存在着不重视数学语言培养的现象，如有的学生对数学问题表述不清、认识模糊，这一问题较为严重地抑制了学生思维的发展．培养学生使用数学语言的能力，提高学生用数学语言分析和解决量与空间形式方面的问题的能力，应成为数学创造教育的一项重要内容．
三、非智力因素培养
的观念非智力因素对创造活动起着促进或阻滞作用．积极的学习态度和顽强的意志能促进数学创造，甚至可以弥补智力上的不足；而不良的态度和习惯则会阻碍和干扰数学学习和创造．许多人有较好的智力因素和学习条件，但没有成才，究其原因就是非智力因素没有得到很好的发展．一个人的创造素质是智力因素和非智力因素共同作用的结果，智力因素承担着加工和处理知识信息的任务，非智力因素在创造过程中起着动力性作用．从培养人才来看，只有智力因素与非智力因素和谐发展，才会产生高的创造效应．
可喜的是在当前的数学教学中，有许多教师已经认识到非智力因素的重要性，但仍不同程度地存在重智力因素，轻非智力因素的现象．用纪律、分数、名次、向家长告状等简单方式来代替激发学生内在学习动机和兴趣的教育工作，甚至只管“教书”，不管“育人”，不注重数学教学的教育功能，不注意自身的师表作用，这都是不符合现代教学要求的．我们在教学中应挖掘教学内容中的育人因素对学生进行学习动机和兴趣的培养，自信心和顽强意志的培养，良好的学习习惯和严肃认真的作风的培养．只有这样，才能实现数学创造教育的目的．
四、真正以学生为主体的观念
数学教学以学生为主体，作为一种教学指导思想和行为观念，由于各方面的原因，并未真正在广大教师头脑中确立，“重教轻学”的问题仍然存在．有的老师贪多求全，一味讲解，拼命灌输；学生被动接受，思维没有得到充分展开，知识僵化，依赖性强．这种“注入式”教学法的指导思想是与“以学生为主体”的思想相悖的，严重阻碍创造思维的发展．
要发挥学生的创造能力，必须真正以学生为主体，一切活动都必须以调动学生的主观能动性为出发点，引导学生自主活动，使学生真正成为认知的主体．以学生为主体，并不是让学生放任自流．教师要当好引导者，重视学法指导，指导学生如何去发现和探索问题．数学教学是揭示数学思维过程的活动，教师要充分暴露思维过程，使数学教学成为再发现、再创造的过程；教师要创设学习情境，创造民主课堂，提出问题让学生讨论，鼓励学生发表自己的见解，哪怕是错误的，充分让学生参与教学，互相争论，互相启迪，这样将有利于促进学生创造力的发展．如本世纪末30年代后期法国出现的著名的“布尔巴基”学派，就是由一批年轻人经常集会，在一起探讨各方面感兴趣的数学问题，取得的数学成就硕果累累．以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，特别是创造性能力．
五、确立数学应用的观念
数学应用是数学教学的基本观念．有人说数学是科学的皇后，也有人说数学是科学的仆人，不管怎么说，其意义都是说明数学应用于一切科学，数学的创造都是其物质性的，它来自于生产和生活的需要，又为生产和生活实际服务．人类社会发展的根本动力在于生产力，数学教育不仅要适应生产力的发展，而且要促进生产力的发展．这就要求数学教育必须面向大众，联系实际，注重数学的应用价值．长期以来，我们数学教育是以概念和数学基本原理（公理、定理、公式、法则等），以及例习题的纯形式数学的模式展现在学生面前的．以其高度抽象、高度严谨的枯燥形式出现，与实际应用脱离较远，与当今世界有些发达国家的注重实际、联系生活的数学教育相差甚远．学生在课堂完成纯数学的学习，没有一点实践环节，毕业后应用能力普遍较差，这种理论脱离实际的教育在一定程度上限制了学生创造能力的发展．
当今社会无处不用到数学，计算机知识、概率统计、线性规划、系统分析等等现代数学知识在经济建设中都具有广泛的应用价值．数学教材必须改革，要重视应用，拓宽知识面，突出“数学建模”，引入“问题解决”．数学教学要加强实践环节，要用数学语言描述现实世界的一些数量关系和空间形式，建立模型，解决问题．这不仅体现了数学的应用价值，而且有助于学生灵活掌握数学知识和技能，对形成学生解决问题的能力，特别是创造能力有十分重要的作用．
六、重视数学思想方法的观念
一、转变教师只注重单一的知识传授倾向
实验教材中大量的情景图是贯穿于整个教学环节的，由于每位学生对事物的观察、分析的情况不同，必须通过讨论、交流、提炼、反思才能形成新的认识。教师就必须为学生提供一定的空间，让他们自主地学习，反复地讨论，深刻地领会，在不断师思过程中，了解掌握知识的内涵。
二、转变学生被动接受、机械训练的学习方法
实验教材关注学生的学习兴趣和经验，为学生的终身学习打基础。如：“分类”单元的学习，学生可以根据自己的分析找出分类的理由。对事物进行分类。在对一把铅笔的分类学习中，有的学生按颜色分，有的按形状，有的按铅笔的特征分，其中有个差生按铅笔的长短分，并能说出分类的理由。当同学们自发地为他鼓掌时我及时奖励他一颗智慧星。当看到他灿烂的脸庞时，我深深地体会到新教材的内涵，前苏联一位心理学家说过：在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。成功是发展之母，教师不仅要激发学生探求新知识的兴趣，而且要让学生在自主学习中获得成功的体验，产生强大的内部力量，取得心的更大的成功。教材中的“比一比”、“认识钟表”等都体现了这个特征。为教师的教学和学生的学习创设了宽阔的空间。新教材真正体现了以人为本，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”
