通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。
看下面例子：
例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。
解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：
3只猴子各分得0颗花生，
3只猴子各分得1颗花生，
3只猴子各分得2颗花生，
、、、 、、、
3只猴子各分得32颗花生，
最后一只猴子分得33颗花生。
这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）
这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。
通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？
（一） 通常来说，用反证法时有三个步骤：
ⅰ 反设
“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：
1 首先要弄清题目的条件和结论；
2 强调“反设”是对结论的全否定。
例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。
结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。
ⅱ 归谬
以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。
由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：
①与客观事实矛盾
例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。
证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。
②与公理，定理矛盾
例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。
证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。
③与题设矛盾
例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。
④与反设矛盾
ⅲ 存真
由所得矛盾肯定原命题成立。
（二）反证法的适用范围
什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。
通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。
参考文献
1 “正难则反”好思路 峰回路转现通途
作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期
反证法完全解读
作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期
反证法大致又可以分为以下两种类型.
1.归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了证明目的，如本文中的例1和例3.
2.穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确，如本文中的例2.
反证法常用于以下几种命题的证明.
一、命题中不易找出可以直接推证的关系
例1 在同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a与b相交，ac，bd.求证：c与d相交.
证明：假设c∥d.因为ac，所以ad.又因为bd，所以a∥b.这与已知a与b相交矛盾，所以c与d相交.
二、命题中含有“不”、“无”等词（称作否定形式的命题）
例2 求证：当n为自然数时，2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.
证明：假设有整数a、b，使a2-b2=2（2n+1），即（a+b）（a-b）=2（2n+1）.
当a、b同为奇数或同为偶数时，a+b和a-b皆为偶数，则（a+b）（a-b）应为4的倍数，但2（2n+1）除以4余2，与假设矛盾.
当a、b为一奇一偶时，a+b和a-b皆为奇数，则（a+b）（a-b）应是奇数，但2（2n+1）是偶数，与假设矛盾.
所以假设错误，即2（2n+1）形式的数不能表示为两个整数的平方差.
我们都知道，反证法是数学中应用较为常见的方法之一，尤其是在高中数学中应用更是广泛. 数学的求解问题中，有些题目，用正面方法进行直接求解通常难度较大且费时，让我们证明或者是求解时感到比较困难，在有限的考试时间内很不划算. 而采用反证法则很容易解决. 然而，高中教材中缺乏针对反证法原理的相关介绍和总结，现将做题中经常遇到的反证法进行归纳和阐述.
一、反证法基本概述
反证法又称背理法，是求解数学问题的一种常用论证方法.其基本原理为：首先假设原命题的反命题是正确的，并将假设条件作为求解和推理的基础，再根据已知的公式、定理和定义以及原题中的已知条件进行逻辑推理和运算，以推出假设与逻辑的矛盾，从而肯定原命题的正确性.
通常，在棋类比赛中，有一种“弃子取势”的下棋策略，意思为：以牺牲某些棋子为代价，从而以获取优势. 科学家哈代曾说，背理法是远远优胜和高超于任何一种棋术的策略. 即使棋手牺牲几个棋子可能不会影响比赛结果，而数学家可以牺牲的是整个一盘棋. 反证法和其相似，都是一种为了巧妙取胜的最了不起的策略.
反证法即是要在假设命题的基础上进行推理认证，推出矛盾，假设，从而证明原命题的正确. 通常有以下几种较为明显的矛盾：
（1）自相矛盾；（2）与假设相矛盾；（3）与题中所给条件相矛盾；（4）与定理、公式相矛盾；（5）与事实相矛盾.
二、反证法的理论基础
反证法是以人的逻辑思维为依据的求解数学问题的方法. 反证法的理论基础是逻辑思维规律中的两大规律，即“矛盾律”和“排中律”. 这也间接说明了反证法是科学可信的.
排中律：排中律表示A要么是B，要么不是B，而没有其他可能性，也不具备其他属性. 排中律在一定程度上揭示了思维的规律，即通常来讲，一个命题要么为真，要么为假，而无其他可能性. 其用符号表示为：P∨ .
矛盾律：矛盾律又称不矛盾律，是表示同一个目标不能同时得出两个矛盾的判断，换句话来讲就是，同一个命题不能既得出否定答案又得出肯定答案. 矛盾律在某种程度上揭示了事物活动的规律性定律. 矛盾律用符号表示为：P∧ .
三、反证法解题一般步骤
反证法的一般步骤是如下：
首先，仔细审题，从题目中找出命题的条件和结论；
其次，将原命题进行否定转换，将题目中原有的条件和结论作为进一步推理的基础；
再次，从假设出发，运用课本中的定义、定理、公式以及题目中的条件，再加以逻辑推理，证明出与假设相矛盾的结论；
最后，肯定题目原有结论的正确性.
反证法的根本目标题设原有命题的不正确，通过命题的否定转换，并在否定转换的基础上运用公式、定理等条件进行矛盾揭露，使矛盾显化，从而证明原有结论的正确.
四、反证法的应用范围
高中数学中反证法应用范围十分广泛，但是课本上并未说明哪些题型适用用反证法，哪些题型该用反证法实际上并无特别规律可循，原则上来讲，因题而异，反证法的目标是简便解题步骤，缩短解题时间，实现巧解、便解的目的. 当所给题目下面求解困难，或者正面求解步骤较多时，就当考虑使用反证法来求解. 本文列举应用反证法求解的几个常见安全来具体说明反证法的应用.
（一）否定性命题的证明
如题目结论出现“没有...”、“不是...”、“不能”等字样的时候，通常正面直接证明不易入手，可以使用反证法来证明.
例：证明：同一个三角形中不能同时出现两个钝角.
已知：∠A，∠B，∠C是三角形ABC的三个内角
求证：三个内角中不能同时存在两个钝角.
证明：假设∠A，∠B，∠C三个内角中有两个内角为钝角，不妨假设∠B > 90°，∠C > 90°，则∠B + ∠C > 180°，显然与三角形的内角等于180°相矛盾，因而，假设不成立，也即∠A，∠B，∠C中不可能同时存在有两个钝角存在.
（二）唯一性命题的证明
通常在几何图形中要证明符合条件的图形有且只有一个时，即要求证明几何图形的“唯一性”，此类命题使用反证法证明更简单.
例：证明：一个圆只有一个圆心.
分析：此命题为唯一性命题，可用反证法证明.
证明：假设此圆有两个圆心A和B，在圆内任意作一条弦CD，并取CD的中点M，连接OM、AM，则OM、CD、AM、CD，过直线CD上的一点M有OM和AM两条直线与其垂直，这与经过一点有且只有一条直线与已知直线相垂直的结论相悖，故假设不成立，也即证明了一个圆只有一个圆心的命题是成立的.
（三）必然性命题的证明
必然性的命题通常是结论中带有“必然”字样，求解过程中应通过肯定结论，将原命题的肯定转化为否定的假设，运用一定的定理和定义找出矛盾，假设，从而证明命题的必然性.
例：已知：a、b、c同为正整数，a为质数，且满足a2 + b2 = c2.
求证：b、c两数必然一奇一偶.
分析：可假设两数同为奇数或者同为偶数，看是否满足等式，如若不满足等式即可假设，证明原命题的正确性.
证明：假设b、c两数同为奇或者同为偶数，由a2 + b2 = c2可知，（c + b）（c - b） = a2，由于b、c两数同为奇或者同为偶数，两者的加减运算也同为奇或同为偶，那么a2一定为偶数，且a也为偶数. 但是题目中已知a2为质数，与题设相矛盾，故假设不成立，原命题正确.
此外，还可给已知变量设定值. 假设a = 2，则（c + b）（c - d） = 4，因此有c + b = 4，c - b = 1，即b = ，c = ，或者c + b = 2，c - b = 2，即b = 0，c = 2，这与原命题中a、b同为正整数相矛盾，故b、c两数为一奇数、一偶数.
（四）无限性命题的证明
例：证明 为无理数.
分析：由于题目所提供的信息较少，如若从正面直接求解较为困难，解题思路可以从假设 是有理数开始，这也使得题目的信息量加大了，可以考虑将 表示成分数.
证明：假设 是有理数，且存在实数a、b，且a、b互为质数，使得 = ，即a2 = 8b2，故a为偶数，记为 a = 2L，故a2=4L2，b2 = 2L2，则b也为偶数，这与假设a、b互为质数相矛盾，故假设不成立，即 非有理数，而是有理数.
（五）不等式命题的证明
证明不等式是高中数学中常见的题型，特别是不等式的求解和计算，在历届高考中都会有大题出现. 反证法也是解不等式中常用的方法之一，通常情况下，解不等式的问题可以用到“对比法”、“分析法”和“综合法”，也有些正面直接求解较为困难的题目，这时就要用到反证法求解，可以简化求解过程，提高求解效率，使问题得到快速解答.
例：已知：m、n > 0，求证：m3 + n3 > m2n + mn2
证明：假设m3 + n3 < m2n + mn2
证明：由于m、n > 0，由此可以推出m3 + n3 < mn（m + n），由此可知（m + n）（m2 - mn + n2） < mn（m + n），即（m2 - mn + n2） < mn，故m2 + n2 < 2mn. 又因为与m、n > 0，m2 + n2 > 2mn相矛盾，故假设不成立，即证明了 m3 + n3 > m2n + mn2.
不等式问题的求解方法有很多种，形式也不尽相同，反证法与其他诸如分析法和综合法等其他方法一道，丰富了不等式的求解方法，求解优化了不等式的求解过程，多运用反证法、分析法和综合法求解不等式问题，可以扩展思路，提升求解能力.
五、反证法巧解的具体案例分析
（一）案例1――公式有改动
若下列方程：①x2 + ax - a + 3 = 0；② x2 + a - 1 + a2 = 0；③ x2 + ax + a = 0，三个方程中至少一个方程有实根，求a的取值范围.
解析：由题可知，三个方程中至少有一个方程有实根有三种情况：其一，①有实根，②③无实根；其二，②有实根，①③无实根；其三，③有实根，①②无实根；正面直接解答不仅烦琐复杂效率低，还易出错，尤其在考试中，正面解答很浪费时间. 而通过反证法则容易得多，我们只需要求得“三个方程都无实根”中a值的取值范围，并将所得的取值范围取补集，就是题目中要求的取值范围.
设三个方程全无实根，则Δ1 = a2 - 4（3 - a） < 0Δ2= a - 12 - a2 < 0Δ3 = a2 - 4a < 0，求得-6 < a < 2，a > 1，0 < a < 4解得1 < a < 2，再求补集，该范围的补集为a ≥ 2或a ≤ 1.
因此，当a ≥ 2或a ≤ 1时，题目所给的三个方程满足至少有一个方程有实根.
（二）案例2
如图所示，已知O是圆锥的底面圆心，SA、SB是圆锥的两条母线，C点是直线SB上的任意一点，求证：直线AC与平面SOB不垂直.
解析：为证明直线AC与平面SOB不垂直，可由反证法来求解. 先假设AC与平面SOB垂直，再证明假设的不成立，即矛盾性，间接证明AC直线与SOB平面不垂直.
解：假设ACSOB面，由于SO底面ABO，且SO在平面SOB内，故SOB面底面ABO，因而AC∥底面ABO，显然，AC与底面ABO相交不垂直，因而假设不成立，直线AC与平面SOB不垂直.
（三）案例3
已知x，y∈[0，1]，证明：对于m，n∈R，存在满足条件的x，y，使得|xy - m - yn| ≥ 成立.
分析 此类问题主要是探讨存在性问题，可使用反证法求解.
证明：假设x，y∈[0，1]对于任意的x，y都成立时满足|xy - m - yn| ≤ . 令x = 1，y = 0，则由此可以得到，|m| < ；再令x = m，y = 1，可得出|y| < 成立；然后令x = 1，y = 1，则能够得出|1 - m - n| < 成立. 但是由于|1 - m - n| ≥ 1 - |m| - |n| > 1 - - = ，产生了矛盾，因此，假设不成立，原命题是正确的.
（四）案例4
求证：两条相交直线有且只有一个交点.
反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.
关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立.
二、反证法在数学解题中的应用
（一）在肯定性命题中的应用
即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.
如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.
证明：假设不是既约分数，
令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）
既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.
（二）在否定性命题中的应用
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.
（三）在限定性命题中的应用
在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.
如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.
证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：
4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112
这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.
（四）在不等量命题中的应用
不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.
（五）在互逆命题中的应用
已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.
如（平面几何问题）
原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.
逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.
逆命题的证明：
三、对反证法运用的思考
（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.
（二）明确逻辑推理的特点
反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.
（三）了解产生矛盾的种类
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）02-0077-02
在中学数学中，反证法应用相当广泛。怎样正确运用反证法是一个难题。本文主要研究的是一些直接证明难以入手甚至无法入手的题目，用反证法就会使证明变得轻而易举。
一、反证法原理及解题步骤
1.反证法原理。反证法是一种论证方式。它首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结论，从而得出原假设不成立，原命题得证。总的来说反证法就是通过证明原命题的反面不成立来确定原命题正确的一种证明方法。反证法在中学数学中经常运用。有的问题不易从问题的正面去解答，但若从问题的反面着手却容易解决，它从否定结论出发，经过正确严格的推理，得到与已知假设或已成立的数学命题相矛盾的结果，从而得到原命题的结论是不容否定的正确结论。
2.反证法的解题步骤。在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想。由此，我们总结出用反证法证明命题的三个步骤：①提出假设：做出与求证结论相反的假设。②推出矛盾：与题设矛盾；与假设矛盾；恒假命题。③肯定结论：说明假设不成立，从而肯定原命题成立。数学问题是多种多样的，尽管大多问题一般使用直接证明，但有些问题直接证明难度较大，而用反证法证明，却能迎刃而解。下面我们结合实例总结几种常用反证法的情况。
二、反证法在中学数学中的应用
反证法虽然是在平面几何教材中提出来的，但对数学的其他部分内容如代数、三角函数、立体几何、解析几何中都可应用反证法。那么，究竟什么样的命题可以用反证法来证呢？下面就列举几种一般用反证法来证比较方便的命题。
1.基本命题。基本命题就是学科中的起始性命题，这类命题由于已知条件及能够应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。
例1 求证：两条相交直线只有一个交点。已知：如图，直线a、b相交于点P，求证：a、b只有一个交点。证明：假定a，b相交不只有一个交点P，那么a，b至少有两个交点P、Q。于是直线a是由P、Q两点确定的直线，直线b也是由P、Q两点确定的直线，即由P、Q两点确定了两条直线a，b。
与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a，b不可能有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。
2.否定性命题。否定性命题，也就是结论以否定形式出现的命题，即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题，直接证法一般不易人手，而运用反证法能使你见到“柳暗花明又一村”的景象。
3.存在性问题。在存在性问题中，结论若是“至少存在”，其反面是“必定不存在”，由此来推出矛盾，从而否定“必定不存在”，而肯定“至少存在”。我们用反证法来证明。
例2 已知x∈R，a=x2+0.5，b=2-x，c=x2-x+1求证：a，b，c中至少有一个不小于1。证明：假设a，b，c都小于1，则2x2-2x+3.5
4.无穷性命题。无穷性命题是指在求证的命题中含有“无穷”、“无限”等概念时，从正面证明往往无从下手时，我们常使用反证法。
例3 证明■是无理数。证明：假设■不是无理数，那么■是有理数，不妨设■=■（m，n为互质的整数）， m2=3n2，即有m是3的倍数，又设m=3q（q是整数），代人上式得n2=3q2，这又说明n也是3的倍数，那么m与n都是3的倍数，这与我们假设m、n互相矛盾，■是无理数。
5.唯一性命题。有关唯一性的题目结论以“…只有一个…”或者“……唯一存在”等形式出现的命题，用反证证明，常能使证明过程简洁清楚。
例4 设0
从而|x1-x2|≤2bsin（x1-x2）/2≤2b（x1-x2）/2=b|x1-x2|，即 |x1-x2|≤b|x1-x2|，此与x1≠x2且0
三、应用反证法应该注意的问题
对于同一命题，从不同的角度进行推理，常常可以推出不同性质的矛盾结果，从而得到不同的证明方法，它们中有繁冗复杂，有简单快捷，因此，在用反证法证明中，应当从命题的特点出发，选取恰当的推理方法。
1.必须正确“否定结论”。正确否定结论是运用反证法的首要问题。
2.必须明确“推理特点”。否定结论导出矛盾是反证法的任务，但出现什么样的矛盾是不能预测的。一般是在命题的相关领域里考虑，这正是反证法推理的特点。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一出现，证明即告结束。
3.了解“矛盾种类”。反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾，可能与已知真命题（定义或公理、或定理、或性质）相矛盾，可能与临时假设矛盾，或推出一对相互矛盾的结果等。
反证法是一种简明实用的数学解题方法，也是一种重要的数学思想。学会运用反证法，它可以让我们掌握数学逻辑推理思想及间接证明的数学方法，提高观察力、思维能力、辨别能力，以及养成严谨治学的习惯。我认为，只有了解这些知识，在此基础上再不断加强训练，并不断进行总结，才能熟练运用。
参考文献：
[1]陈志云，王以清.反证法[J].高等函授学报（自然科学版），2000，13（6）：20-23.
[2]阎平连.浅谈反证法在初中数学中的运用[J].吕梁高等专科学校学报，2002，18（1）：28-29.
[3]张安平.反证法――证明数学问题的重要方法[J].教育教学，2010，1（11）：179-180.
“反证法”在初中数学教材中，虽然并不是作为基本技能要求学生掌握，但处处有所渗透，并逐步提高要求。如苏科版七年级下册第7章“平面图形的认识（二）”中，课本编写“读一读” ――怎样证实“两直线平行，同位角相等”，运用了反证法。这里已经逐步揭示反证法的基本思路：“反设归谬存真”。
八年级下册第九章中，提出了一个用“反证法”解决的简单问题，并对反证法给出了明确的定义：先提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。让学生了解了反证法的基本步骤、体会反证法在解决问题中的作用。
由此看来，考虑到学生的年龄特征，对于“反证法”，在初中教材中的安排是谨慎而又循序渐进的，它是对提高学生逻辑推理能力、数学思辨能力的一个补充，在思维方式上给学生以新的思路和启发。
二、“反证思想”渗透教学，培养学生数学思辨能力
数学思辨能力，即数学思考辨析问题的能力，包括分析、推理、判断、解决问题。良好的思辨能力体现在对问题的分析和结论进行层次分明、条理清晰的解释和论证，具有较强的逻辑性。而“反证思想”是“反证法”中蕴含的逆向思维方式在问题解决中的应用。借用“反证思想”还能帮助学生能够在千变万化的数学问题，突破传统单一的解题思路，创新解决新方法，进一步深化对知识本质的理解。
（一）从简单问题入手，使学生了解“反证法”的基本思路和一般步骤
初中数学知识中包含很多定理、定义等，一些定理或者初始命题难以发现直接证明的论据。从简单问题入手，使“反证法”为学生提供新的解题思路。让学生了解它的基本思路和一般步骤，从而能触类旁通、灵活地解决问题。
例1：求证：在一个三角形中最多有一个钝角。
第一步，反设――假设问题的反面成立。假设一个三角形中有两个（或三个）钝角。
第二步，归谬――从假设出发得出与已知条件、定义、定理或基本事实相矛盾的结果。那么这两个（或三个）钝角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾，
我们在解数学题的过程中，经常用到这样一种方法：先假定某结论的反面成立，并把这结论的反面成立作为已知条件，再进行正确的逻辑推理，使之导出一个与已知条件、已知公理、定理、法则、已证明为正确的命题等相矛盾的结果，从而肯定原结论成立，使命题获得证明.
例1：已知：a、b、c、d均为实数，且ab=2（c+d），求证：方程x+ax+c=0与方程x+bx+d=0中至少有一个方程有实根.
证明：假定上述两个方程都没有实根
所以已知的两个方程中至少有一个方程有实根.
以上这种方法在数学中被称为反证法.
一、反证法及其在数学证明中的作用
反证法在思维分析和数学证明中有着极其广泛的应用.历史上，英国著名数学家西尔维斯特在他晚年提出的问题：平面上n（n≥3）个已知点不全在一条直线上，证明：总可以找到一条直线，使它只通n过个点中的两个点.这个历经半个世纪都无人解决的难题被一个“无名小卒”用反证法轻而易举地解决了.
从反证法的定义可以看到反证法有如下特征：
1.反证法，开宗明义第一步，总是对所证命题结论的否定，这是反证法区别于其他证明方法最显著的特点之一，没有对命题结论的正确否定，就不是反证法.
2.“对命题结论的否定”，我们通常称之为“反设”，把“反设”作为已知条件，并把此条件运用于推理中，这是反证法的又一特点.反之，如果不以“反设”为已知条件，而是作与“反设”无关的推理，那么这样的证明方法就不能叫做反证法.
由此可以看出，“反设”是应用反证法的第一步，也是重要的一步.只有正确地叙述了一个命题的否命题，反证法的证明才可能是完备的，无懈可击的.
De Morgen法则在叙述一个命题的否命题时有重要的作用.下面我们了解一下什么是De Morgen法则.
二、De Morgen法则及其在反证法中的运用
设有集合族{A}α∈I，我们定义其并集与交集如下：
A={x：？埚α∈I，x∈A}
A={x：？坌α∈I，x∈A}
De Morgen法则是对于集合而言的，设A为一个命题，x∈A表示A对x为真，由上面的定义可看出，如果存在a∈I，使A对x为真，则可用x∈A表示，同样，如果对一切α，A对x为真，可写成x∈A，这样，许多数学命题都可用集合的交集、并集、余集给出.例如：例1的结论用集合语言可表示为{x：x+ax+c=0}∪{x：x+bx+d=0}≠？准，根据De Morgen法则，其否命题应该是{x：x+ax+c=0}∩{x：x+bx+d=0}=R，下面我们看一些较复杂的例子.
例2：叙述数列{a}不收敛
数列{a}收敛的ε-N定义为：
？埚a∈R，？坌ε>0，？埚N∈/N，？坌n>N，
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：
用De Morgen法则叙述它的否命题
将它写成ε-N定义：？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε
所以数列{a}不收敛的ε-N定义为：
？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε
例3：叙述f（x）在x不连续
f（x）在x连续的ε-N定义为：
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：
用De Morgen法则叙述它的否命题
将它写成ε-N定义：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有
所以f（x）在x不连续ε-N的定义为：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有|x-x|
例4：设S={x}为R中的一个数集，叙述S无上界
S有上界的定义为：？埚M∈R，对？坌x∈S，有x≤M
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：
{x：x≤M}=S
用De Morgen法则叙述它的否命题
{x：x≤M}≠S=？准
用集合语言把它叙述出来：？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M
所以S无上界的定义为？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M
例5：设I为全集，叙述f（x）在I上不一致连续
f（x）在I上一致连续的ε-n定义为：
？坌ε>0，？埚δ（ε）>0，？坌x′，x″∈I，|x′-x″|
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：
用De Morgen法则叙述它的否命题
将它写成ε-N定义：
？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|
所以f（x）在I上不一致连续的ε-N定义为：
？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|
例6：利用Cauchy收敛准则叙述数列{a}不收敛
数列{a}收敛：对？坌ε>0，？埚N∈/N，当？坌n，m>N时，有
用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：
用De Morgen法则叙述它的否命题
将它写成ε-N定义：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使
叙述数列{a}不收敛的ε-N定义为：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使
一、非命题
非命题是高中数学的简易逻辑中出现的概念，而在实际生活中，非命题类的语句也经常用到.“非”是否定的意思，对命题进行否定得出的新命题，我们称之为非命题.所以，当某一个命题为真命题时，将之否定得到的就是假命题，同样，若一个命题为假命题时，将之否定则是一个正确的命题，即真命题.一般情况下的这样两个命题称为一组“互非命题”.
我们来看一句话，为表述方便，把它记为A：“0的倒数是0.”这句话可以判断真假，我们称之为命题，又因为1/0在初等数学中没有意义，所以命题A是假命题，那么，将之否定将得到真命题，也即非A命题：“0的倒数不是0”是真命题.这是数学上的推理，然而在我们的日常口语习惯中，0的倒数既然没有意义，也就是前提不存在，那么结果无论是等于0还是不等于0都是不正确的.数学与逻辑有矛盾吗？
数学是头脑的体操，是逻辑的推演，结论是确定的、可控的，我们说“数学的世界里没有骑墙派”，当然不会产生矛盾.我们把刚才的命题数学化，写成条件命题的标准形式，若p则q形式，改写如下：若x=0则1/0=0；那么非命题为若x=0则1/0≠0，我们将1/0≠0理解成：这个整体可能根本不存在（无意义），也可能取某一个非零的值.换言之，它不仅包括原命题的反面内涵（也即非零值），还包括与之相关联、相和谐的一系列的相关外延.正是这一系列内涵与外延的独立，才使得利用逆否命题可以证明原命题.
二、反证法
反证法可以用来证明任何学科领域的命题.一般的，由证明若p则q形式，转而证明非q推出一系列结论，从而推出一个全新结论t，其中t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非p为假，推出p为真命题.证明的一般步骤一般有三个：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.下面对这三个步骤详加说明.
步骤一：正确地作出反设.否定结论是正确运用反证法的前提，需注意所作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，而提出否定假设相当于增加了一个已知条件.
步骤二：推出矛盾是用反证法证明命题的关键.在证明和推导过程中，已知的一些定义、定理、已知条件都正常应用，提出的反设也作为一个已知条件参与证明和推导.需要注意的是如果否定事项只有一个，我们只要把这个反面驳倒，就能肯定原命题成立，如果否定事项不止一个时，就必须将结论所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立.
步骤三：矛盾判定.需要针对具体问题看待矛盾，一般情况下，是与已知条件矛盾，特殊情况下，虽与已知条件相符（已知条件可在步骤一中参与推理），但与其他定义、定理、公理、事实等矛盾.
步骤四：既然产生了矛盾，必须推究产生的原因，因为在步骤二中的推演是合乎逻辑的正常推导，所以问题只能出在步骤一上，换言之，其反设有问题，由错误的条件产生的矛盾的结论，从而证明了原命题的正确.
三、逆否命题
在逻辑中的命题除了陈述和判定的语气、结构外，有些是在一定条件下的判断，也即：
在某种条件下成立某一结论，这种情形通俗点说就是“如果怎样则结果如何”，在数学上称为“若则命题”，一般表示为“若p则q”，而与之等价的命题为“若非q则非p”，这种命题将原命题的条件用非命题的形式作为新命题的结论，将结论的非命题作为新命题的条件，我们称之为原命题的逆否命题.
在本质上讲，原命题与逆否命题的等价性是反证法证明的逻辑基础.原命题为“若p则q”，则反证法的第一个步骤寻找反设，也即是认定非q的过程，步骤二的推导，也即“若非q则非p”的过程，步骤三的矛盾判定，实际就是非p的判断，步骤四本质上就是原命题与其逆否命题的等价认定过程.
综合以上，我们知道，逻辑判断过程中的逆向思维是以“非命题”形式作为基础，以“逆否命题”作为桥梁，以“反证法”作为实践手段实现的，而且，在逆向思维的应用中，已知的情况以及使之成立的一切条件和与之相符相伴相和谐的一切都在逆向判断的范畴内，所以逻辑是思维的过程，而数学是思维发展的产物，逻辑与数学是共生共存的关系，并且两者会相互促进、共同发展.
【参考文献】
[1]顾银丽.反证法在高中数学中的应用.数学学习与研究，2011（15）.
【中图分类号】G633.6
【文献标识码】C
【文章编号】1671-8437(2012)01-0022-01
数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。
下面介绍的几种解题方法，都是中学数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。
1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都会经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题过程中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项、添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题变得容易解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b、c∈R，a≠0)根的判别式=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数的运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个根的和与积，求这两个根等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等方面，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式。最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学中常用的重要方法之一。
6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。
7、反证法：反证法是一种间接证明方法，首先要提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到论证原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是／不是；存在／不存在；平行于／不平行于；垂直于／不垂直于；等于／不等于；大(小)于／不大(小)于；都是／不都是；至少有一个／一个也没有；至少有n个／至多有(n－1)个：至多有一个／至少有两个；唯一／至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设条件出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设条件矛盾；自相矛盾。
8、等(面或体)积法：平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积(体积)，而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法，称为等(面或体)积法，它是几何中的一种常用方法。
用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等(面或体)积法的特点是将已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用等(面或体)积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线。即使需要添置辅助线，也很容易想到。
9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单的问题从而简单的得以解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。
10、客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识的覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生有猜估答案的情况发生。下面通过实例介绍常用方法。
一、逆向思维在数学中的应用
逆向思维反映的是思维过程的间断性和突变性，意即强调使学生突破思维定势和固有的思考框架，产生新的思考方法，找到新的解题途径．这是创立新科学理论的重要思维方法．数学教学中最基本的“设定未知数‘x’”即是逆向思维的一种最为普遍的应用．即，将原本未知待解的数“x”设定为已知数代入到公式中，通过“x”在公式中的关系反向推导出结果．逆向思维在数学中的实际应用早在19世纪就催生出了非欧几何，包括后来在20世纪60年代建立发展起来的模糊数学，均是逆向思维在数学领域成功运用的典型案例．
二、实际教学中逆向思维的培养和训练
对于逆向思维在初中教学中的培养和应用，应主要从两个方面入手．
1 加强基础知识的逆向教学．初中阶段，数学仍然是一门基础学科．在教学过程中强调对基础知识牢固掌握的同时，顺势导人逆向思维，不仅更加巩固了学生对基础知识的熟练掌握程度，也锻炼了学生的思维，拓展了思考模式．在基础知识中，应在对概念的理解和运用上加强逆向教学．在数学中存在诸多“互为”关系的概念：比如，“互为相反数”、“互为倒数”等等，通过这些简单的概念，教师可以引导学生从正反两方面去思考，培养其逆向思维的能力进而建立起双向的思维模式．比如，对于原命题、逆命题这一概念，学生往往只重点记住了逆命题是原命题的逆命题，却忽视了原命题也是逆命题的逆命题．在教学过程中，教师若能适时地引导学生从命题的反面进行思考，则会在早期的基础阶段就打下良好的逆向思维根基．
2 注意解题方法上的逆向思维训练．(1)分析法解题。分析法就是从命题的结论出发，顺藤摸瓜追溯充分条件，直到推导出已知条件的方法，可以充分培养学生的逆向思维能力．“执果溯因”是分析法的本质特征，关键是整个解题过程必须是可逆的．(2)反证法．反证法是一种间接证法，是从特征结论的反面出发，推出矛盾，从而否定要证明结论的反面，肯定特征结论(即双重否定等于肯定)，是许多数学问题在直接证法相当困难时常用到的方法之一．加强反证法的训练，有利于学生思维广度的拓宽和深度的加深，对逆向思维的培养有着非常重要的作用．(3)举反例．在数学命题中，给出一个命题要判断它的错误，只要给出一个满足命题的条件但结论不成立的例子，即可否定这个命题．这就是通常意义说的反例．加强举反例的训练，可以有机地做到训练和培养学生的逆向思维能力．
三、逆向思维在数学解题中的实际应用
美国数学家盖尔鲍姆说：“数学由两大类——证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要目标——提出证明和构造反例.”提出证明，就是根据已知概念和真命题遵照逻辑规律运用正确逻辑方法去证明某个命题的真实性，构造反例，就是为了证明某个命题不真，构造一个且只需构造—个符合于题设条件但命题结论不成立的特例，即反例.本文从数学教学的角度讨论反例的作用.
一、培养独立的思维判断力，增强趣味性
在中学数学教学中教师不仅要教给学生数学知识，更重要的是要培养学生的能力，尤其是培养学生的创造性思维能力.思维属于认识的高级阶段，要达到培养学生创造性思维能力的目的，必须重视构造反例这一重要途径.构造反例是一个快速而无规则的探索性过程，它有利于活跃学生的思维，广开学生的思路，同时也可培养学生从多方面、多角度认识问题和解决问题的习惯，有效地增强学生思维的敏捷性，逐步增强独立的思维判断力.
在教学过程中，适时举一些数学史上的著名反例，不但能培养学生的学习兴趣，激发学生的学习热情，而且对学生形成概念、系统掌握知识有很大的帮助.如在讲无理数概念时，可以谈谈数的概念的形成和发展，特别是导致数学的第一次危机的反例，古希腊毕达哥斯学派的希帕萨斯发现正方形一边与对角线不能用两整数之比表示，严重冲击了当时希腊人的信条——数是一切事物的本质，整个有规定的宇宙的组织，就是数及数的关系的和谐系统.“宇宙万物只能归结为整数，最多也只能归结为两整数比”.希帕萨斯因此而被抛入大海，成为数学史上的一大悲剧.这一反例的发现，使希萨斯的名字，永远被铭刻在神奇的数学王国的宫墙上.接着叙述无理数数，学生的注意力自然很集中.
又如学习数学归纳法时，必须指出：不完全归纳推理，只是给人们提供了一种猜想，其真实性必须通过论证肯定或否定.由于反例在否定命题时具有巨大的作用，因此利用反例可以轻而易举地否定一些著名命题.1640年法国数学家费尔玛猜测所有形如Fn=2+1（n为非负整数）型的数都是素数，验证F=3，F=5，F=17，F=257，F=65537都是素数，因此，当时谁都不知道费尔玛的猜测是否正确，直到1732年，瑞士大数学家欧拉指出F5=641×6700417，从而一举了费尔玛猜想.
二、构造独特的解题模式，寻找矛盾
构造反例在证伪过程中起到了巨大的作用，而且构造反例是培养学生创造性思维能力的重要途径之一，因此教学中应予以足够的重视.如何构造反例呢？选择特殊值、极端情形或相反情形，常常可使所举反例简洁且易于构造，—般构造反例解题的模式是：
问题条件特点解析（选择特殊值极端相反情形）构造反例（得出结论）原命题不真.
我们经常使用的反证法，是首先假定所要证明的结论不成立，然后在这个假定下进行一系列符合逻辑的推理，直到得出一个矛盾的结论，并据此原先的假定，从而确认所要证明的结论成立.其中，寻找矛盾是证题过程的核心所在，而揭露矛盾的一个有效方法，就是构造反例.
所以在由这些线段所组成的三角形中必有锐角三角形.
三、探寻问题的错误所在，深化理解
在中学数学教学过程中，教师不仅要能够运用正确的例子深刻诠释知识点，而且要能够运用一些恰当的反例从另一个角度紧抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，进而加深学生对知识的理解，让他们留有深刻的印象.比如，中学数学知识中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等，对于刚接触的人来说，对它们的认知常常模糊不清.在教学这些知识点的时候，假如从正面阐述，那么学生就很难理解，如果结合一些反例论述，效果就会事半功倍.
（一）有利于帮助掌握定理、公式和法则
例3：若a=A，b=B，那么（a+b）=A+B，反之，可否成立？
解析：反之不成立.如果直接说明难以入手，而举出反例论述，就可以使学生记忆深深刻.例如：a=+n，b=-n，显然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.
例4：二项式定理的教学中，刚接触者常习惯于记忆通项公式T=Cxa对于形似（3a-4b）的式子，因而认为它的第四项系数是C，这显然是“误入歧途”，实际上应该是C3·（-4）.
（二）有利于正确指出错误
对学生解题中的错误必须及时予以纠正.偶然性的错误，要求学生仔细思考，让他们自己作出改正或补充；原则性的错误，要求学生明白错误的原因，直到弄懂为止，而指出错误最为有效的办法之一便是举出反例.
例5：在平面几何中，“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”这个定理中“平行”二字常常被“忽略不计”.这也可举一个反例，举一个四边形ABCD，两对角线ACBD，但要证明它不是菱形，这样就可以促使学生深入理解定理中“平行”二字的重要性.
又如，设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=/2，已知点P（0，3/2）到这个椭圆上的点的最远的距离是.求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
这是一道高考题，解法颇多，在此我们不加以赘述.下面用反例法剖析一种常见的解题错误.
反例在驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误上有着重要作用，它有助于学生正确掌握题解方法.面对一个问题的解答，可运用反例检验答案是否正确，假如发现不对，就能够引导我们探寻错误的原因.
式并不等价，尽管满足前者时，也能满足后者，但满足后者时，却不能满足前者，所以是错误的，答案应为-5
在当前的中学数学教学中，—般对提出证明比较重视，而对构造反例有所忽视.从思维方法来看，构造反例法是较高层次的思维方法之一，也是发现数学真理的一种重要手段，对于激发学生的学习兴趣、培养学生的发散性思维起着不可估量的作用.所以，在教学过程中，我们应重视反例法的运用.
参考文献：
[1]吴志华.浅谈反例在高等数学教学中的作用及构造[J].牡丹江教育学院学报，2008，3.
[2]曹玉升.反例在高等数学教学中的作用及构造[J].漯河职业技术学院学报，2009，2.
