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数学概念是反映一类对象本质属性的思维形式，它具有相对独立性.概念反映的是一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性，而不是表面的属性，而这类对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属性和具体的关系，仅被抽取出量的关系和形式构造，在某种程度上表现为对原始对象具体内容的相对独立性.
数学概念教学是中学数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础，学好概念是学好数学最重要的一环.一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，特别是像我校这样普通中学的学生，数学素养差的关键是在对数学概念的理解、应用和转化等方面的差异.因此抓好概念教学是提高中学数学教学质量的带有根本性意义的一环.教学过程中如果能够充分考虑到这一因素，抓住有限的概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障.
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解，只有机械的、零碎的认识.这样久而久之，严重影响了对数学基础知识和基本技能的掌握和运用.比如有同学在解题中得到异面直线的夹角为钝角，这些错误都是由于学生对概念认识模糊造成的.只有真正掌握了数学中的基本概念，我们才能把握数学的知识系统，才能正确、合理、迅速地进行运算、论证和空间想象.从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度.
二、数学概念的教学形式
注重概念的本源、概念产生的基础，体验数学概念形成过程
每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会.由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维产生依赖，这不利于创新型人才的培养.“学习最好的途径是自己去发现.”学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神.由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维.引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础.概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段.牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现.”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素.
挖掘概念的内涵与外延，理解概念
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善.有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高.
寻找新旧概念之间的联系，掌握概念
数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量，平面角与空间角，方程与不等式，映射与函数等等，在教学中应善于寻找，分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质.再如，函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义，是从运动变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量的每一个取值，与唯一确定的函数值对应起来；另一种高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，函数可用图像、表格、公式等表示，所以高中用集合与对应的语言来刻画函数，抓住了函数的本质属性，更具有一般性.
从平常数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一是有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念认识和理解模糊；其二是有的学生对基本概念虽然重视但只是死记硬背，而不去真正透彻理解,只有机械的、零碎的认识。从一定意义上说，数学水平的高低，取决于对数学概念掌握的程度。那么，作为教师应如何进行数学概念的教学呢？
1．注重概念的本源，概念产生的基础。
每一个概念的产生都有丰富的知识背景，舍弃这些背景，直接抛给学生一连串的概念是传统教学模式中司空见惯的做法，这种做法常常使学生感到茫然，丢掉了培养学生概括能力的极好机会。由于概念本身具有的严密性、抽象性和明确规定性，传统教学中往往比较重视培养思维的逻辑性和精确性，在方式上以“告诉”为主让学生“占有”新概念，置学生于被动地位，使思维呈依赖，这不利于创新型人才的培养。“学习最好的途径是自己去发现”。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现、创新的过程，那么在获得概念的同时还能培养他们的创造精神。由于概念教学在整个数学教学中起着举足轻重的作用，我们应重视在数学概念教学中培养学生的创造性思维。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现新概念的最初阶段。牛顿曾说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”猜想作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基本素质，也是培养创造性思维的重要因素。
2．概念的教学中注重思维品质的培养
如何设计数学概念教学，如何在概念教学中有效地培养和开发学生的思维品质，是我们在教学中经常遇到并必须解决的问题．
1．展示概念背景，培养思维的主动性，思维的主动性，表现为学生对数学充满热情，以学习数学为乐趣，在获得知识时有一种惬意的满足感． 2．创设求知情境，培养思维的敏捷性思维的敏捷性表现在思考问题时，以敏锐地感知，迅速提取有效信息，进行“由此思彼”的联想，果断、简捷地解决问题． 3．精确表述概念，培养思维的准确性思维的准确性是指思维符合逻辑，判断准确，概念清晰。新概念的引进解决了导引中提出的问题．学生自己参与形成和表述概念的过程培养了抽象概括能力． 4．解剖新概念，培养思维的缜密性思维的缜密性表现在抓住概念的本质特征，对概念的内涵与外延的关系全面深刻地理解，对数学知识结构的严密性和科学性能够充分认识．在这个过程中渗透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法．5．运用新概念，培养思维的深刻性。思维的深刻性主要表现在理解能力强，能抓住概念、定理的核心及知识的内在联系，准确地掌握概念的内涵及使用的条件和范围．在用概念判别命题的真伪时，能抓住问题的实质；在用概念解题时，能抓住问题的关键．巩固深化阶段：在学生深刻理解数学概念之后，应立即引导学生运用所学概念解决“引入概念”时提出的问题（或其他问题），在运用中巩固概念．使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学理论基础，又是进行再认识的工具．如此往复，使学生的学习过程，成为实践?认识?再实践?再认识的过程，达到培养思维深刻性的目的．6．分析错解成因，培养思维的批判性。思维的批判是指思维严谨而不疏漏，能准确地辨别和判断，善于觅错、纠错，以批判的眼光观察事物和审视思维的活动．举反例，从反面来加深学生对概念的内涵与外延的理解，培养思维的批判性．
数学是由概念与命题等内容组成的知识体系。它是一门以抽象思维为主的学科，概念是抽象思维的表现形式，因此概念教学是基础知识和基本技能教学的核心，正确理解概念是学好数学的基础,是学好数学最重要的一环。
数学概念是数学研究对象的高度抽象和概括，它反映了数学对象的本质属性，是最重要的数学知识之一。概念教学是中学数学中至关重要的一项内容和难点。既不能因其易而轻视，也不能因其难而回避。一些学生数学之所以差，概念不清往往是最直接的原因，因此抓好概念教学是提高教学质量的基础和关键。教学过程中如果能够充分考虑并做好这一环节，提高大多数学生的数学素养完全是可以做到的。
从以往数学概念的教学实际来看，学生往往会出现两种倾向，其一，有的学生认为基本概念单调乏味，不去重视它，不求甚解，导致概念在认识和理解上的模糊；其二，有的学生对基本概念虽然重视但也只是死记硬背，也将导致对理解上的偏差。这样久而久之，严重地影响了对数学基础知识的掌握和基本技能的运用。
作为教师，应从以下几点出发，让学生重视概念的学习，并熟练地掌握和应用。
一、学习数学概念应把握的几个问题
1、抓住概念的形成。
人们通过实践，在感性认识（感觉、知觉、表象）的基础上，运用比较、分析、综合、抽象和概括等逻辑方法，撇开了事物的非本质属性，从而认识了事物的本质属性并形成概念。数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在人脑中的反映。数学概念的产生，有些是直接从现实世界中抽象概括得到的，有些则是间接从现实世界中提取的。例如，几何中的点、线、面、体、平行、垂直、多边形、多面体等概念都是直接从事物的形状、大小位置关系抽象概括得来的；无理数、复数的有关概念分别是在有理数系及实数系的实践活动中间接产生出来的。至于关系、映射、函数等数学概念产生都是经过了多次的抽象、概括才得到的。
例如，教学“数轴”这个概念，可以联系实际模型：秤杆上的点表示物体的重量；温度计上的点表示温度；水闸的标尺上的点表示水位等，又注意到秤杆、温度计、标尺都有三要素：度量的起点、度量的单位和方向，这样就能够自然而然的形成“数轴”的概念。
2、抓住数学概念的内涵与外延。
数学概念是从一些具有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延。例如“平行四边形”这个概念的内涵为：四边形，两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。其外延为各种类型的平行四边形，其中包括菱形、矩形和正方形等。概念的内涵和外延分别是客观事物质和量的描述，两者之间是相互联系、相互制约的。一般来说，概念的内涵确定了，概念的外延也随之确定。反过来，概念的外延确定了，概念的内涵也随之确定。在教学中重点讲解定义中属概念和种概念，使学生认识被定义的概念既具有它的属概念的一切属性，又具有它自身独有的特性。这样学生就能初步认识数学概念的内涵和外延。
3、注重概念间的关系。
数学概念间的关系主要是指外延间的关系，分为相容和不相容关系两类。相容关系是指两个概念的外延至少有一部分重合，分为同一关系、从属关系、交叉关系三种。不相容关系是指同一属概念中的两个外延的没有任何部分重合的种概念之间的关系，分为对立关系和矛盾关系。例如，立体几何中“棱柱的概念”的教学，首先通过几个常见的棱柱抽象出棱柱的概念，然后三次深化：a、用过BC的平面去截棱柱ABCD-A1B1C1D1的一角，所得几何体是否为棱柱？b、这个几何体共有多少对平行平面？符合棱柱定义的有几对？c、棱柱概念的否命题是否正确？
二、数学概念教学过程的设计
数学概念的教学过程一般分成引入、理解和运用几个阶段。
1、数学概念的引入
概念的引入是教学能否成功的关键之一。打个比方，比如商品的包装，广告商的广告，做好了才能紧紧抓住顾客或观众的心。所以，我们要重视概念的引入。要努力从学生接触过的、见过的、具体形象的内容入手，创设情境，让学生觉得将要学的知识并不陌生，让他们有兴趣去探讨学习。例如：椭圆概念的引入，我们可以让学生复习圆的定义，然后提出问题：如果由一个定点变为两个定点，那么到两个定点的距离之和等于定长的动点的轨迹会怎样？又例如：等比数列概念及其求和公式的引入，我们可以引那个古老的故事：印度有一位象棋大师在一次象棋比赛中向王子提出一个要求：如果自己赢了，王子就得在棋盘的64个格中给一定数量的麦粒作奖品。数量是第1格放1粒麦子，第2格放2粒麦子，第3格放4粒麦子，第4格放8粒麦子……如此，一直放满所有格子为止。王子以为很容易满足，就答应了。但事实上这是一个很大的数量。经过以上故事的讲解，引出概念，既活跃了课堂气氛，又调动了学生学习新知识的积极性。
2、数学概念的理解
1深刻剖析概念。引入概念后，教师应用精确、简练、生动的语言揭示概念的本质属性，弄清概念的内涵和外延，强调概念中的关键词汇。如在教学并集“一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做A与B的并集”时，其关键定义“或”表示可以兼有，即有三层含义：① x∈A且x B，②x∈A，x∈B，③x A且x∈B。
2借助图形理解概念。有些概念应尽量与图形结合，使概念图形化，思维借助于图形利于抽象出概念，也利于理解和记忆。
3易疏漏处多设疑问。对一些看上去易理解的概念，学生往往忽略一些条件。搞清容易疏漏的地方最好是设疑。例如：在学习求解一元二次不等式时，我们可以给出这样一道题：不等式ax2+bx+c>0，方程ax2+bx＋c＝0的两实根是x1、x2(x1x2}问同学们是否正确，大部分同学认为是正确的，这里却忽略了a的正负问题。
4及时比较，使知识系统化。对于近似的概念，容易混淆，有必要进行比较，区分异同。如学过四边形一章后，可把平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定列成一个表，逐个比较、区分。
3、数学概念的应用
数学概念的运用是指学生在理解数学概念的基础上，运用它去解决同类事物的过程。数学概念的运用有两个层次：一种是知觉水平上的运用，是指学生在获得同类事物的概念以后，当遇到这类事物的特例时，就能立即把它看作这类事物中的具体例子，将它归入一定的知觉类型；另一种是思维水平上的运用，是指学生学习的新概念被类属于水平较高的原有概念中，新概念的运用必须对原有概念重新组织和加工，以满足解决当前问题的需要。
因此，教师在进行这一步教学时，为了适应绝大部分学生只有在练习中才能体会概念的实质，我们可以精选例题与练习题来达到目的。例如，单调性概念的可以应用于判断函数的单调性，也可以用于比较大小，不过其中要实现一个转化，即通过比较自变量的大小达到比较函数值的大小。通过函数值的大小，达到求自变量的取值范围，进而可举例或做类似的练习等等。只有这样，学生才能深刻体会到概念的无比魅力。
总之，概念教学是中学数学教学的重要环节，在中学数学教学过程中起着非常重要的作用。数学概念的引入是教学能否成功的关键。所以，我们要重视概念的引入，要努力从学生接触过的、具体可感知的形象入手，由浅入深、由表及里，从简单到复杂，逐步展开。通过形象生动的语言描述及对数学概念的渐次引入，创设情境，让学生觉得将要学的知识并不陌生，使学生在一种轻松愉快的气氛中学习，有兴趣去探讨学习，让他们在不知不觉中掌握数学知识。
中图分类号： G623.5 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）（11-12）-0116-01
数学概念是人对客观事物中有关数量关系和空间形式方面本质属性的抽象。小学数学中有很多概念，包括：数学概念、运算概念、量与计量、几何形体、比和比例、方程等。这些概念无论是采用一种什么形式出现，都是要学生在理解的基础上掌握的，如果学生有了正确、清晰的概念，就有助于提高运算和解题能力。相反，如果学生概念不清，那他就无法掌握定律、公式。例如：圆的面积公式要以“圆、半径、平方、圆周率”等概念为基础，没有正确的判断和推理，便谈不上思维能力的培养了。
那怎样来教学概念呢？
一、恰如其分引入概念
小学生年龄小，他们的理解能力有限，如果直接对他们说概念，这样他们不理解。他们理解概念，主要是通过直观、形象的观察，或者具体的事物。例如：“5”的认识，就可以拍五次手，让学生听。或者数五个人，五朵小红花，突出这些东西的数量都是5，可以用数“5”表示。这样，从具体事物引入数学概念，既符合由具体到抽象的过程，又符合小学生的接受能力。使他们易学易记，增加了他们的学习乐趣。
数学概念一般都比较抽象，但是它们还是来源于生活的，只不过是将生活中的一些东西具体化而已。有些概念，我们还可以通过生活实例来引入。如：学习“圆的认识”时，先让学生讨论：自行车的车轮为啥是圆的，引导学生将生活中的事例转化为数学问题，然后揭示课题。这样引入不仅激发了学生求知欲，而且让学生感觉到数学来自于现实生活，与自己密切相关。
二、建立正确概念，注重概念理解
建立概念的过程是数学教学的重要环节，要使学生很好的建立概念，那就是要学生在理解基础上熟记。概念的理解就是概念教学的中心环节。教师就要采取一切手段帮助学生理解概念的内涵和外延。
1.剖析概念中关键词的真实含义
例如：分数定义中的“单位1、平均数、表示这样的一份或几份的数”，学生只有对这些关键词真实含义弄清楚了，才会对分数概念有深刻理解。再如：教学“整除”概念之后，学生如何判断什么是整除，可以从以下几方面判断：一是判断是否具有“整除”关系的两个数都必须是自然数，二是这两个数相除商是整数，三是没有余数。
2.对近似概念及时加以对比辨析
小学阶段中，有好多概念含义接近，但是，本质属性又有区别。例如：数与数字、数位与位数、奇数与质数、质数与质因数和互质数等。对这类概念，学生常常容易混淆，必须及时把它们加以比较，区分。例如，学习了比以后，可以用列表法设计比与除法，分数之间的联系的练习题，从中明确“除法是一种运算，分数是一个数，比是一个关系式”的区别。
3.概念教学要注意创设情境
一个好的教学情境能大大激发学生的学习兴趣和探究问题的欲望。数学概念的识记较为抽象、枯燥，好些学生会将它记得滚瓜烂熟，但却不能灵活运用。如果教师在学习中能充分调动学生的积极性，常常能收到事半功倍的效果。创设恰当的教学环境，不仅可以调动学生的积极性，还可以突破教学中的重难点，对教学有着不可忽视的作用。所以，作为教师，我们在教学中应注意如何来创设情境，引导学生。
三、重视概念运用，发展概念作用
正确灵活运用概念，就是要求学生能够正确，灵活运用概念组成判断，进行计算、作图等。能运用概念分析和解决实际问题。理解概念的目的在运用，运用的途径有：
1.自举实例
根据小学生对概念认识通常有具体性特点，在学生学习概念后，总是让他们举例理解，把概念具体化。从具体到抽象再到具体，符合学生认识的规律，使他们更准确把握概念的内涵和外延。例如：学生初步的知真分数、假分数概念后，可让学生分别举一些真分数、假分数实例；道圆柱体特征后，让学生说说日常生活中有那些物品形状是圆柱体。学生在举例子的过程中，感受到数学在日常生活中广泛应用。
2.进行计算作图
例如，学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。
104×25 48×25 101×35×2
14×99+14 25×32 146+9×146
在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练的进行通分、约分，并说明通分、约分的依据；学习了小数性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题：画一个等腰三角形、画一个腰长2厘米的等腰三角形。这样，学生将所记概念及时得到了巩固和应用。
中等职业学校的学生数学底子薄、基本运算能力差，因而对于数学的空间想象能力和抽象概括能力就更差。面对这样的教育群体，就决定了中等职业学校的数学概念课的教学必须遵循从感性认识提升到理性认识，再理性认识回到解决数学问题的实践中来，使之达到理解消化和熟练运用，进而转化为能力。
根据二十五年的教学实践，以及新课标对数学课教学的要求，我深深的感悟到要搞好数学概念课的教学，应从概念的引入、形成、深化、应用四大环节入手。
一、概念的引入
众所周知，数学概念是比较抽象的，教师在授课的过程中学生理解起来也相对较难，作为一名教师如何调动学生思维的积极性和创造性，更好地理解和掌握所学的概念，概念的如何引入就显得尤为重要。因为一节好的数学课犹如一只优美的乐曲，“起调”赏心悦目，“”激情似火，“尾声”余音缭绕。作为从事多年数学教学工作的我，要想自己的教学达到上述效果，其中的“起调”即概念的如何引入是决定这节课成败的关键之所在。
在具体教学中，我常采用下列方法：（1）以旧引新：数学中许多概念都是具有联系的，都是旧知识的引申和延续。因为我们在初中学过四种三角函数：正弦；余弦；正切；余切。当时是针对锐角定义的，当我们学过角的概念的推广和弧度制后，就借助锐角的三角函数自然地推广任意角的三角函数的定义上，学生也易于接受。（2）观察概括：在讲奇函数和偶函数的概念时，我让学生在我事先建好的坐标系纸张上快速画出函数y=x2和y=x3的图像，然后让学生观察每个图像的特征，启发学生用符号语言表示两图像的特征，最后教师揭示课题，给出奇函数和偶函数的准确定义。（3）类比猜想：这种方法可用于新旧知识之间、相似或同类知识之间。课本中的许多知识都存在这种属性，如等差数列和等比数列；指数函数和对数函数；三种圆锥曲线等。（4）故事导入：就是用讲与新授内容有关的生动有趣的小故事来到如新课，吸引学生的注意力和想象力。如在讲《反证法》一课时，我以历史典故引入：相传古时候，有一位忠臣被一个奸臣所害，被判死罪。可皇帝念其功大，决定用运气来决定最后的处决办法：用两张小纸条，一张写上“死”字，另一张写上“活”字，让他自己抽签来决定其死活，可奸臣把两张纸条都写上死字，恰巧被忠臣的朋友看见告诉了他，忠臣思索片刻便高兴地说我有救了。当他抽出第一张纸条时，谁也不让看，便吞进肚子里，斩官只好看第二章纸条，剩下的无疑是“死”字了，于是这位忠臣被赦免了，以此引出反证法的概念。（5）实例引入：中等职业学校的数学教材为了适应新课改的需要，改变了以往的编写模式。新教材特别注重从生活中的具体实例引入新概念，这种方法最适用于我们职业学校的学生，也是我最常用的方法。它让学生感知概念的产生和发展的过程，从而把抽象的概念变成了学生易于理解和接受的客观事实，激发了学生学习数学的热情和创造性思维，再加上自己在教学过程中充分挖掘教材，并把具体问题设置成合理的教学情景、多媒体动态演示，展示知识的发生、发展的过程，引导学生从感性材料中挖掘出事物的本质属性、抽象出数学概念，实现从感性认识到理性认识做好了铺垫。
例如，在讲指数函数的概念时，我借助多媒体演示细胞分裂的的过程，每一个细胞分裂一次变为2个
第一次：1个分裂为2个
第二次：2个分裂为4个
第三次：4个分裂为8个
第四次：8个分裂为16
……
第x次：细胞分裂的个数y=2x
从上面的例子中，发现自变量出现指数位置上，从而揭示课题――指数函数。
二、概念的形成
概念是在感性认识的基础上形成的，所以在对感性材料进行分化的基础上，抽象出概念的本质属性，然后进行高度概括而形成概念，并用精准的语言给出定义，给出概念的符号表示，有时还需要给出反映概念本质属性的图形，有意识的让学生在文字语言，图形语言和符号语言三者之间建立联系，形成相互间的信息通道。
例如，指数函数的概念：形如y=ax （a>0，a≠0）函数叫指数函数。它的本质属性是底数是常量，指数是变量。其图像如下：
于此同时，通过题组让学生进行辨析，引导学生把握指数函数的特征，进一步完善概念。
三、概念的深化
有些概念，从大量引入感性材料后，初步形成了理性认识，但这样的理性认识是肤浅而不深刻的，学生对于这样的概念的理解，由于基础薄弱显得有些措手不及，有些学生即使理解也模棱两可。这时就需要我们教师在教学中，有目的性地安排一些强化活动，让学生在操作中理解和掌握新概念，显然最佳的方案就是练习，教师通过题组让学生正反分析实例，加深对所学概念的透彻理解。
例如，讲完指数函数的定义后，我安排一组训练题：指出下列哪些函数是指数函数，那些不是，为什么？
（1）y=2.1x （2）y=3*2x
（3）y=x3（4）y=3-x
答案：（1）是；（2）不是，因为前面的系数不是1；（3）不是。因为幂底数不是常数，幂指数不是变量。（4）不是。幂指数的系数不是1。
（二）函数（a2-3a+3）ax是指数函数，则a的值为（C）
A.a=1或a=2 B.a=1
数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质属性的思维形式。数学概念是数学知识的基础，是数学教材结构的最基本的元素，是数学思想与方法的载体。正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。由于数学概念比较抽象，初中学生受年龄、生活经验和智力发展水平等方面的限制，要掌握教材中的所有概念是不容易的。
一、注重概念的引入方法
在实际教学中，概念引入方法的选择要根据概念本身的特点和初中生的认知规律，降低概念教学的难度。
对相似三角形的判定这一概念的教学，可以从学生已有的数学知识出发，类比三角形全等的判定，突出概念产生的必然性，提高学生参与探索的主动性。教学时，先让学生回顾相似三角形的概念，以及相似三角形与全等三角形的内在联系：全等三角形是相似比为1的相似三角形。再让学生回顾判定三角形全等的条件：边角边、角边角、角角边、边边边。而用相似三角形的概念来判定两个三角形相似时，必须具备对应角相等、对应边成比例六个条件，相当的繁琐，此时提出与判定两个三角形全等的条件类比，使学生感悟到，判定两个三角形相似也可以适当减少条件，提高了学生探索两个三角形相似条件的主动性。学生对探索两个三角形相似的条件已经跃跃欲试了，很顺利地进入到下一阶段的探索活动。
二、注重概念的形成过程
概念教学要改变传统教学中结论及结论的运用的简单教学方法，注意概念的形成过程，让学生体验概念的形成过程，即概念在什么条件下蕴藏着，在什么背景下初露端倪，如何引导学生通过观察、猜想、探索并概括出概念，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学中可让学生类比全等三角形的判定，在对应角、对应边相等六个条件中，适当减少条件，可以用边角边、角边角、角角边、边边边来判定两个三角形全等。学生根据相似三角形的概念中对应角、对应边成比例的六个条件，对应地猜想出判定两个三角形相似的条件：两边对应成比例，并且夹角相等；两个角对应相等；三边对应成比例。三个猜想的得出也为下两节的教学做好了铺垫，此时和学生明确本节课主要验证两个角对应相等的两个三角形相似。
组织学生讨论验证猜想成立的方法，可先让学生画三角形，
使三角形的两个角的度数分别是60°、70°（度数可让学生来确定），将画好的三角形剪下来展示，观察它们的形状，学生会发现形状相同。在初步感知的基础上，让学生求出第三个角的度数，再量出三角形三边的长度，将学生量出的数据输入Excel表格，算成对应边的比值，学生通过观察几组对应边比值的关系后会发现：对应边的比值基本相等。再由特殊到一般，用几何画板同时改变两个三角形的角的度数（但两个角仍然对应相等），发现对应边仍然成比例。这样使学生感悟到：只要满足两个角对应相等的条件，两个三角形就相似。
通过猜想、操作、观察、探索并概括出概念的过程，学生很自然地从用相似三角形的概念来判定三角形相似过渡到相似三角形的判定①的学习上了，同时也为后面学习相似三角形的判定做好了铺垫工作。
三、注重概念的巩固练习
概念的形成是由个别到一般的过程，而概念的巩固练习则是由一般到个别的过程，它是学生掌握概念的两个阶段。首先，练习的目的要明确，使每项练习都突出重点，做到有的放矢，使练习真正有助于学生理解新学概念，有利于发展学生的思维。其次，练习的层次要清楚，鉴于初中生的年龄特点，认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高的过程，因此练习时要按照由浅入深、由易到难的原则，逐步加深练习的难度。
1.基本练习，在刚学完新课之后的单项的、带有模仿性的练习，可以帮助学生巩固知识，形成正确的认知结构。如教学中，对于巩固相似三角形的判定的基本练习安排了例1、辨一辨、填一填，让学生明确根据相似三角形的判定，要使两个三角形相似，只要在两个三角形中有两个角对应相等。同时“辨一辨”想让学生感受到两个三角形相似和它们的位置无关，但要根据对应关系将对应顶点写在对应的位置上，其中公共角、对顶角、直角三角形中的直角都是相等且对应的。“填一填”中，三角形的个数和相似三角形的对数都增加了，要让学生同时关注“哪两个三角形”“哪两个角对应相等”这两个问题。
例：如图1，已知∠A=50°，∠B=∠B′=60°，∠C′=70°，ABC与A′B′C′相似吗？为什么？
辩一辩：下列各组图形中的两个三角形相似吗？
填一填：如图3，BE、CD相交于点O，CB、ED的延长线相交于点A，∠C=∠E，
则_____∽_____，_____∽_____。
2.发展练习，在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的练习，它可以帮助学生形成熟练的技能技巧。
教学中安排了“试一试”，3个小题紧紧抓住了用两个角对应相等，来判定这两个三角形相似，关键是等量代换思想的运用，用外角知识根据∠BDF+∠B=∠DFE+∠EFC和∠B=∠DFE，可得∠BDF=∠EFC。3个小题又分别从特殊到一般的以矩形、等边三角形、等腰三角形为背景，（1）（2）小题结合了翻折的全等变换，（3）小题通过加问：将三角板绕点F旋转，其他条件不变，结论成立吗？将三角板的顶点F在边BC上移动，其他条件不变，结论成立吗？渗透了旋转、平移运动变化的思想。让学生能在一定的背景下来判定两个三角形相似，帮助学生形成熟练的技能技巧。
附：试一试。（1）如图4，在矩形ABCE中，以DE为对称轴折叠，使顶点A恰好落在BC边上的点F处，则BFD和CEF相似吗？为什么？（2）如图5，将（1）中的矩形ABCE换成等边三角形ABC，其他条件不变，则结论还成立吗？为什么？（3）如图6，ABC中，∠B=∠C=α，将一块三角板的顶点F落在BC边上，另两边和边AB、AC边交于点D、E，∠DFE=α.BFD和CEF相似吗？为什么？
3.综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题的灵活性，培养学生的数学思维能力，实现由技能到能力的转化。
前面的练习都是根据图形和条件，找出并判定两个三角形相似。本题提升到要根据条件画出符合条件的三角形，并根据相似三角形的性质解决问题。同时本题涉及了分类讨论的思想，即过点C作OA的垂线交x轴于点D。本题还和平面直角坐标系结合，求D点坐标，就是求线段OD的长度。
四、注重概念的实际应用
通过运用概念解决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性，同时也有利于培养学生的实践能力。
教学中安排“算一算”，让学生感受到在实际生活中，一些问题可以通过转化，构造相似三角形，用相似三角形的判定和性质来解决，让学生感受到数学就在身边，加深了对相似三角形判定的认识和提高了技能。
附：算一算.为测量池塘两端A、B的距离，小明设计了如下方案：先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=2CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，若测出DE=
数学这门学科系统性很强，新旧知识联系紧密，因此，利用旧知识来引入新概念，不仅能使学生对新概念的建立不会感到突然，还可收到“温故而知新”的效果。
学习“函数的极大值与极小值”时，首先指出过去在学习函数那部分内容时，已经会求二次函数的极值，当时对于极大值与最大值、极小值与最小值未加区分，因为二次函数的图像中只有一个“峰”和一个“谷”，这两个概念是统一的。但对一些较复杂函数的讨论中，函数图像有时会出现几个“峰”和几个“谷”，鉴于此，便自然地提出了“函数的极大值与极小值”的概念。
二、数形结合，由直观到抽象
“数”和“形”是整个数学发展过程中的两大柱石，许多数学概念可以通过图形反映出它们的属性。恰当地利用图形，可以使许多抽象的概念直观化、形象化，从而帮助学生正确地理解概念，把握住概念的本质特征。
在学习“函数的极大值与极小值”时，让学生观察教材中图形。首先指出对于一条连续不断的曲线y=f（x）在区间（a,b）内的点x处，值f（x）比在点x附近各点的函数值都小，在点x处，值f（x）比在点x附近各点的函数值都大，从而指出对于点x，x（下降与上升或上升与下降的分界点）处的函数值f（x），f（x）我们称为函数y=f（x）的一个极小值或极大值，x，x分别叫做极小值点和极大值点，并指出函数f（x）在区间（a,b）内的极大值或极小值不止一个，图中f（x），f（x）也是极小值，f（x），f（x）也是极大值，应特别提醒学生的是：函数f（x）在区间（a,b）端点处是否有极值？由极值的图像特征很容易回答。
值得注意的是，借助图形来认识概念，必须从图形中找出规律性的东西，如函数的极大值与极小值的问题从图形上来看，其规律应为：图像为连续不断曲线的函数的极值点就是该函数对应曲线运动方向的转折点。这样便把感性认识用数学语言抽象到理性认识，这就不至于使数学概念在严密性和完备性方面受到损害。只有完成了这一认识质的飞跃，才能使学生正确地理解概念，牢固地掌握概念。
三、抓住关键，揭示概念本质
明确概念就是明确概念的内涵和外延。概念的内涵揭示概念的本质属性，即概念所反映的全体对象（外延）与其他事物相区别的那些属性。因此，在概念的教学中，要抓住关键进行剖析，让学生体会透其含义，揭示其本质，这样不仅能把学生从死记硬背定义的误区里拉出来，而且可使学生对概念理解更深刻，掌握更牢固，运用更精准。
如“函数的极值”可以这样定义：“如果函数y=f（x）在点x的附近有定义，并且y=f（x）的值比在点x附近所有各点的函数值都大（或都小），我们就说f（x）是函数f（x）的一个极大值（或极小值）。”如何正确理解这一概念？首先指出定义中“函数y=f（x）在点x的附近有定义”是前提，因为函数f（x）的极值是与x点附近所有各点的函数值相比较而来的，如果函数f（x）不是在点的附近有定义，那么函数的函数值就不存在了，也就无从比较。同时，对于“附近”两字如何理解，也有必要强调这是揭示极值属性的关键字眼，我们可以用“无限接近于点x”或“离点x要多近有多近的点”并结合图形来解释“附近”二字，这样学生易于接受。为进一步揭示函数极值的本质特征，接着强调两点：
（1）函数的极值是在一点附近的小区间内定义的，因此是局部性的。（2）定义f（x）中说是函数f（x）的一个极大值（或极小值），可以结合教材图形指出函数的极大值（或极小值）在其定义区间内不是唯一的，而且在某一点的极大值（或极小值）可能小于（或大于）在另一点的极小值（或极大值）。通过这样的剖析，学生便能正确地理解和掌握这一概念了。
四、设计问题，启迪思维，及时巩固概念
数学概念都是从现实生活中抽象而来的。恰当的创设问题情景引出概念，学生既容易接受，也能调动学生积极参与激活课堂教学氛围。
1.联系生活中具有相反意义的量。如用收入与支出，前进与后退，盈利与亏损，上升与下降等引出正负数的概念。
2.从实物抽象出概念。如利用杆秤引出数轴的概念。用杆秤称量物体时，移动秤砣保持秤杆平衡，秤杆上星点表示的数就是物重，秤砣左右移动表示物体的重量增减变化，从这一过程中抽象出本质属性：称量要有起点，称量要定单位，有表示增减变化的方向。由此启发学生思考如何用一个比较简单形象的方法来表示？学生容易联想到用直线上的点表示数，从而引出“数轴”的概念。
3.通过复习旧概念提出新概念。如复习一元一次方程类比得出二元一次方程。
4.让学生动手操作，发现新问题，提出新概念。新课程理念倡导让学生自主，合作探究的学习方式。因此在概念教学时，可让学生亲自动手试一试，在实验中发现问题，提出新概念。学习镶嵌时，让学生剪一些多边形（包括正多边形）纸片，动手拼图观察探究，发现镶嵌的条件。即体现了学生的主体地位，也活跃了课堂的学习气氛。
在概念引入时要鼓励学生大胆猜想，让学生依据已有的知识做出推测。经历概念形成的最初阶段，培养学生数学发现的基本素质。
二、重视概念的形成过程
一般来说概念的形成过程为：创设情景，归纳特征――建立模型，抽象概念――理解定义，巩固应用。注重概念的形成过程，可以完整地揭示概念的本质属性，使学生理解概念具有思想基础，培养学生的思维能力。例如在学习“有序数对”这一概念时，问：“同学们，你怎样向家长说明你的座位位置？”学生：“我在第五排第三行。”“很好，那么单独用排数或者行数能确定你的位置吗？”“不能。”再让第五排学生站一下，第三行学生也站一下。通过这样的过程让学生体验利用一对数来确定一点位置的正确性，加深了对概念的理解。
三、重视概念的理解过程
数学概念是用精炼的语言表达出来的。在教学中，抽象出概念后，还要注意深入分析概念的定义，帮助学生进一步理解概念的含义。
1.分析概念的定义。例如，学习“单项式”这一概念抓住“只含有数字和字母乘积运算”这一特征进行分析。如果还有其他运算如：加、减、除，这样的式子都不是单项式，只有理解这个定义，学生在判断时才不会出现失误。
2.剖析概念中关键词语。例如：同类项就是“含相同字母，并且相同字母的指数也相同”的项。抓住“相同”做分析，明确“相同”是指字母和它的指数都相同。
3.揭示概念的内在联系。对于有内在联系的概念要做好比较。例如“一元一次方程”的概念是以“元”“次”“方程”这三个概念为基础的。“元”表示未知数，“次”表示未知数的最高次数，次数是针对整式来说的，“一元一次方程”是最简单的整式方程，学生掌握“一元一次方程”为后面学习“二元一次方程、一元一次不等式”打下基础。类比内在联系的概念，学生用起来才会得心应手。
4.归纳对比，区分概念的异同。数学中的许多概念之间既有联系又有区别，学生容易混淆。教学应引导学生归纳比较。如“三角形的角平分线”“与角的平分线”
是密切联系的两个概念，相同点是它们都是能够平分角，不同点是前者是线段后者是射线。
四、重视概念的巩固过程
心理学认为概念形成后要及时巩固，否则就会被遗忘。巩固是概念课教学的重要环节，首先复习要及时。遗忘规律指出，识记后最初遗忘得较快，以后渐渐减慢，因此在概念初步形成后，趁热打铁，及早复习，引导学生正确叙述，把握概念的要点、特征、优点是既省时间，效果也好。其次，适当采用复习，通过单元，章节，周末，月考等多种方式进行复习，维持学生的学习兴趣，增强主动性，积极性，让学生看到成绩，增强信心，进而取得好的复习效果。还要善于利用最佳时间进行复习，早晨头脑清醒，干扰因素少，把概念温习一下，晚上临睡前把学习的概念回忆一遍，使获得的概念理解更准确，影响更深刻，巩固得更有效果。
掌握概念是学好数学的基础，是学好定理、公式、法则和数学思想方法的前提，是提高解题能力的关键，是解决例题和练习题的依据。按传统的讲授法教学，学生对概念的感性认识很浅，学习概念太死板，不能灵活运用到学习中去，学生的学习能力也得不到提升和培养。现在我们很好的利用“以学教案为载体的任务驱动式小组合作学习”教学模式，突出问题设计，加强问题解决，丰富学生感性认识，突破数学中概念教学这个难点，利用学教案提出问题、驱动组员合作、组间合作和师生合作，使学生充分感知概念的生成过程，以使学生在概念的应用过程中如鱼得水。故在进行人教版七年级下册第八章第一节二元一次方程的概念教学时，我设置了如下的教学程序。
一、创设情景，问题引入
在学教案上根据学生已有的知识和经验设置一些实际问题，让学生带着具体任务进行课前探究，从而激发学生学习兴趣，引发学生好奇心，调动学生积极性。通过问题解决使学生初步感受二元一次方程这个新概念所具备的特征，为学元一次方程这个新概念做准备。如：
1、我国古代数学名著《孙子算经》中的第31题“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何?”
2、某班学生39人到公园划船，共租用9艘船，每艘大船可坐5人，每艘小船可坐3人，每艘船都坐满。问：大船、小船各租用多少艘?
二、提出问题，感受特征
在学教案上设置这样两个问题让学生探究：①在以上的每个问题中，有哪些相等关系?②如何用数学式子表达?
通过观察，并与一元一次方程比较，类比一元一次方程概念的得出过程，学生很容易建立起对二元一次方程本质特征的认识。让学生在已有知识作为生长点即一元一次方程概念的基础上，引导学生观察感知二元一次方程的本质属性。从而使学生对新学到的知识易于理解、掌握、内化，同时以问题解决为载体向学生自然渗透类比的数学思想，符合学生学习的由浅及深、循序渐进的认知规律。
三、抓住时机，适时命名
在让学生充分感受新概念特征的基础上，抓住时机，适时命名：即像x+y=35，2x+4y=94这样的方程叫做二元一次方程。然后让学生归纳、提炼、叙述二元一次方程的定义。他们很可能会得出：方程中含有两个未知数，并且每个未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程。
四、提炼总结，规范定义
由于学生认知的肤浅、能力的局限，难免会出现知识上的错误，这是非常正常的情况。教学中教师要恰当的设计问题，让学生尝试错误，充分暴露知识上的缺陷。同时尊重学生，鼓励学生积极参与知识形成的全过程，这是新课程所提倡的，更是“以人为本”教育理念的具体落实。在学教案教学中，要积极鼓励学生参与尝试，在尝试中思考，在思考中进步。
根据学生对新概念的一些特征的初步认识，教师在学教案上设计以下一组练习题：下列方程是二元一次方程的是(
)
(1)3x+2y
(2)x+2=0
(3)x+xy=1
让学生逐一判断，并找出每个题目判断的依据。特别是对(3)中“xy”这一项，学生会提出质疑。此时教师不要急于揭晓谜底，抓住学生的好奇心和求知欲，让学生自主探究、分组讨论，课堂上很自然地出现了“一石激起千层浪”的热烈讨论氛围。然后通过教师引导，最终让学生进一步自主完善对二元一次方程定义的认识：方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1的方程叫二元一次方程。教师板书，并把“项”用红笔写出来。在这个教学环节中，教师放手让学生自己去探索、自己去辨析、自己去归纳总结、自己去获取正确的认识。此教学环节的实施，有利于加深学生对概念的理解和掌握，使学生真正经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成的过程，逐步达到培养学生抽象概括能力的目标。
五、定义剖析，抓住本质
为了加深对定义的理解，可让学生自己编写一个二元一次方程，在小组内通过出错、比较，学生会更深刻的说出依据，并把“两”、“项”和“1”这几个关键词挖掘出来。由此定义就会剖析的更深刻，抓住了定义的本质。甚至可以举反例或变式，从反面或侧面去剖析数学概念，突出对象中隐蔽的本质要素，加深学生对概念理解的全面性。
六、巩固练习，加深认识
学生对概念的掌握是一个由具体到抽象，由抽象到实践，由实践到抽象的循环往复过程。学生是否真正透彻理解和牢固的掌握了概念，需要通过实践去体验，也就是说理解了的概念不一定真正掌握了它，只有通过反复的灵活运用，才能巩固加深对概念的理解。为此我设置了以下两个问题：
1、已知方程3xm+3一2y1-2n=0是一个二元一次方程，求m和n的值?
2、已知方程(m-3)x|n|+1+(n+2)ym2=0
通过虚数形成过程的介绍，有助于消除学生对“i”引入的陌生感，减少学生因虚数概念的抽象性，开始接受时，理解不深刻的困惑（大数学家尚有疑虑），调动学生进一步学习复数几何意义的积极性，培养学生勇于探索的精神。
二、揭示概念的内涵、外延，培养学生的数学能力
概念的内涵是指反映在概念中的事物的本质属性，概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的事物。让学生明确概念，就是要让学生明确概念的内涵与外延，培养学生的领悟能力。如数列极限的概念的引入：
首先给出实例：①0.9、0.99、0.999、……1——、……②1、－、、－、……（－1）n＋1、……分析这些数列的“项随n增大，逐渐逼近某一个常数”的特点，让学生感知这种“形式上从有限到无限，其结果无限双转化为有限”的数学家思想，即极限思想。接着给出数列项在数轴上的表示，直观反映数列项逼近常数的过程，在此基础上用数学语言表述这一数学现象，进而对一般数列极限的情况给出ε——N的定义，这种从“特殊”到“一般”，从“形象”到“抽象”的过程，可促使学生深刻体会极限的内涵，培养学生抽象概括能力。
又如函数奇、偶性的概念：前提：对于函数定义域内的任意x，其中“任意”即“所有”，说明函数奇、偶性是定义域内的整体性质。其次给出f(x)与f(－x)的关系，意味f(x)与f(－x)都存在，隐含着函数定义域关于原点对称，通过这样的剖析，可防止学生偏面地认为判断函数奇、偶性就是验证f(x)与f(－x)的关系，使学生领悟函数具有奇偶性的必要条件是“函数定义域关于原点对称”。
三、强化概念的运用，提高学生综合素质
学数学离不开解题，美国著名的数学教育家波利亚就曾指出：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题”结合数学学习水平分层次配备训练题组让学生运用概念层层深入地分析解决问题，是提高学生综合素质重要环节。
如在“函数单调性”概念教学中，给出下列题组加以巩固训练。
例1：判定函数y＝x2的单调性？学生可直接归入单调性定义加以判定。
例2：判定函数y＝log2(x2－3x＋2)单调性？需要学生通过转化，变为复合函数内层、外层函数单调性进行判定。
通过虚数形成过程的介绍，有助于消除学生对“i”引入的陌生感，减少学生因虚数概念的抽象性，开始接受时，理解不深刻的困惑（大数学家尚有疑虑），调动学生进一步学习复数几何意义的积极性，培养学生勇于探索的精神。
二、揭示概念的内涵、外延，培养学生的数学能力
概念的内涵是指反映在概念中的事物的本质属性，概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的事物。让学生明确概念，就是要让学生明确概念的内涵与外延，培养学生的领悟能力。如数列极限的概念的引入：
首先给出实例：①0.9、0.99、0.999、……1——、……②1、－、、－、……（－1）n＋1、……分析这些数列的“项随n增大，逐渐逼近某一个常数”的特点，让学生感知这种“形式上从有限到无限，其结果无限双转化为有限”的数学家思想，即极限思想。接着给出数列项在数轴上的表示，直观反映数列项逼近常数的过程，在此基础上用数学语言表述这一数学现象，进而对一般数列极限的情况给出ε——n的定义，这种从“特殊”到“一般”，从“形象”到“抽象”的过程，可促使学生深刻体会极限的内涵，培养学生抽象概括能力。
又如函数奇、偶性的概念：前提：对于函数定义域内的任意x，其中“任意”即“所有”，说明函数奇、偶性是定义域内的整体性质。其次给出f(x)与f(－x)的关系，意味f(x)与f(－x)都存在，隐含着函数定义域关于原点对称，通过这样的剖析，可防止学生偏面地认为判断函数奇、偶性就是验证f(x)与f(－x)的关系，使学生领悟函数具有奇偶性的必要条件是“函数定义域关于原点对称”。
三、强化概念的运用，提高学生综合素质
学数学离不开解题，美国著名的数学教育家波利亚就曾指出：“掌握数学意味着什么呢？这就是说善于解题”结合数学学习水平分层次配备训练题组让学生运用概念层层深入地分析解决问题，是提高学生综合素质重要环节。
如在“函数单调性”概念教学中，给出下列题组加以巩固训练。
例1：判定函数y＝x2的单调性？学生可直接归入单调性定义加以判定。
例2：判定函数y＝log2(x2－3x＋2)单调性？需要学生通过转化，变为复合函数内层、外层函数单调性进行判定。
