中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0157-01
数学概念定义是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心；数学概念定义是数学思维的细胞，是数学能力的根基之一。因此，中学数学概念定义的教学，我认为应从以下几个方面来进行尝试：
1.重视概念的形成发展史
数学概念既不是人们头脑中固有的，也不是从天上掉下来的它是人们在长期的社会实践中，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成观念通过分析、综合、抽象、概括而形成的。在教学中，老师在引入概念时可以将概念的形成过程引入课堂，介绍给学生。例如复数这一章节的教学可以首先将复数的发展史作为首课时向学生展示。
2.注意具体到抽象的过渡来引入概念
概念是现实生活中一类对象经加工提炼而成的，数学概念也是为了解决实际数学模型而产生的，教师应注重以具体的问题引出抽象的概念，这样就不会让学生感到问题提出的突兀。
从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。
抽象是数学的一种美，但学习时其感知对象，学生也觉得枯燥，要让观察者对呈现于面前的某些对象有兴趣，使其注意力集中与这些对象，则在课堂教学中，教师时高时低、抑扬顿挫的声调、活动教具的示范、教学多媒体的运用，都是增强学生感知效果的有效方法。
3.用熟悉的概念引申产生新的概念
学习是一个渐进的过程，对概念的理解也是一个渐进的过程，随着我们知识水平的不断提高，原有的概念的外延不断扩大并由此扩大或改进成新概念，在我们组织教学时，我们可以从旧的概念入手同学生一起用发现的手法来提高和完善我们的认知，引出新思想。例如函数这一概念在初三是新知识，到高一后学生对他的理解就比较深刻，也可以说这时抽象也转化为一种具体，教师若由此出发通过解析式、定义域、值域并对映射概念加以对比发现函数也是映射，最终提出函数的近代定义，用引出的方法学生让自己动手发现新知识，这种成功的喜悦 ，无疑使得学生对概念的理解更为深刻。
从对函数的不同认识阶段看：初中以"变量说"定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以"对应说"定义函数，引进数字以外的符号（y = f （x） 中，f 不代表数，与x ，y 的含义非常不同） 表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数
念研究具体问题的"基本规范"。
从研究函数的方法上：对于"基本初等函数"的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在"基本初等函数"的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的"基本规范"。
从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的"纽带"，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）26-0084-01
高职阶段数学教学的意义不仅仅体现在继续升学的方面，更重要的是能提高学生发现、分析与解决问题的能力，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力与空间想象能力，帮助学生学会理性思考、理性判断，为专业课程的学习奠定坚实有力的基础。
高职数学知识点丰富，而函数概念是众多数学概念中最重要的概念之一，是高职数学的重点和难点。在课堂教学过程中，有不少学生反映函数的概念太抽象，从初中开始就是自己的“老大难”，以至于只要看到与函数有关的内容就害怕，宁愿选择回避。
函数的思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，这与中学数学中的数、式、方程等有密切联系。教师在函数教学中应该从概念的本质属性、概念的内涵和外延入手，加强概念形象理解，培养学生良好的思维习惯。
一 函数概念的定义
传统定义：设有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数。
近代定义：设A，B都是非空集合，f：xy是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：AB就叫作函数，记作y=f（x）。
对函数概念的理解，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同。传统定义是从对应的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。定义都是文字和符号的连接，学生在理解时缺乏直观的认识，往往一知半解，此时需要让学生以自己独特的角度对函数概念形成理解，也有助于加深记忆。
如将函数y=f（x）的三要素与实际生活相联系，把“自变量x”看成是“待加工的货物”，把“因变量y”看成是“加工完成的产品”，把“对应法则f ”看成是“加工时的工序”，把“（）”看成是“工厂的大门”。如此学生以自己的理解，将理论与现实中的实物联系起来。
二 函数的定义域和值域
在函数y=f（x），x∈D中，自变量x的取值范围的集合D就是函数的定义域，而与x的值对应的y值就是函数值，函数值y的集合就是值域。
函数的定义域和值域考查的形式有很多，无论是选择题、填空题，还是解答题都会出现，是考试常考的内容，在求定义域、值域时我们会碰到各种不同类型的函数表达式，有些是我们熟悉的，有些相对比较复杂。同学们在遇到不熟悉的函数表达式时往往不知道应从何处下手。其实存在的问题都是心理紧张因素造成的，我们要理清思路，按部就班，掌握五大基本初等函数（反、对、幂、三、指）定义域、值域的特殊条件会有助于问题的解决。
第一，在求函数的定义域时，可以按照下面这几种方法来快速有效地判断和求解：（1）函数是整式时，自变量x可以取任意值，也就是定义域为全体实数所组成的集合。（2）函数是分式函数时，一定要注意，分母不能为0，那么定义域就是除使分母为零以外的一切实数所组成的集合。（3）如果函数是偶次根式时，就要注意被开方数不能为负；是奇次根式时，被开方数可以是任意实数。（4）当函数为指数函数和对数函数时，应尽量记住函数的大致图像，关注其在平面直角坐标系中的大体分布。（5）当函数为三角函数时，更应考虑其图像，特别注意正切函数其定义域与直线斜率的关系。（6）若函数中包含了若干个基本初等函数的四则运算，那么该函数的定义域很可能就是各基本初等函数的定义域的交集。
第二，值域的求法较之定义域的求法要复杂得多，更没有现成的结论，它必须通过不同的途径分析、观察、计算等才能求出不同函数的值域，通常有以下一些方法。（1）如果遇到的是熟悉的、学过的函数，可通过观察其图像直观判断出值域。（2）如果遇到不熟悉的、较复杂的函数，可通过“多点法”作出草图客观判断其值域。（3）通过求出函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等性质，辅助判断其值域。（4）利用换元法把复杂函数转化为熟悉的函数来求值域。（5）部分函数可通过反函数法求定义域来求原函数的值域。
总之，学好函数首先需要弄清函数的概念，真正搞懂什么是函数，掌握基本初等函数的定义、性质、图像，把概念性的知识点转化为自己独有的理解，不但不容易遗忘，而且可以充分发掘学生的想象力和思维能力。
参考文献
[1]杨红.函数概念及表示方法的知识点总结[J].理科考试研究（高中版），2013（5）
[2]张玲艳、熊昌雄.高中函数概念学习的理论基础[J].宜宾学院学报，2007（12）
函数是高职数学的重要内容，函数思想几乎贯穿整个高职数学。在教学中我发现，很多学生对函数概念的理解不够清晰，导致在学习中出现种种问题。有的学生认为函数的概念并不重要，只要会做题就可以了，这种看法显然是错误的。我们必须让学生知道函数概念的重要性，并在教学中加以重视，精心、合理地设计教学方案，力求让学生掌握好函数的概念。下面我就在教学中碰到的一个问题来谈一下我们该怎样进行函数概念的教学。我在教学的过程中发现，很多学生对y=1这个函数的理解存在以下问题：
（1）不知道y=1是一个函数（依据是只有因变量y，没有自变量x）。
（2）经教师点拨后，知道y=1与f（x）=1是同一回事，但新的问题又出现：
①很多学生将函数y=1的图像画成一个点（0，1），而非一条直线。
②很多学生知道f（1）=1，但同时得出f（2）=2这个错误结论。
为什么会出现上面的情况呢？关键在于对函数概念的学习不够透彻，我们有必要对函数的两种定义及函数的本质作一次深刻的理解。
一
初中时函数的定义为：设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
而高职将函数定义为：如果A、B都是非空数集，那么A到B的映射f:AB就叫做A到B的函数，记作y=f（x）。其中x∈A，y∈B。
比较上述两种定义发现，初中函数的定义是用描述性语言给出的，而高职是从映射的概念出发来定义函数概念的，并给出符号y=f（x）。那么函数的概念为什么要重新定义呢？我们知道，初中生学习函数主要是学习一些非常简单的具体函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数等，并了解它们的一些简单属性：公式、图像、单调性等，这与初中生的认知水平是相适应的。但到了高职，虽然学生也会继续学习很多具体的函数，如二次函数、指数函数、对数函数等，但学生还要从具体函数出发掌握函数的一般性质：单调性、对称性、周期性、奇偶性等，那么引出函数符号y=f（x）就成了必要。而用映射的思想来定义函数的概念，比初中函数的定义有很多优势：
（1）利用函数符号y=f（x）可明确知道这样一个过程：x通过法则f作用对应到y，并可从y=f（x）中清楚地看到x和y的对应关系。
（2）对判断两个函数是不是同一函数有很大帮助。初中没有涉及同一函数，因此我们很难用初中的定义判断，但（3）有助于学生对于复合函数的理解。复合函数也是学生学习中的一个难点，尤其对于其性质如单调性等，学生不容易弄懂，我们通过映射：xg（x）f（g（x））可以很清楚地展示复合函数f（g（x））动态的一面。
（4）函数的性质：单调性、对称性、周期性、奇偶性等只有通过符号y=f（x）才能得到充分的展示。具体来说，例如对于周期性，我们可以很方便地通过如果对于函数y=f（x）的任何一个x，总有f（x+T）=f（x），来说明其周期为T。
二
从本质上来说，这两个定义是一样的，只是对于学生的不同学习阶段给出比较接近学生知识水平与认知水平的定义。
但是，映射的思想并不是函数的本质。其实，函数的本质在于变量之间的相依性。函数是用来描述客观世界变化规律的重要数学模型。比方说，长方体体积（v）是由长（x）、宽（y）、高（z）决定的，即说明v与x、y、z之间存在着相依性，但很难联系到多个集合与一个集合之间的映射。虽然映射的思想不是函数的本质，但却能最深刻地刻画函数的本质。由此，我们知道学生在学习中之所以会出现上述困难关键在于没有领会映射思想，没有建立概念内部与概念之间的联系，而仅仅记住其表现形式或语言表述，此时他所掌握的概念是孤立的，实际上并没有正确理解概念，不能真正解决具体问题，所以学生会出现以上的问题。
那么面对这种情况，我们该怎么解决问题呢？为了避免这种情况的出现，我们在具体实施“函数概念”课堂教学中，应首先让学生回忆一下初中所学的函数定义，让学生凭记忆口头描述一下，对于不完整的地方进行纠正，然后复习一下映射的定义，并用以旧带新进行比照的方法引入函数的新定义及表示符号y=f（x），引起认知冲突，让学生在已有知识基础上重新构建出新的知识结构，让学生将符号所代表的新知识与学生认知结构中已有的适当知识建立非人为的和实质性的联系，对符号y=f（x）有更深刻的理解，并能灵活运用到具体的情境中去；其次让学生比较两种定义有何不同，引导学生发现初中的定义比较直观，容易理解，而高职的函数定义就较为抽象，初中学生所接触到的都是具体的函数，如二次函数、一次函数、反比例函数等，而在高职学生会碰到一些抽象的函数，也就是用y=f（x）来表示的函数，在后继的教学中要让学生逐渐习惯这种表示方法；再次分别介绍函数的定义域、值域等，并对应到y=f（x）的表达式中去；最后在教学中还要消除学生的思维定势对函数图像法、列表法学习的影响，学生在初中的学习中可能认为用解析式表示函数是最重要的，而忽略图像法、列表法，在这里我们必须强调图像法、列表法与解析式法处于同等的地位，它们只是法则的给出方法不同而已。在此，我认为有4处有必要强调一下。
（1）函数表示的解析式法必须给出一个具体的函数解析式，认为y=f（x）就是函数解析式表示法是错误的。
（2）所有连续图形都可以由或多或少的复杂的解析式给出，所以气象台自动记录器所记录的T与t的关系可用解析式法表示，只不过公式比较复杂而已。采用图像表示法是为了更直观形象地描述函数，以及更清楚地表现其变化规律。
（3）函数概念提及变量x、y，着重点不在于变量x、y的变与不变，而在于变量之间的互动性、相依性。
（4）教学中我们在作函数y=1的图像时常会要求学生作x=1的图像。但必须明确的是x=1不是函数，这也可以用我们的函数概念来加以说明，并可以通过y=1和x=1的比较来更清楚地认识函数的定义。
函数是高职数学的重点和难点。在教学过程中我们要使学生对函数概念有正确的认识，必须对函数有深刻理解，这样才能教给学生对函数的概念的正确认识，让学生认清函数的本质，在碰到具体问题的时候认真分析，得出正确的结论。
参考文献：
［1］五年制高等职业教育.数学.江苏科学技术出版社，2005.8.
［2］孙维刚.孙维刚初中数学.北京大学出版社，2005.1.
在新课改理念下，教师应及时转变教学观念，“以人为本”，关注对函数教学中存在的问题，更新函数教学方法，提高函数教学效率。
一、以概念图加强函数概念教学的系统性
学习和理解函数概念是高中学生认知函数的开始，也是掌握和应用函数解题方法的基础。然而，在实际教学中，不少教师存在重应用轻理论的现象，忽视函数概念的教学。他们大多采用传统的讲授法，把概念教学当做讲解新内容时的小铺垫，一笔带过，既不联系已经学过的函数概念知识，也不引申讲解，割裂了概念与概念、概念与解题技巧之间的联系。这使得学生很难形成较深的印象，对于概念的理解也只停留在表面，在之后的解题过程中容易混淆相近的函数概念，降低做题的正确率。针对这一现象，教师如引入概念图教学方法，能引导学生思考概念的联系，提高教学的系统性。概念图（concept map）是一种用节点代表概念，连线表示概念间关系的图示法。这一方法有利于高中生建立函数的概念网络，把新旧知识联系起来，增进对函数的认识和理解，为后续学习奠定坚实基础。
如，在讲解有关值域的概念时，教师可引导学生以“值域”为核心概念，与“定义域”“映射”“集合”等相关概念进行联系理解。随着学习的不断深入，教师还应让学生在原概念图的基础上自主完善有关值域的知识：一是常见函数的值域，如y=kx（k≠0）和y=lgx的值域为R，y=■的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）等；二是常见的求值域方法，如图像法、配方法、单调性法、换元法和复合函数法等。通过运用概念图对概念等知识进行联系和深化，学生才能够更主动、更深入地理解函数的理论知识，为解题奠定坚实基础。
二、以多媒体设备提高函数解题技巧的直观性
近年来，信息技术的发展使得多媒体技术走进高中教学课堂，成为教师实施数学教学的重要途径。多媒体设备的合理运用，不仅能够调动学生的多种感官，提高他们在课堂学习中的注意力、观察力和记忆力，而且能够以动态的方式展示函数应用情景，提高学生对函数解题技巧的理解和应用能力。但是，目前仍有部分教师没有充分利用多媒体设备。这主要表现在两个方面：一是备课不充分。部分教师因信息技术水平较低或信息搜索能力不足等原因而没有在课前准备合适的教学课件、教学视频等资料，使得课上可用资源缺乏；二是对多媒体的应用停留在表面，仅仅展示解题过程而没有深入地分步解释，降低了多媒体设备的利用效率。为了提高函数教学的效率，落实新课改理念，教师应做好课前准备，提高其应用程度。
三、以合作学习提高函数教学的实践性
新课标提出，教师应丰富学生的学习方式，让他们在自主探索的过程中培养积极主动、勇于探索的精神。随着课程改革的不断落实，越来越多的教师在开展函数教学时运用活动教学模式，让学生在活动中学习函数知识。然而，由于部分教师对合作学习、探究学习等的理解并不全面，在实际教学中没有充分考虑学生的能力和学校的资源情况，把函数的有关知识生搬硬套到实践活动中，出现教学的表面化、泛滥化，甚至虚假化，降低了函数教学的效率。针对这些问题，教师应尝试促进活动教学与授受教学的相互渗透，结合函数教学的目标和内容等实际情况，在活动中融入授受教学，深化教学知识的讲解和剖析。如，在讲解有关对数函数的知识时，教师可让学生分组探究以下问题：
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则：（1）写出该城市人口总数x（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。
在合作学习的过程中，教师不要过多地干预学生的探索，而应给足够的空间让他们自行探索，如在第一题中，学生可能会先求出1年后、2年后、3年后该城市人口总数，然后推导出x年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2%）x；解答第二题时，教师可提示学生小组先列方程：
100×（1+1.2%）x=120
关键词： 高等数学；概念；分段函数；反例
Key words： higher mathematics；notions；piecewise function；counter-example
中图分类号：O13 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）26-0219-02
0 引言
学习数学可以锻炼学生严谨的思维，培养分析问题和解决问题的能力，高等数学是各高校的理工农林等专业学生必修的基础课。在高等数学中起着基础、关键、贯穿作用的是数学概念。每个数学概念是构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是提高解题能力的前提。数学概念的简洁、抽象、严谨等特点导致很多学生对高等数学学习有畏惧感，感觉抽象、枯燥，乏味。在有限的学时内，让学生正确理解概念，教师举例说明是直观的，可以减少学生学习活动的盲目性。逆向思维可以打破学生的定向思维，使其从多层次、多角度理解概念，进而深入的掌握知识，大大的开拓视野。利用反例教学在高等数学的教学中起着画龙点睛的作用。
分段函数是指在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的一个函数。分段函数在每段内对应的解析式是初等函数，在分段点处的特性往往会发生很大的异常，这也是用作反例的重要价值。本文主要将一元分段函数作为反例，在高等数学中学生不易理解或者易混淆的几个重要概念中进行应用。
1 初等函数与分段函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算而形成的并可用一个式子表示的函数称为初等函数。由于分段函数是由几个式子表示的函数，有些老师讲解初等函数的概念时，只强调初等函数用一个式子表示，轻易地得出分段函数非初等函数的结论。事实上并非所有的分段函数都不是初等函数。
例如，函数y=3x+2，x？叟0x+2，x
2 有界函数与函数值
若函数f（x）在区间I内有界，则称f（x）在区间I内为有界函数。初学有界函数概念的学生易与有限的函数值混淆。事实上函数有界是函数在研究区间整体的一个性质，函数值是某点按照对应法则计算的结果，这两个概念是整体和局部上的区别。
例如，分段函数f（x）=■，x≠00，x=0在任意x0点的函数值为有限值■，但是对任意的θ（θ>1），不妨取x0=■≠0，有f（x0）=■=2θ>θ，从而知函数f（x）为无界函数。
3 函数极限与函数值
如果在xa的过程中，对应的函数值f（x）无限地接近于常数A，则称数A是函数f（x）在点a的极限。初学函数极限的学生易想当然的认为函数的极限就是函数在点a处的函数值。事实上函数在点a处极限值的存在与该点处函数值无关。
例如，已知函数f（x）=■，x≠25，x=2，极限■f（x）=
■■=■（x+2）=4，而在x=2处的函数值f（x）=5≠4。
4 无穷大与无界函数
若对于任意给定的不论多么大的正数M，总存在δ>0，当0
例如，已知数列函数f（n）=n，n=2k■，n=2k+1，其中k为整数。显然它是一个无界数列函数，但当n+∞时，它不是无穷大，因为奇数子列是收敛的，极限值为0。
5 原函数和可积
若f（x）在闭区间I上有原函数，很多学生就认为函数f（x）在闭区间I上可积。这是因为他们将原函数和可积两者认为等价的。事实上，函数具有原函数和可积不是充要条件。
例如，分段函数f（x）=2xsin■-■cos■，x∈（0，1] 0，x=0，又知函数F（x）=x2sin■，x≠0 0，x=0，且有F'（x）=f（x）。因此F（x）为函数f（x）的原函数，但是分段函数f（x）在闭区间[0，1]上不连续，故在[0，1]上不可积。
通过列举一个反例能够调动学生学习的积极性，将思路引到正确的轨道上来，加深学生对知识的理解，辨析错误，可以让学生少走很多弯路。同时，反例还可以促使学生去寻找某些结论成立的新条件，培养学生严密的思维能力。在高等数学中证明充分而非必要命题（定理、法则）、必要而非充分条件命题（定理、法则）时，分段函数作为反例仍起到重要的作用。
参考文献：
中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）12-0169-02
函数是中学数学的核心内容，是许多数学知识内在联系的结点。函数概念是数学的核心概念，在数学中具有重要地位。从中学数学知识的组织结构看，函数既是代数的"纽带"，它联结着代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等知识，同时它又是几何问题解决的有效工具，许多几何问题我们可以利用函数知识，运用数形结合思想进行有效解决。因此，函数的学习非常重要。为了更好地帮助学生系统地掌握函数知识，形成函数数学思想方法，教学中应充分重视函数概念的学习。
1.深化函数概念学习，明确函数学习要求
函数概念系统复杂，它涉及许多子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等；同时函数概念的表达又具有多样性，一方面函数中的定义域、值域，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面它又有图像、表格、对应、解析式等多种表示方法，并且每一种表示方式既可以独立，又具有密切联系，常常需要进行转换。因此，学生要准确理解函数概念很不容易。
教学中，老师一定要引导学生了解函数概念的形成过程，准确理解"变量"概念，重视不同表示方式之间的转换以及运用函数概念解答实际问题；要让学生在概念学习中，不但能领会对应法则、定义域、值域之间相互制约的关系，而且能够灵活进行符号语言与图形语言的转换，学会运用数形结合的思维进行运算。只有这样，才能真正抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究函数。对中学生来说，函数概念学习的要求是：
1.1 准确理解函数概念，明确函数三要素的作用，能正确理解函数与其反函数的关系。
1.2 系统掌握求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法，能灵活运用换元、待定系数法、数形转换等数学思想方法解决问题。
1.3 通过对分段定义函数、复合函数、抽象函数等的认识，深刻认识函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想。
对此，在函数学习中，首先要帮助学生克服"函数就是解析式"的片面认识，真正明确函数的对应法则和定义域都包含着对函数关系的制约作用。在做有关函数概念型题目时，要对确定函数三要素的类型、方法进行系统梳理，这样才能进一步为函数的综合运用打好基础。
2.熟悉函数概念型问题，掌握常用解题思路和方法
函数是对应法则、定义域、值域的统一体，有关函数概念型问题多与其有关，因此掌握确定函数三要素的基本类型和方法是学习好函数概念的基本要求。
2.1 求函数定义域的基本类型和常用方法。给定函数解析式求其定义域是常见题型，这类问题实际上是求使给定式有意义的x的取值范围，它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。这里尤其要注意复合函数定义域求法：若已知f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求 f（x）的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g（x）的值域（即 f（x）的定义域）
例1，已知函数 定义域为（0，2），求下列函数的定义域：
分析：x的函数f（x2）是由u=x2与f（u）这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f（x），f（u）是同一个函数，故（1）为已知0
解：（1）由0
本例（1）求函数定义域，关键在于理解复合函数的意义，用好换元法，即不给出f（x）的解析式，由f（x）的定义域求函数f[g（x）]的定义域。例（2）则是两种类型的综合。求函数定义域，还有第三种类型就是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，这类问题就要根据实际情况进行界定了。
2.2 求函数值域的基本类型和常用方法。
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域，如求函数f（x）=1x-2的值域；（2）求由常见函数复合而成的函数的值域，如求函数的值域；（3）求由常见函数作某些"运算"而得函数的值域，如求函数的值域。在此不作详解。
2.3 求函数解析式的类型和方法。
例2.已知xy
分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f（x），但加上条件xy
所以
因此能确定一个函数关系y=f（x），其定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），且不难得到其值域为（-∞，0）∪（0，+∞）。
本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系。任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式。求函数解析式还有两类问题：
（1）求常见函数的解析式。由于常见函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数）的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式。
（2）从生产、生活中产生的函数关系的确定。这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，在此不再举例说明。
2.4 厘清反函数与函数的关系，深化对函数概念的认识。
对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（5） y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A，值域为B，则有f[f-1（x）]=x（x∈B），f-1[f（x）]=x（x∈A）.
例3.下列函数中，不存在反函数的是（ ）
分析：处理本题有多种思路，如分别求所给各函数的反函数，过程繁琐，费时多，如是考试，不合算。从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。此题作为选择题还可采用估算的方法。对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2（2>1），也可能x=-1（-1≤-1）。依据概念，则易得出D中函数不存在反函数。其实不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是解决问题的关键。
总之，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。在实际教学中，尽管教材编者进行了分段、分层次地安排函数知识，老师们能针对函数概念的特点和学生认知规律，进行循环往复、螺旋上升的教学，但学生对函数概念的理解还是不很理想，因此教学中还需对学生进行认识论、方法论等哲学层面指导，这样，才能更有助于他们深入地掌握好函数概念。
参考文献
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）10-0179-03
一、高中数学教学函数内容的变化
函数教学是贯穿高中数学教学的一条主线，知识点多，覆盖面广，思想丰富，容易与其他知识建立联系，综合性强，每年高考有关函数问题的考查都占有相当大的比例。近两年，高中数学教学贯彻《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》），并按要求实施教学改革，函数内容的安排较以往有了一些变化。
1.对部分作了内容强化。①强化了函数模型的背景和应用的要求。函数概念的教学要求以实际背景和定义两个方面引导或帮助学生理解，在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别――更侧重于指数型函数与对数型函数的教学。②强化了分段函数的教学，要求能简单应用分段函数。③强化了知识之间的联系。《标准》要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图像，加强对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求。
2.削弱了部分内容。①削弱了对定义域、值域过于繁难的，弱化一些人为的过于技巧化的训练。②削弱了对反函数概念的理解，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。
3.增加了部分内容。增加了幂函数（y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=x ）；函数与方程；函数模型及其运用。要求引导学生在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。
二、2010、2011年高考数学全国大纲卷、课标卷函数类试题的比较及特点分析
通过比较，我们发现，近两年高考数学命题关于函数内容有以下特点：
1.覆盖率高。近两年的高考题，涉及到了函数的所有知识点，试题不强调知识的覆盖率，但函数知识的覆盖率始终没有减少。
2.层次性多。容易题、中等难度题和难题中都出现有函数题，其形式多为选择题和解答题。容易题一般涉及函数本身内容，对能力的要求不高；中等难度和较难题多为综合程度较大的问题，大多为函数与其他知识联系，多种方法互相渗透。
3.综合性强。为了突出函数在中学数学中的重要地位，近年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体，多种方法、多种能力的综合程度，特别是函数、导数及其知识的综合应用。
4.角度、方式新颖。函数试题设置问题的角度和方式不断创新。重视函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想与方法的考查。由于函数类型较多，概念、公式较多，综合性较强，使函数考题新颖、生动、灵活。
这些特点及变化，体现了《标准》“不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”的思想。
三、对高中数学课程中函数教学的建议
科学的教学，是培养学生数学思维能力、提高学生数学水平的有效途径，也是实现素质教育目的重要手段，为使高中数学函数教学更好地与《标准》对接，增强学生对函数的理解能力，进一步提高学生的数学思维能力与思维水平，我们有必要对教学方式与手段进行改进。
1.重视整体规划，分步实施。学生在数学学习过程中第一次遇到的最具有一般性的抽象概念是函数。教学实践证明，学生对函数概念的理解是一个由模糊到逐渐清晰的过程，对函数概念的理解需要一定的时间，积累一定的经验，由教师引导学生反复感知，增加感知频率，才能逐步理解，达到熟练掌握灵活运用的程度。面对这一教学任务，教师应当作好教学规划，分解教学目标与任务，对函数教学进程进行科学设计，细化各学段的学习内容，指导学生在运用中学习函数，在实践中不断理解函数思想。
2. 重视建构函数模型。《标准》明确：“学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型过程的方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。”
在高中函数教学时，教师要引导学生进行函数建模活动，将一些基本函数模型建构在学生心中，打牢学习函数、理解函数和解决其他函数问题的基础，可以起到事半功倍的作用。教学中，教师可以引导学生学习掌握一些关键知识，以起到四两拨千斤的作用。比如，学习并知晓函数模型的具体背景，用实际背景视角理解函数概念；可以借助几何研究函数的基本变化规律；还可以用代数分析优势帮助学生把握函数的变化。帮助学生在脑中建构起一批典型而具体的函数模型，就可以逐步实现对函数本质的理解，长期学习与实践，灵活运用函数思考和解决问题的目标也就能够达到。
3. 重视引导学生理解函数与其他内容的内在联系。按照教材的编排体例及教学内容安排，函数贯穿于整个高中数学课程中。从《标准》目标设定可以看出，函数思想非常突出地体现在方程、不等式、数列、线性规划、算法、随机变量等数学内容中。
近期在成都某中等层次中学做了一次问卷调查.此次调查时间是他们刚学完函数概念,分析结果发现:有4%的学生认为函数是一种特殊的数,19%的学生认为函数是方程,有77%的学生认为函数是变量.这说明变量定义函数还没有被所有的学生接受.有72%的学生只愿意用解析式表示函数,6%的学生愿意用表格表示函数.说明函数的三种表示方法在学生的头脑里还没有统一起来,学生还是习惯用精确的解析式表示函数.在理解函数概念中“自变量取某一值时,函数有唯一确定的值与之对应”时,只有 1 3 的学生理解正确.这说明学生在理解对应时有较大的困难.另外学生还不习惯看图像,也不善于从图像中发现信息.
函数概念是中学数学中最为重要的概念之一,也是学生在数学学习过程中第一次遇到的一般意义的抽象概念,学生理解上存在困难是不言而喻的.函数概念有许多复杂的层次和许多相关的下层概念,这样,函数成为中学数学中最难教、最难学的概念之一也就不足为奇了.
2 函数概念在课程中的重要性
函数是贯穿于初中及高中数学的重要知识,对于培养学生的逻辑思维能力有很大的作用.函数在初中数学中占有很重要的地位.从中学数学知识的组织结构看,函数是代数的“纽带”,代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接联系.并且,函数还是数学的后继发展的基础,这一章的内容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠定了一定的基础.同时函数知识在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用,在解决生产生活中的实际问题时,也往往采用函数作为建模的基本工具.函数既从客观现实中抽象出来,又超越了千变万化的课题的个性,其内涵极为深刻,外延又极为广泛,所以它既是重点,又是难点.[4]
3 关于“函数”这个概念
3.1 数学史中关于函数的发展
函数概念从产生到完善,经历了漫长而曲折的过程.这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多,更重要的是伴随着函数概念的不断发展,数学思维方式也发生了重要转折:思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系,实现了数与形的有机结合,在符号语言与图表语言之间可以灵活转换.与常量数学相比,函数概念的抽象性更强、形式化程度更高.[5]
3.2 变量与常量
初中课本中变量被当成是不定义的原始概念,而变量是函数概念中一个最基本的概念.数学中的变量概念与日常生活经验是有差异的,人们对变量的普遍理解是,在日常生活中,“变量”应该是变化的,不确定的.但数学中的变量包括常量,常量被看成是一种特殊的变量.另外函数概念中变量的意义更具一般性,既可以作为数,也可以作为点;既可以作为有形之物,也可以作为无形的东西.
3.3 函数概念表示的多样化
一方面表现在定义域、值域的多样性,可以用集合、区间、不等式等不同形式的表示;另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示,从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来.与其他数学概念相比,由于函数概念需要同时考虑几种表示,并要协调各种表示之间的关系,常常需要在各种表示之间进行转换,因此容易造成学习上的困难.
3.4 定义中的抽象因素
函数是在初中遇到的第一个用“数学关系概念定义法”给出的概念,解释它的本质(对应关系)的叙述方式与先前所学的诸多数学概念的叙述方式是不一样的.y=f(x)表示了一种特殊的对应关系,其中每一个字母都有特定的含义.但这种含义仅从字面上是看不出来的.我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容,也不能通过x(或y)来想象定义域(或值域)的抽象性到底是什么.这种抽象性大大增加了函数学习的难度.
4 学生学习心理分析
初一学生大多是从公用性定义或具体形象描述水平向接近本质定义或具体解释水平转化.理解掌握抽象概念有一定困难,在一定程度上要依靠主观的、具体的内容,特别是比较复杂的抽象概念,还抓不住其本质属性,分不清主次的特征.初二是掌握概念的一个转折点.初三学生基本能够理解概念的本质属性,能逐步地分出主次,但对高度抽象概括且缺乏经验支柱的概念,还理解不深.[6]
当学生的概念形成水平较低时,不理解它或在认识上感觉困难是正常的.学生只有通过大量客观事例,认识变量的概念,理解量与量的相异关系,才能形成函数概念的描述性定义,获得朴素、直观的认识.
中学生的思维发展水平是从具体形象思维逐步过渡到形式逻辑思维水平.初中生以形式逻辑思维水平为主[7].函数是一个辩证概念,而学生的辩证思维发展还处于很不成熟的时期,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,不善于把抽象的概念与具体的事例联系起来,还不能用辩证思维的思想来理解函数概念,这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的.例如,学生常常认为,“x”代表一个单个的数(可能是未知数);求函数值就是把数带入“公式”中的字母运算;学生常常把函数概念与“公式”等同起来,因此函数的动态性、变化性在思维中不能得到充分反应.对初中学生的思维水平来说,建立函数这样一个复杂的概念需要克服许多困难.
5 新课程理念在初中函数概念内容中的体现
传统的数学课程内容重结果.新课程中,学习的内容不仅包括数学的一些现成结果,还包括结果的形成过程.新教材中,“函数”部分,大量的材料是学生熟悉的、感兴趣的.这种题材使得学生的数学学习活动是一个生动活泼、主动和富有个性的过程.这种题材要求学生要有充分的从事数学活动的时间和空间,在亲自体验和探索中认识数学,解决问题,理解和掌握基本的数学知识、技能和方法.
在新教材中,有关“函数”的内容不再是初三一次性学完,而是分布在初二、初三等不同阶段分段学习.教师要重视函数概念的教学,同时注意尽早、分阶段向学生渗透函数思想,逐步使学生形成函数思想方法.这也体现了建构主义的教学观.
新教材中,有关“函数”的内容,通过大量生活中的例子把图像、列表等形式表示的函数都呈现出来,以便多角度认识函数.而且教材增加了许多“函数有关的实际问题”,如前言、例题、习题、阅读材料等,这样的教材,信息量大,知识含量高,更重要的,它不是只注重知识,而且有利于学生综合素质的形成.它引入概念的方式是:实际例子(问题)数学概念实际问题.这种方式借助实际问题情景,由具体到抽象的认识函数,又通过函数应用举例,体现了数学建模的思想,另外,内容的呈现方式丰富多彩,图文并茂,注重学生在学习过程中主体作用的发挥,同时联系生活实际,培养了学生的数学意识.更重要的是,这种题材呈现方式符合这个阶段学生的年龄特征和学习数学的心理规律,而且遵循逐级递进、螺旋上升的原则.
这样的课程设计,充分考虑到了学习者的因素,强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型,并进行解释与应用的过程.
6 初中函数概念教学的策略建议
6.1 注意尽早进行函数思想方法的导学
事实上,函数观念的培养在小学就已经开始了,进入中学,随着代数式、方程的研究也慢慢地渗透着这种思想.如果注意在学习与函数有关的知识时,经常地向学生渗透“对应”的观点,那么在初二学习函数概念时,学生就能较顺利地接受函数这个概念.
6.2 在教学中把握渗透函数思想及函数思想方法
在函数概念的教学中,函数思想主要体现在以下三个方面[8]:首先,函数思想集中反映了变量(自变量)与变量(函数)之间的变化规律.其次,对应是函数思想的本质特征.再次,自变量的变化处于主导地位,在函数y=f(x)中,y与x的地位完全不同,x的变化起决定性作用,变量y处于依从地位 .函数的值域是由定义域通过对应法则所决定.因此,自变量的变化范围是函数的另一个基本因素.
函数的思想方法在理解函数概念时有着重要的作用.函数的思想方法是中学数学的主导思想之一,它在培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的过程中,具有其他思想方法所不及的指导作用.函数知识学习的最终目的是对函数思想的领悟和掌握,而学习过程中函数思想方法的渗透,又可以加深对函数概念的理解[9].
6.3 让函数概念教学走向生活化
6.3.1 阐明常、变量的客观存在
常量在现实生活中, 随处可见, 生活的每一个角落, 社会的各个领域都有常量的身影.同时,认识变量的普遍存在,我们的周围万事万物每时每刻都在变,有些变化着的量可以用数来刻画.
通过从常量到变量,继而思考变量与变量间的关系,自然过渡到函数概念,选用学生比较熟悉的实例,力图让学生认识到数学与生活得密切联系,通过具有现实意义的情境引入.
6.3.2 多列举实例
函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事,在设计函数课的教学过程时不可能做到一步到位,必须由浅入深给学生一个逐步加深认识的过程.可给学生呈现一些函数的简单实例,例子要结合实际生活,也要紧紧结合教材内容.
在设计教学过程时一定要抓住这一点,不管是开始的情景引入,还是后面的例题讲解和课堂演练,都要选择贴近生活的例子,从而可以很好的调动学生的积极性,激发学生的学习兴趣.
在设计函数概念教学时,不要一味地按照教材原有的模式把内容给呈现出来,应试图通过整合教材,加入一些课外的,与本地实际生活相联系的内容来把新知识呈现在学生面前,在引发学生学习欲望的同时,拓宽学生的知识面,加强学生的数学应用意识.
在函数教学过程中要多举例,加深对函数概念的理解,反例提供了概念学习最有利的辨别信息,让学生进行函数正反例子的辨析有助于学生形成正确的认知结构.在函数概念教学过程中,不能只列举正例,使学生的视野受到束缚,也应通过构造适当的反例函数,澄清学生的模糊和错误的认识,促进学生正确的函数概念的建立.
6.3.3 重视数形结合
“函数是表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量.”函数自产生就和图形结下了不解之缘.函数的表示方法之一是图像法,即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系.这种表示方法的产生,将数量关系直观化、形象化,提供了数形结合地研究问题的重要方法,教学过程中,要注意函数解析式与图像的结合这两方面的互补,体现两者之间的联系,突出两者间转化对分析解决问题的特殊作用.
6.4 充分调动学生主观能动性
注重学生的学习体验和探索感受.因而,充分展开学生参与学习的过程非常必要.小组交流学习的教学方式能有效地体现学生的合作性、参与性、主体性,适时开展小组交流学习一方面可以达到深化本节内容的学习效果,另一方面,也充分体现新课程理念精神.教师理应从一个知识的传播者转变为学生发展的促进者,引导学生进行探索,建立民主的、平等的师生关系,让学生在平等、尊重、理解和宽容的氛围中快乐的学习.
参考文献
[1] 义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].北京:人民教育出版社,2008.
[2] 义务教育课程标准实验教科书(数学)[M]. 北京:北京师范大学出版社,2006.
[3] 王建磐主编.义务教育课程标准实验教科书(数学)[M].上海:华东师范大学出版社,2006.
[4] 数学课程标准研制组.数学课程标准解读[M].北京:北京师范大学出版社,2002.
[5] 简冬梅.函数概念的演进与函数教学[J].四川师范大学学报(自然科学版),2004,27(3).
[6] 徐向君.数学概念学习研究[D].呼和浩特:内蒙古师范大学,2004.
[7] 田万海.数学教育测量与评论[M].上海:上海教育出版社,1996.
[8] 肖柏荣 潘娉姣.数学思想方法及其数学示例[M].南京:江苏教育出版社,2004.
在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生活起来，动起来。通过情景创设、，例证辨析，主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题。
本文就教学过程中学生的反应情况和自己的反思，淡几点自己的思考。
一、中学数学中函数概念教学的原则
概念是一种数学知识。任何知识的获得和掌握都应遵循一定的原则，要符合学生的年龄特征、认知水平、认知习惯等。在学生的学法指导上，我们应按规律办事，不能逆原则来指导学生的学法。一般来说，函数概念的形成应遵循以下四个原则：在体验函数概念产生的过程中认识概念的原则；在挖掘函数概念的内涵和外延的基础上理解概念的原则；在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念的原则；在运用函数概念解决问题的过程中巩固概念的原则。
二、教学中注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的。因此，在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如：列出银行的利率表、数学用表、股市走势图；让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系……这样，学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，从而使他们相应的数学能力得到充分的培养与发展。
三、教学过程事需要加强数形方面的结合
数学是人们对客观世界定性把握和抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在中学所研究的函数主要是幂函数、指数函数、对数函数和三角函数，对每一类函数都是利用其图象来研究其性质的，作图在教学中显得无比重要。我认为，这一部分的教学要做到学生心中有形，函数图象就相当于佛教教徒心中各种各样的佛像，只要心中有形，函数性质就比较直观，处理问题时就会得心应手。函数观念和数形结合在数列及平面几何中也有广泛的应用。如：函数y=log0.5|x2-x-12|单调区间，令t=|x2-x-12|=|（x-？）2-12.25|，t=0时，x=-3或x=4，知t函数的图象是变形后的抛物线，其对称轴为x=？与x轴的交点是x=-3或x=4并开口向上，其x∈（-3，4）的部分由x轴下方翻转到x轴上方，再考虑对数函数性质即可。
四、教学过程中教师要精心选择和使用例子
教师在例子的使用上要做到匠心独运。例如：教学函数概念时，我根据教材编写意图以及学生的实际，让学生举例后，及时补充了两个例子——“2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股指图”、“某射击运动员打靶的序数与环数对应表”。一个好的例子胜过一千次空洞说教，课堂实践充分说明了这一点。例如：用上述“股指图”，通过讨论得到“从9：30至15：00，每一时刻都有唯一的一个股票指数”，从而让学生明确了如何根据概念作判断：先思考“谁跟着谁变化”而找到“自变量”，再看是否有唯一的数与之对应；通过射击的序数与环数的对应表，让学生知道了表格表示的函数，同时通过对“如果第三次射击时脱靶了，还是函数吗”的讨论，让学生在比较中明确了函数概念的核心──“对应关系”的本质。这样，就在教学中给学生的思考和用概念解释问题建立了一个“参照系”，学生对抽象的函数概念特别是对应关系的理解就变得具体有形了。
五、在教学中要强调启发式教学的地位和作用
中学数学教学方式要强调综合性，该让学生活动的地方教师决不代替，而且要把实质性的概括机会留给学生。例如：具体实例共同特征的概括，就应该让学生完成。但要注意：不讲≠放羊，不是教师无所作为，而是“此时无声胜有声”，是教师通过问题启发、激疑、激思，使学生进入独立思考阶段；同样，讲授≠注入，不是教师胡乱作为，而是启发式讲解，是答疑解惑，而且该讲解的地方要讲准、讲透。例如：函数的定义就应当在学生对具体实例共同特征的概括后，由教师讲解而不必让学生探究，逐步培养学生用概念解释数学对象的能力与习惯。这是促使学生深层次参与课堂教学的有力举措，体现了思维教学的真谛，也是培养学生思维能力的有效途径。
六、转变学生的观念，让学生从思想上重视对概念的学习
数学学习是一个从概念、公理、定理、推论入手，逐步形成数学知识体系，最终运用它们解决具体问题的过程。如果轻视概念的学习，数学的学习就无异于空中楼阁，所以要让学生从思想上重视概念的学习。函数的概念比较抽象，是后续学习的基础。在学法的指导过程中，教师应从学生头脑中已有的函数概念入手，以问题串的形式提出问题，激发学生的求知欲，调动学生的学习兴趣。
七、注重函数概念与信息技术教学的结合
进入高中的学生思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，要掌握分寸。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板，图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
总之，函数的学习是高中数学学习中的重要内容，在函数概念的教学中，教师要做到充分落实新课程改革的理念，通过学生自主学习、同伴互助、主动提出问题、主动解决问题来达到掌握目的；让学生在学习的过程中积极探究、大胆质疑，努力培养学生的创新能力。只有我们教师认真地研究教法和学法，才能转变我们的教法，使学生学得愉快，学得有成效。
1.高中数学概念的特点和重要性
1.1高中数学概念的特点
高中数学与概念能够将事物间的数量关系以及空间属性客观地反映出来。数学概念是数学事物的本质属性，，具有鲜明的概括性，当学生掌握了数学概念就意味着学生对数学知识能从感性概念上升到理性认识。高中概念是具体与抽象性的统一，每个数学概念都是有具体的内容组合而成的。相对于其他学段的数学概念而言，高中阶段的数学概念具有更好的统一性，数学是抽象中的抽象，很多新学习的数学概念都是以原有的数学概念为基础的，并且原有的数学概念会嵌入到新的数学概念中，最终达到高中数学概念的统一性。
1.2高中数学概念学习的重要性
新课程标准强调，在数学学习过程中，学生要熟练掌握数学概念，对数学的基本思想与核心概念有充分地了解，将其融入到数学学习中，从而加深学生对数学知识理解的深度。学生想要学好数学知识，首先要掌握数学概念，这是学习数学基础知识的首要环节。学生数学素养不同主要因为学生对数学概念的理解和应用存在着差异性，而学好数学概念有利于提升学生的数学素养，加深?W生对知识的理解，从而提高高中数学教学质量。
2.高中数学概念的具体教学方法
2.1借助多媒体吸引学生学习，帮助学生理解本质属性
教师在展开数学概念教学时可以适当地借助多媒体设备，因为高中数学概念的抽象性更强。仅通过教师文字讲解不能起到良好的效果，学生依旧很难理解数学相关概念。因此，教师要适当地采用多媒体，利用图片的直观性进行概念讲解，让学生掌握数学概念。如：在讲解抛物线这些知识，教师可以采用多媒体播放篮球、羽毛球以及抛物的运动轨迹给学生看，让学生对抛物线有个更深层次的理解，从而掌握抛物线的概念。
同时，在进行数学概念教学时，教师要让学生明确本质属性，使学生掌握概念的实质意义。如，在学习“函数”概念时，教师可以利用学生先前学过的映射知识点基础上去学习新知识。学生对定义域、值域以及对应的图像与发展进行明确，这些都属于概念的本质属性，函数也存在相同的属性。学生学习数学都要以数学概念为基础，如：对实数集进行判断时，y=，实际上x=0时没有确定的y值对应，这和映射概念中的x可以去任意值不相符，因此，该函数表达式不属于实数范围内，通过这样的方式能有效地掌握数学概念本质属性。帮助学生更好地掌握数学概念。
2.2引导学生认清数学概念中的逻辑关系
在数学教学过程中，教师进行数学概念讲解主要通过知识间的联系性帮助学生理解知识。数学概念不仅有具体的联系，其内部还存在着逻辑关系，所以，教师在讲解数学概念时要善于掌握数学知识间的内在联系，遵循由易到难的讲课顺序，如果，教师一开始就讲解较难的数学概念，学生理解起来会比较困难，会打击学生学习的积极性。因此，教师在讲解数学概念时，要抓住数学概念的内在联系性，由易到难讲解。如：在讲解“等比数列”知识点时，等比数列与等差数列存在着联系，教师可以先复习等差数列，然后引入等比数列概念教学。通过两者之间的比较与联系，加深学生对两个概念的印象。
2.3使学生能够准确地理解数学概念的内涵
一、深刻认识函数在中学数学教学中经历的三个阶段
第一阶段：在初中初步讨论函数概念、函数的表示方法以及函数图像的绘制等等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数。研究这些函数的概念、性质，用描点法作相应图像。
第二阶段：新教材第二章“函数”和第四章“三角函数”的内容的教学。也就是函数概念的再认识阶段即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，并进一步研究函数的性质。在此基础上研究指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图像、性质，从而使学生获得较系统的函数知识，同时进一步加强培养学生对函数的应用意识。
第三阶段：高中三年级数学选修Ⅰ中的极限、导数或选修Ⅱ中的极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，为大学学习做好预备。
二、采用适当的方法激发学生的学习兴趣
教学中，笔者首先从学生熟悉的函数入手，引出函数传统定义，然后引导学生利用映射给出函数现代定义。尽量不让学生由于陌生而产生对新概念的恐惧。接着在进行两个概念的比较的时候又依托具体例子，化抽象为具体，较好地解决了这一问题。
教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，笔者采用如下的教学方法：
（1）比较法：通过初中的函数的概念和高中阶段的函数的概念进行比较，初中的概念是强调了两个变量之间的对应关系，而高中的概念强调了函数的三要素构成了函数这个整体，深入地理解函数概念的本质；其次是比较映射的概念和函数的概念，其中的区别：函数强调“变量的值”。映射中的A与B在集合中被强调是数集，其中的联系：“对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应”与“对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应”具有类似的结构。比较f(x)与f(a)之间的区别，f(x)是变量，而f(a)是常量。
（2）列举法：对函数内容的学习是初中函数内容的深化和延伸．深化首先体现在函数的定义更具一般性。故教学中可以让学生举出自己熟悉的函数例子，并用变量观点加以解释，如给出： 是不是函数的问题，用变量定义解释显得很勉强，而如果从集合与映射的观点来解释就十分自然，所以有重新认识函数的必要。
三、把握好函数的教学要求避免难偏怪
学习是一个不断深化的过程，作为高一上期学习的内容，函数的概念要理解透彻并非一朝一夕的事，要充分考虑到学生从初中进入高中不久的事实，设计函数课的教学过程必须由浅入深，学生在不断地学习中加深对函数概念的理解，跨度不能太大，应着力于打好基础，并进行逐步的综合训练，在后继学习中，通过对函数的应用来获得巩固和提高，逐步提高数学能力。知识可以一步到位，能力是逐步到位。
例如：在引进集合和映射等概念后，我们就可明确给学生定义什么是函数了。并由此定义函数的定义域、值域等概念，其中定义域、对应关系、值域是函数三大要素。如何求函数定义域（重点）？如何求函数值域（难点、非重点）？如何判定两个函数是相同函数（重点）？等大量问题对学生是一新的问题。如果这里多讲、重讲如何求函数值域，就是偏难。这就需要我们在实际教学中把握一个“度”。
函数通常用符号y=f(x)表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：
y=f(x)是表示y是x的函数，不是表示y等于f与x的乘积；
f(x)不一定是一个解析式；
