专题复习课如何设计，才能达到使学生能把各个章节中的知识联系起来，提高综合运用知识的能力？
如何通过复习课，促进数学思想的形成和数学方法的掌握，培养学生的数学能力，使学生从容应付中考？
1.选好例题，选题要思考，不能以多取胜，搞题海战术
（1）有什么用？――认清功能。
（2）用来干什么？――认清目的。
（3）是否适合学生的水平？――从实际出发。
2.用好例题，用好变式
设计变式型问题（一题多解，多题一解，采用题组的形式一题多变）――提高学生应变思维能力。
陈题新讲――将其变化延伸，拓展学生思维，于旧题中挖出新意。
深题浅讲――找准突破口，巧妙降低难度，将大题化小，深题化浅。
要精讲精练，懂一题，懂一类，悟其妙。
3.课堂中贯穿着对学生的关爱
教给他们良好的做题素质：对新题、应用题、综合题等不要怕，用一颗平常心对待。平常做这些题时，要敢于去碰、敢于去试。
教给学生做题后反思的习惯：不管自己独立解决问题是否成功，每做完一道有思考性的题目后，都要反思总结，这样就会做一题，得一题；当获得了反思总结的经验后，做完一道题后再进行反思，有可能会做一题，得一题，得一法，懂一类。
下面探讨开放性题型和探索性题型的复习课：
一、开放性题型特点
按照条件与结论的开放性，可分为三种类型：
（1）条件开放性题型：往往已知部分、已知条件和一个完整的结论，要求解题者根据这部分条件与完整的结论，将缺少的条件找出来，当然这些缺少的条件通常不是唯一的。
（2）结论开放性题型：已知条件已经完全给定，但Y论没有给出，要求解题者由这些已知条件，通过推理的方式，得出若干种正确的结果，这些结果往往有多个，甚至无穷多个。
（3）条件与结论放题型：给出了部分已知条件，同时也允许解题者按照要求添加若干条件，并根据题目已经给出的条件和添加的条件，推导出带有个性色彩的结论。
二、探索性题型特点
问题的解决不是按照某个固定的、明确的程序，使用某种技能就能完成的；思考问题的方向不是很明确，解决问题的路线不是很清晰的，通常要经历一定的尝试与试误过程；探索性活动是有个性化的数学活动，不同的人往往有不同的表现和不同的成果。
可分为四类：条件探索、结论探索、存在性探索、规律性探索。
三、开放性题型与探索性题型的关系
开放性题型是从答案的形式来界定的，而探索性题型是从思维的层面上来说的，两者的关系如图1所示，有部分兼容性。
首先，介绍开放性题型和探索性题型两种专题的特点以及关系。
例1 如图1，在RtABC中，CD为AB边上的中线，若将ABC沿CD对折，你能添加一个条件使四边形EBCD为菱形吗？请说明理由。
解：添加_______。理由：_____________。
点评：这是一道条件开放题，添加的条件①∠A=30°，②AB=2BC③ECAB，④∠ABC=2∠A，⑤CD=BC，⑥∠CDB=∠ABC等。
其次，从添加的条件出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
变式：已知条件不变，设问变为：当∠A满足什么条件时，四边形EBCD为菱形？请说明理由。
此题变为条件探索题。先回答∠A=30°时，四边形EBCD为菱形。再从∠A=30°出发，经过推理论证，得到四边形EBCD为菱形。
通过变式的设计说清了条件开放题和条件探索题的不同之处：条件开放题中缺少的条件通常不是唯一的；条件探索题中缺少的条件往往带有唯一性。
例2 如图2，点B为线段AD上一点，AB=2BD，分别以线段AB、BD向外作等边三角形ABF和等边三角形BDE，O是ABF的外接圆，联结FE交O于点N，交AD的延长线于点M。
（1）直线BE与O有何位置关系？并说明你的理由。
（2）除（1）的结论外，另外写出三个至少经过两步推理得出的不同类型的结论（不要求证明）。
点评：第（1）问是结论探索题，第（2）问是结论开放题。不同类型是指写了线段相等，就不要再写其他线段相等，在线段的数量关系、位置关系、两角的关系等中，写了其中一个量，就不要再写同一类型的其他量了。还要注意至少经过两步推理这句话。从线段之间的关系得：①AF∥BE，②BEFM，③BD=DM，④BM=2DE，⑤AF2=FN・FM，⑥BE2+EF2=BF2，从角度之间的关系得：⑦∠M=∠DEM，⑧∠M=30°。
四、结论
（1）在例2的两个小问上设计了结论探索题和结论开放题，通过比较区分两者的不同：结论探索题的结果通常具有唯一性；结论开放题的结果往往有多个，甚至无穷多个。
（2）设计比较型问题，在求同求异比较中整合学生知识。通过比较，能把相关概念串联起来形成知识链。
近年来各地中考命题中都有把开放与探索题作为热点问题之一进行命题，这与课标总体目标是相吻合的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》总体目标中明确提出：（1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；（2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。而开放探索性问题是相对传统的“已知――求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭型试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出。常见的开放探索题有：（1）探索、补充条件；（2）探索、确定结论；（3）探索存在性；（4）有关方案设计与动手操作的题目。
一、条件开放的探索
此题型命题规律是给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件不唯一，这样的问题是条件开放性问题。一般解决这样的问题的思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。
例1.（集美区某年中考一模试卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是BD上的点，连结AE、CF。
（1）请添加一个条件：_______（注：不增加新的字母或辅助线）使得ABE≌CDF，并加以证明。
（2）判断题命题“如果OE=OF，BD=12，那么点E是ABC的重心”是否正确？若正确请说明理由；若不正确，请举出一个反例。
分析：（1）题是条件开放，要立足所论证的结论，来引导学生从平行四边形的性质出发，结合全等的判定探索需要添加的条件，如：BE=DF，∠AEB=∠CFD等条件，可得到ABE≌CDF。
（2）把握三角形重心的定义，通过学生观察、探究找到特殊值。如：当EO=3时，BE=EO=3，E就不为ABC的重心。
二、结论开放的探索
此题型命题规律是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者检验结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探索者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和应用所学基础知识的能力。解决这类问题的一般思想是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果、顺向推理或联想类比猜测等，从而获得所求的结论。
例2.（2012贵州遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D.
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由。
分析：这是一个动态问题，（2）小题结论开放。很多学生望而却步，所以要鼓励学生遵循“动中有静、以静制动”的变化规律。先充分利用好已有的数学知识和数学方法――等边三角形的性质、直角三角形中30°角的特殊性，来解决第（1）题中的AP在特殊情况下的值。然后通过几个特殊值，如AP为1、2时，让学生探索（2）小题的结论，猜测出当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。教师在点拨学生作垂线QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE、PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APE≌BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=■AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
三、条件与结论都开放的探索
此题型命题规律是没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，这就要鼓励学生通过自己的观察和比较，将已知的信息按一定的规律有序排列进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。
例3.某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只能看到如下字样：
“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为35km/h，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染无法辨认的文字）”，请你将这道题补充完整，并列方程解答。
分析：本题也要仔细阅读题目中的已知部分，理解题目的意思，领会命题者的意图，结合问题情境，进行合理补充，然后解答，条件与结论不唯一。由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间。若补充为相遇问题：摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后相遇？设经过x小时摩托车与汽车相遇，列出方程：（45+35）x=40，x=0.5；也可补充为追击问题：摩托车在甲地，汽车在乙地，汽车在甲、乙两地所在的直线上背对甲地出发，摩托车同时从甲地出发追赶，问经过多少小时能追上汽车？可设经过x小时追上汽车，列出方程：（45-35）x=40，x=4。
四、有关方案设计与动手操作的题目
此题型命题规律是题目中给出一个实际生活中能够遇到的问题，而解决问题的方法、策略是不唯一的，要求学生在题目要求的条件下，通过有序的表达形式，设计一个方案解决这个实际问题。解答这类题目的关键，在于平时数学思考和问题解决能力的培养和训练。
例4.某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给四位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中画图，保留画图痕迹，不写画法）。
分析：此题可获取以下主要信息：
（1）师生先通过三角形一边的中线可把三角形分成面积相等的两个三角形，帮助学生提出解决问题的策略。
（2）经观察、探究，让学生发现和提出一般性的问题，等底（同高）等高的两个三角形面积相等，再有规律地通过各个边的中点来划分面积相等的四等分三角形的各种情况。
现根据上述分析，结合题意，给出以下几种代表性的四类划分供参考。
这类开放型问题主要分为经济类和图形操作类，所涉及的知识点主要有方程（组）、不等式（组）、一次函数在一定范围内比较大小、二次函数的最值、作图、图形的割补等较广泛的问题。这类问题的难度主要不在数学知识本身，而在数学知识的灵活运用，在于教师根据学生思维层次设计问题层次，使不同层次学生都参与到数学思考和问题解决的过程中来，让他们都能获得数学思考和问题解决的成功体验。
参考文献：
主要特点：开放型试题的特征很多，如条件的不确定性，它是开放题的前提；结果的多样性，它是开放题的目标：思维的多向性，它是开放题的实质；解答的层次性，它是开放题的表象；过程的探究性，它是开放题的途径：知识的综合性，它是开放题的深化.
基本类型：规律探索型、条件开放型、结论开放型、条件与结论都开放型、解题策略的开放、探索存在型等.
重点题型例析
一。规律探索型
规律探索型试题就是在一定的条件状态下，要求我们去探索发现有关数学对象所具有的规律性的题目.
例1 （2014.娄底）如图1是一组有规律的图案，第1个图案由4个组成，第2个图案由7个组成，第3个图案由10个组成，第4个图案由13个组成，…，则第n（n，为正整数）个图案由____个组成.
分析：仔细观察图形，结合图案每条“边”上的的个数与图形的序列数之间的关系发现图形的变化规律，利用发现的规律求解即可.
解：观察发现：第一个图形有（3x2-3+1）=4（个），第二个图形有（3x3-3+1）=7（个），第三个图形有（3x4-3+1） =10（个），…，第n个图形有[3（n，+l）-3+1] =3n+1（个）.故答案为3 n，+l.
反思：对于找规律的题目应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，图形的变化过程中往往蕴涵着数字变化，所以本题既可从图形的变化过程中寻找规律，也可从图形数字变化过程中寻找规律.
二、条件探索型
条件开放探索题是指结论给定，条件未知或不全，或满足结论的条件不唯一，需探求与结论相对应的条件.解答这类问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求.
例2 （2014.巴中）如图2，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF
（1）请你添加一个条件，使得BEH≌CFH，你添加的条件是____，并证明.
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由.
分析（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当
三、结论探索型
给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性.要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基础知识的应用能力.解决此类问题的一般思路是：从剖析题意人手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等得到结论.
例3 （2014.淄博）如图3，四边形ABCD中，ACBD交BD于点E，点F，M分别是AB.BC懿中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB=A C=BD.连接MF ，NF.
（1）判断BMN的形状，并证明你的结论.
（2）判断MFN与BDC之间的关系，并说明理由.
分析：（1）根据等腰三角形的性质，可得AM是高线、顶角的平分线，根据直角三角形的性质，可得∠EA B+∠EBA =90。，根据三角形外角的性质，可得答案.（2）根据i角形中位线的性质，可得MF与AC的关系：根据等量代换，可得MF与BD的关系；根据等腰直角三角形，可得BM与NM的关系；根据等量代换，可得NM与BC的关系；根据同角的余角相等，可得∠CBD与∠NMF的关系；根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案.
解：（1）BMN是等腰直角三角形，
证明：因AB=AC，点M是BC的中点，故AMBC，AM平分∠BAC.
条件探索型题，是指给出问题的结论，但没有给出或部分给出题目的条件，要求给出或补充使问题结论成立的条件.解这类题采取的策略是执果索因，首先要从结论出发，考虑结论成立时所要满足的条件，从而得到答案.
例1 如图1所示，已知CEAB，DFAB，点E、F分别为垂足，且AC∥BD.请补充一个条件，使这两个三角形全等，并给出证明.
图1
分析： 根据三角形全等的定义及判定，可知题中没有对应边相等，因此可补充一组对应边相等.
解：补充一个条件：AC=BD（或AE=BF或CE=DF或AF=BE），可使CEA≌BDF.下面以AC=BD为例证明如下：
因为CEAB， DFAB，
所以∠CEA=∠DFB=90°.
因为AC∥BD，所以∠A=∠B.
又因为AC=BD，
所以ACE≌BDF（AAS）.
评注：解条件探索型的问题，采用的是“逆向思维”的方法，解此类问题需要同学们有扎实的基本功及灵活处理问题的能力.
二、结论探索型
结论探索型题，这类问题的基本特征是给出条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解这类问题通常先假定其结论存在，再进行计算、推理，若能推导出符合条件的结论，则表示结论存在；若推出矛盾的结果，则结论就不存在.
例2 用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时，如图2-1所示，通过观察或测量BE、CF的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时，如图2-2所示，你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
分析： （1）根据题意可得ABE≌ACF，因此BE=CF；（2）可用理由（1）的方法证明.
解：（1）BE=CF.
证明：在ABE和ACF中，
因为∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
所以∠BAE=∠CAF.
因为AB=AC，∠B=∠ACF=60°，
所以ABE≌ACF（ASA）.所以BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立.
根据三角形全等的判定定理，同样可以证明ABE≌ACF.BE和CF是它们的对应边，所以BE=CF.
评注： 本题要求在三角尺的位置变化中，悟出其内在的变化规律，作出猜想并加以证明，对思维能力要求较高，突出了对探索、归纳、推理能力的考查.
三、规律探索型
规律探索型题是指在一定条件下，需探索发现有关对象所具有的规律性或不变性的问题，其解决问题的方法是通过观察、归纳、类比、分析等思维方法，概括出具有一般性的规律或结论，然后给出证明.
例3 如图3-1，ABC是正三角形，BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.
探究：（1）线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.
（2）若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探索线段BM、MN、NC之间的关系.在图3-2中画出图形，并说明理由.
图3-2
分析：（1）根据题意，分析、观察，寻找三者的等量关系，可得BM+NC=MN.
（2）根据题意，可以把点M、N特殊化，探讨BM、MN、NC之间的关系.
解：（1）BM+CN=MN.
证明：如图3-1所示，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1.
因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
所以∠ABD=∠ACD=∠DCM1=90°.
因为BD=CD，
所以RtBDM≌RtCDM1.
所以∠MDB=∠CDM1，DM=DM1.
所以∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠CDM1=120°.
又因为∠MDN=60°，所以∠M1DN=∠MDN=60°.又DN=ND，所以MDN≌M1DN.所以MN=NM1=NC+CM1=BM+NC.
（2）NC-BM=MN.
证明：如图3-2所示，在CN上截取CM1=BM，连接DM1.
因为∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°.
所以∠DBM=∠DCM1=90°.
因为BD=CD，
所以RtBDM≌RtCDM1.
所以∠BDM=∠CDM1，DM=DM1.
因为∠BDM+∠BDN=60°，
所以∠CDM1+∠BDN=60°.
所以∠M1DN=∠BDC-（∠CDM1+∠BDN）=120°-60°=60°.
所以∠M1DN=∠MDN.
因为ND=ND，所以MDN≌M1DN.
所以MN=NM1=NC-CM1=NC-BM.
评注：解规律探索型题，可以根据题意把问题特殊化，得到结论后，再证明结果的正确性.当然，这样得到的结果也有可能是错误的.另外，本题中的问题（1）是为问题（2）作铺垫，提供解题的方向，而探索、猜想、得出结论才是题目的重点和难点.因此，要正确地审题、分析、归纳，然后探索出结果.
四、存在探索型
存在探索型题，一般是在确定的条件下判断某个数学对象是否存在.解决这类问题的策略是先假设需要探索的对象存在，从条件和假设出发进行运算、推理，若出现矛盾，则否定存在；如果不出现矛盾，则肯定存在.
例4 如图4所示，DE是ABC的中位线，AF∥BC，在射线AF上是否存在点G使EGA与ADE全等？若存在，请先确定点G，再证明这两个三角形全等；若不存在，请说明理由.
分析：由于DE是ABC的中位线，可得∠EAG=∠AED.过点E作AB的平行线，交AF于点G，可得∠AEG=∠EAD.从而可得EGA≌ADE.
解：存在.
过点E作AB的平行线，交AF于点G.
因为DE是ABC的中位线，
所以DE∥BC.
又因为AF∥BC，所以DE∥AF.
所以∠EAG=∠AED.
前苏联教育家普捷洛夫说过，创造想象的最大创造，永远产生于情境之中，而悬念是触发激情和热情的情境之一。悬念设于课堂开始则必然成为整个课堂的中心；悬念设于课堂末尾则必然是下一个中心的预告。当然，悬念不可设计过多，过多则形成了多个中心，使情境分散，也就达不到激趣的目的了。悬念设置于课堂开始，目的在于尽快集中学生的注意力，激发求知欲望，使之产生非知不可之感。比如在复习“函数”一章时，就先设问函数和映射的异同在何处？平时解题中你都注意过函数的哪些性质？这时学生便开始积极地思索而后解答，于是就呈现出一定要把问题探个究竟的热烈场面，求知的热情油然而生。又如，在平时，讲过一个题的基本解法后，我会趁机问这种方法是不是太繁琐，还有没有别的简单一点的解法。其实，悬念往往只是一句带有性的问话而已。但善教者会灵活多变，能使同学们玩味无穷；甚至有时候，不经意的一问，便可使学生打开思路，找出多种解法。若悬念设于课堂结尾，则能起到“欲知后事如何，且听下回分解”的魅力，使学生感到这堂课回味无穷，进而激发他们继续学习的热情。
二、创设实验情境
高中数学教学应鼓励学生用数学去解决问题，甚至去探索一些数学本身的问题。教学中，教师不仅要培养学生严谨的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要培养学生数学建模能力与数据处理能力，加强在“用数学”方面的教育。最好的方式就是用多媒体电脑和诸如《几何画板》、《几何画王》、《几何专家》、《数学实验室》等工具软件，为学生创设数学实验情境。例如，在上“棱柱和异面直线”一课时，我指导学生用硬纸制作“长方体”和“正三棱柱”等模型，并用《几何画板》设计并创作“长方体中的异面直线”课件，引导学生利用自己制作的“长方体”模型和上述课件，思考以下问题：长方体中所有体对角线（4条）与所有面对角线（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有体对角线（4条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有棱（12条）之间相互组成多少对异面直线？长方体所有面对角线（12条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有面对角线（12条）之间相互组成多少对异面直线？然后由学生独立进行数学实验，探讨上述问题。教师根据数学思想发展脉络，充分利用实验手段尤其是运用现代教育技术，创设教学实验情景、设计系列问题、增加辅助环节，有助于引导学生通过操作、实践，探索数学定理的证明和数学问题的解决方法，让学生亲自体验数学建模过程，培养学生的数学创新能力和实践能力，提高数学素养。
中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02
通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.
开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：
1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.
例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .
分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.
解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.
2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.
例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面A1B1C1满足什么条件时，有AB1BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
分析：把结论AB1BC1看作已知条件.
解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1CBC1，因此，要AB1BC1，则只要BC1平面AB1C，即只要ACBC1，有直三棱柱可知，只要ACBC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1B1C1即可.
3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.
例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.
分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.
解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2
4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.
例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.
分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.
解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：
f（1）=1+b+c
由（1）+（3）得-11
5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.
一、教学背景分析
1.教材结构分析。
“两直线的位置关系”安排在《全日制普通高级中学教科书(必修)数学》第二册(上)第七章第3节第一课时。主要内容是两直线平行与垂直条件的推导和公式的应用,从初中平面解析几何中平行和垂直的定性过渡到高中解析几何的定量计算。它是学生在研究了直线倾斜角、斜率、直线方程的基础上学习的又一平面解析几何的基础知识。本节的研究,将直接影响以后的曲线方程、导数、微分等的进一步学习,贯穿于高中教学的始终,具有承上启下的作用。
2.学情分析。
两条直线位置关系的探究是学生在已经掌握了三角函数、平面向量的基础上进行的。说明学生已具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力。但由于学生接触平面解析几何的时间还不长,学习程度较浅,特别是处理抽象问题的能力还有待提高,在学习过程中可能会出现困难,因此,教师要在今后的教学滚动中逐步深化,使之和学生的知识结构同步发展完善。
3.教学目标。
(1)知识和技能目标。
①理解两条直线平行与垂直充要条件的推导、公式及应用。
②能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(2)过程与方法目标。
①通过探索两条直线平行或垂直的充要条件和推导过程,培养学生“会观察”、“敢归纳”、“善建构”的逻辑思维能力,渗透算法的思想。
②通过灵活运用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力。
(3)情感态度和价值目标。
徐利治先生曾指出:“数学教育与数学教学的目标之一,应当让学生获得对数学美的审美能力,从而既有利于激发他们对数学科学的爱好,又有助于增长他们的创造发明能力。”因此,培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣即成为本节的情感目标。
4.教学重点与难点。
根据学生现状、教学目标及教材内容分析,确立本节课的教学重点为两条直线垂直和平行的条件。一个定理、公式的运用固然重要,但更重要的是要充分挖掘吸收定理公式推导过程中所蕴含的数学思想与方法,通过启发学生用平行线同位角关系的判定、性质定理,以及倾斜角、斜率的对应关系探求两直线平行与垂直的充要条件,引导学生理清思考脉络,培养学生勤于动脑、勇于探索的精神。
教学难点为两直线平行与垂直问题转化为与两直线斜率的关系问题。突破难点的关键是在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略,利用类比归纳的思想,由浅入深,让学生自主探究,分析发现两直线平行、垂直的规律。
二、教法学法分析
1.教法分析。
基于本节通过引导学生了解数形结合数学方法,我采用合作探究式教学法及类比发现式教学模式,对数学知识结构进行创造性的“教学加工”,将教材中单一、静态的数学知识转化为学生多样、动态的思考。我用环环相扣的问题将探究活动层层深入,使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”,促进学生和谐、自主、个性化发展。
2.学法分析。
我让学生通过观察直线方程的特点,将初中学过的两直线平行和垂直的判定定理和性质转化成坐标系中的语言,用斜率重新刻画有关条件;并启发学生用平面几何中平行线与同位角关系的判定定理和性质定理,以及倾斜角与斜率的对应关系,由学生自己得出两条直线平行和垂直的充要条件,使学生在思维训练的过程中,感受数学知识的魅力,成为学习的主人。
三、教学过程与设计
教学手段:几何画板、计算机课件辅助教学。
1.复习旧知,以旧悟新。
(1)复习初中的平面几何知识。
(2)自问自答:为什么我们现在又要来学习两条直线的位置关系呢?因为我们现在学习了平面解析几何,所以就可以在直角坐标系中把直线的方程建立起来。也就是说在前面引入了斜率、点斜式、斜截式等概念后,我们就能够用代数的方法来讨论一些几何的问题,所以,怎样通过两直线方程的特点来判断两直线平行与垂直的位置关系呢?这就是我们这节课讨论问题的主要任务。
目的:我通过对已有知识的回顾和深入分析,以问题制造悬念、带着问题走进课堂,让学生主动去探究问题,体验知识发生发展的过程。
2.提出问题,寻找规律。
第一部分为新知的发现奠定基础后,我分别给出两组平行的直线,让学生自己做图,然后在自主合作的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述。我利用几何画板工具引导学生观察同位角、倾斜角、斜率的对应关系,引导中既说明了平行条件的证明,又回避了教材中单独的、枯燥的证明,然后巧妙地加以引导、点拨,放大到两条直线垂直关系的探究上。
目的:由特殊到一般,由具体到抽象,由低级到高级的认知顺序引出平行的充要条件,学生比较容易接受,同时激发学生发现平行充要条件的强烈欲望。
3.深入探究,获得新知。
(1)创设问题:平行的时候,学生能够把直线的平行转化为讨论直线方程的斜率来判定,同样的我们能否用斜率来讨论两直线的垂直关系呢?
(2)分别给出两组垂直的直线,让学生自己作图、发现规律。在讨论中提醒学生:若两直线的斜率存在,他们之间有何关系?用量角器或三角形来量一下画出的图形的夹角有什么特点?
(3)根据高二年级学生的学习状况和认知规律,我给出几组直线的数据让学生利用其发现的规律来验证,将教学信息及时反馈给教师。
(4)教师教学讲究深入浅出,对于本课的教学难点,待学生发现了规律后引导其利用向量知识来证明,让学生达到从感性认识上升到理性认识的平衡。
目的:现代教学论指出:“教学是师生的多边活动,在教师的‘反馈―控制’的同时,每个学生也都在进行着微观的‘反馈―控制’。”因此,教师要及时掌握学生接受知识的程度,从而进行有效调控。对平行和垂直的讨论中,我鼓励学生将其讨论的结果以分享的方式和大家交流,构造这样一种双向交流、宽松的环境组织教学,既锻炼他们的表达能力,又培养他们的数学思维能力。
4.应用举例,巩固提高。
我通过例题来进一步巩固达到讲与练的平衡,引导讨论,质疑解惑,在开放的情景中推进教学过程,在点评聚焦中形成知识要义。选的例题难度控制在大部分学生能接受的范围,分析各组题时让学生先养成找出平行与垂直充要条件的习惯,以突破学习难点。
5.总结反馈,拓展引申。
讲评结束时为加深对数学本质的理解,我让学生反思,概括出本堂课的学习内容:平行与垂直的条件;应注意哪些问题;怎样根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
以上就是我对本节课的教学设计。新理念下高中数学课堂教学的探索是一个长期的过程,充分挖掘数学的应用价值、思维价值和人文价值,需要我们不断创新,与时俱进。
参考文献:
[1]张健.数学课堂教学改革的基本要义[J].中学数学教学参考,2008,(3):7-12.
【考题精讲】
1. 答案开放型
这类问题的特点是答案不惟一，要求考生在给定条件下写出一个或几个满足条件的答案.解决的关键是充分理解已知条件，注意点是题目要求填写几个就填写几个，不要多填.
例1. 试写出定义域和值域相同的三个幂函数：___________.
解析：答案不惟一，如y=x3，y=[x][]，y=x-1等等.
点评：本题主要考查了考生对幂函数定义和性质的理解，属于答案开放性问题，要求考生对数学概念、定理、公式、法则和性质等有清晰、完整的理解和掌握.如写出定义域和值域相同的函数，就更多了，如y=kx（k≠0），y=（k≠0），y=kx+b（k≠0）等等.
2. 规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.
例2. 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）= ；f（n）= .（答案用数字或n的解析式表示）
解析：所有顶点确定的直线共有n+=条.
f（4）表示四棱锥中异面直线的对数，每条棱与底面上边和对角线共有3对，故共形成3×4=12对.
一条侧棱与底面上（n-2）条边异面，又与[Cn-1][2]-（n-1）+1条面对角线异面，[Cn-1][2]-n+2+n-2=[Cn-1][2]=，再乘以n即可得到f（n）=.
点评：本题主要考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用，考查考生观察、归纳、猜想和推理的逻辑思维能力，属于规律探究型试题.需要考生先从特殊情形入手，然后得出一般结论，其中用到组合知识.
3. 条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.
例3. 设函数f（x）=sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是 .
解析：f（x+t）=sin2（x+t）=sin（2x+2t）.又f（x+t）是偶函数， f（x+t）=f（-x+t）即sin（2x+2t）=sin（-2x+2t）.由此可得2x+2t=-2x+2t+2kπ或2x+t=π-（-2x+2t）+2kπ（k∈Z），t=π（k∈Z）.
点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求考生变换思维方向，有利于培养考生的逆向思维能力.
例4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使抛物线方程为y2=10x的条件是
（要求填写适合条件的序号）.
解析：当抛物线方程为y2=10x时，焦点为F（，0），在x轴上，通径为10，横坐标为1的点（1，±）到焦点的距离等于该点到准线x=-的距离，即1+=，以OF为直径的圆方程为（x-）2+y2=（）2，点（2，1）在此圆上.故与给出的五个条件比较，只有条件②和⑤与抛物线方程为y2=10x相容.由于只有②或⑤都不能保证抛物线方程为y2=10x，所以②⑤合起来必可保证抛物线为y2=10x，否则本题无解.因此填②⑤.
本题还有一种解法如下：
对于顶点在原点的抛物线，当分别满足①—⑤各条件时，其方程是否可以写成y2=10x，讨论如下：
满足①时，方程不可能是y2=10x；
满足②时，方程的形式为y2=2px（p≠0），当p=5时，即为y2=10x；
满足③时，方程不可能是y2=10x，这是因为抛物线y2=10x上的横坐标为1的点（1，±）到焦点F（，0）的距离为d==≠6；
满足④时，方程不可能是y2=10x，这是因为抛物线的通径长为10≠5；
满足⑤时，方程可能写成y2=10x，这是因为抛物线y2=10x的焦点为F（，0），所以以（2，1）分别与原点O和F的连线的斜率为kRO=2，kRF=-，于是由kRO·kRF=-1知过原点作直线y=-（x-）的垂线，垂足为点P（2，1）.
进一步可得：当条件②⑤同时成立时，抛物线方程一定可以写成y2=10x.这是因为过点（2，1）且与OR垂直的直线方程为（y-1）（0-1）+（x-2）（0-2），即2x+y=5.因此，当条件⑤满足时，抛物线的焦点在此直线上.从而当②也满足时，抛物线的焦点坐标满足方程组2x+y=5，
y=0，解得焦点的坐标为（，0）.又因为抛物线的顶点在原点，所以得抛物线的方程为y2=10x.
点评：本题主要考查抛物线的基本知识和基本的逻辑判断技巧.试题的陈述稍长，设问的方式也比较新颖，要求考生必须仔细阅读，正确理解题意，稍微不慎，就会产生错误.题目本质是在寻找结论成立的充分条件，解答时应从必要性入手即可解决.
4. 结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.
例5. 在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N?），其中λ>0.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{an}的n前项和Sn.
解析：（Ⅰ）法1：a2=2λ+λ2+（2-λ）2=λ2+22，
a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）22=2λ3+23，
a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）23=3λ4+24.
由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.以下用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，a1=2，等式成立.
（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λa1+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k+1）-1]λk+1+2k+1.
这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2）可知，等式an=（n-1）λn+2n对任何n∈N?都成立.
法2：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N?），λ>0，可得-（）n+1=-（）n+1，所以
-（
）n为等差数列，其公差为1，首项为0，故-（）n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.
（Ⅱ）设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+（n-2）λn-1+（n-1）λn， ①
λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+（n-2）λn+（n-1）λn+1，②
当λ≠1时，①式减去②式，
得（1-λ）Tn=λ2+λ3+…+λn-（n-1）λn+1=-（n-1）λn+1，
Tn=-=.
这时数列{an}的前n项和Sn=+2n+1-2.
当λ=1时，Tn=.这时数列{an}的前n项和Sn=+2n+1-2.
点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.尤其第（Ⅰ）小题，方法1是先从特殊情形入手，通过观察、对比和分析，探索出一个待定结论，然后再利用严格的数学证明，即数学归纳法来证明.这样的题目在高考中经常出现.方法2尽管看起来简单，但不易想出.对第（Ⅱ）题来说，用常见的错位相减法求和.
5. 条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的求解的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题.此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要类比、联想等手段.一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求.应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力.
例6. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①mn ②αβ ③nβ ④mα
以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .
解析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证.依题意可得以下四个命题：
（1）mn，αβ，nβ?mα；
（2）mn，αβ，mα?nβ；
（3）mα，nβ，mα?αβ；
（4）αβ，nβ，mα?mn.
不难发现，命题（3）（4）为真命题，而命题（1）（2）为假命题，故填上命题（3）或（4）.
点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的.
6. 存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
例7. 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.
（I）求k的取值范围；
（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.
解析：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程得+（kx+）2=1，
整理得（+k2）x2+2kx+1=0. ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，
解得k，即k的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）.
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），
由方程①，x1+x2=-. ②
又y1+y2=k（x1+x2）+2. ③
而A（，0），B（0，1），=（-，1），所以+与共线等价于x1+x2=-（y1+y2），
将②③代入上式，解得k=.由（Ⅰ）知k，故没有符合题意的常数k.
点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系及向量共线的条件，考查运算能力及利用所学知识与方法解决问题的能力.“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行；“不存在”就是没有，找不到.这类问题常用反证法加以认证.“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由，这类问题常用“肯定顺推”.
【新题解读】
例8. 已知f（x）、g（x）都是定义域内的非奇非偶函数，而f（x）·g（x）是偶函数，写出满足条件的一组函数，f（x）= ；g（x）= .
解析：由于f（x），g（x）都是定义域内的非奇非偶函数，且f（x）·g（x）是偶函数，所以取f（x）=x-1，g（x）=x+1均为非奇非偶函数，但f（x）·g（x）=x2-1却是偶函数.
点评：本题是一道答案开放性试题，答案不惟一. 再如f（x）=，g（x）=；f（x）=2x-1，g（x）=2x+1等都符合题设条件.
例9. 已知平面α、β，直线l?α，且l?β，在以下3个关系：l∥β；lα；αβ中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题为 （用文字语言表达，不得出现字母及符号）.
解析：先按要求构成命题，再判断命题的真假，把其中真命题用文字语言叙述出来即可.
由l∥β；lα；αβ可构成如下三个命题：
①lβ，
lα?αβ；②lβ，
αβ?lα；③lα，
αβ?lβ.
其中①是真命题，因为l∥β，所以β内存在直线a′，使得a′∥l，又lα，所以a′α，故有αβ.用文字语言叙述为：如果一条直线与一个平面平行，又与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直.
类似地，③也是正确的，用文字叙述为：如果两个平面外的一条直线垂直于这两个互相垂直平面的一个，则它与另一个平面平行.
②是错误的.
点评：本题是一个条件重组型试题，考查线线、线面、面面的平行和垂直的判定及性质，考查数学符号语言和文字语言的转换.
例10. 在研究复数性质时规定：如果对n个复数a1，a2，…，an，存在不全为零的n个实数k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，那么a1，a2，…，an叫做“线性相关”，依次规定，请判断三个复数1，-i，2+2i是否“线性相关”？若“线性相关”，请给出一组实数（k1，k2，k3）= （给出一组即可）.
解析：根据线性相关的定义，假设1，-i，2+2i是线性相关，那么存在不全为零的3个实数k1，k2，k3，使得k1-k2i+k3（2+2i）=0?（k1+2k3）+（2-k2）i=0，所以，k1+2k3=0，
2-k2=0?k1=-2k3，
k2=2，取k3=1，则符合题意的一组实数（k1，k2，k3）=（-2，2，1）.
点评：本题答案显然有无数组，只要满足k1=-2k3，
k2=2即可.同时又是是否存在性问题，一般假设满足条件，然后进行推理即可.
【跟踪训练】
1. 已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，->0，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：ab（-）=bc-ad，组成的三个命题都是正确的，故选C.
2. 奇函数f（x）满足条件：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；（2）在区间（0，1]上递减，在区间（1，+∞）上递增，则f（x）的解析式为 （只需写出你认为正确的一个函数解析式即可）.
解析：f（x）=x+或f（x）=|lgx|（x>0），
-|lg（-x）|（x
3. 关于x的函数f（x）=sin（x+θ），有以下命题：
①对任意的θ，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在θ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在θ，使f（x）是奇函数；
④对任意的θ，f（x）都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是 ，因为当θ= ，该命题的结论不成立.
解析：本题的答案不确定，其中②③是正确的.由于f（x）=sin（x+θ）不可能恒为零，因而f（x）不可能既是奇函数，又是偶函数；当θ=0时，f（x）是奇函数.①④是假命题，当θ=2kπ+或θ=2kπ+（k∈Z）时，f（x）=cosx或f（x）=-cosx为偶函数，当θ=kπ（k∈Z）时，f（x）=sinx或f（x）=-sinx为奇函数.
故可填上： ①， kπ（k∈Z）； 或①， 2kπ+（k∈Z）； 或①， 2kπ+（k∈Z）；或④，2kπ+（k∈Z）；或④，2kπ+（k∈Z）等.
4. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，-
（1） ； （2） .
解析：由于④的等价命题不易转换，因此我们主要考虑①②③两两组合. 其中①?f（x）在x=时取得最大值或最小值；②?f（）=0；③?ω=2. 由①③?f（x）=sin（2x+）?②④；由②③?f（x）=sin（2x+）?①④；由①②?f（x）=sin（2x+）或f（x）=sin6x等推不出③④.
故其答案为：（1）①③?②④；（2）②③?①④.
5. 直线a，b与异面直线c，d都相交，那么还必须添加条件 ，才能保证a，b为异面直线.
解析：通过实验（搭模型），知若a，b与c，d共有4个交点（或a，b，c不共面，或a，b，d不共面），则a，b必为异面直线.
6. 命题：“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，在平面几何中成立，而在立体几何中不成立.请你再写出三个类似的命题： .
解析：命题（1）：到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；
命题（2）：有三个角都是直角的四边形是矩形；
命题（3）：过一点作一条直线的垂线，有且仅有一条.
【复习要略】
对于开放、探究性问题，我们在复习时注意以下几点：
1. 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.
2. 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.
3. 条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
中图分类号： G630文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）07-0110-02
探索性思维是指：对未知问题或规律寻求认识和解决的思维活动，是一个多环节，多层次的思维体系。人类社会的发展需大量具有创造能力，勇于探索创新的人才。素质教育发展到今天，数学教学的主要任务已不再是简单的知识传授和方法指导，而是以知识为载体，通过课堂互动来培养学生的各种能力，特别是探索性思维的能力。本文以初中数学课堂教学实践为例，谈培养学生探索性思维能力的体会。
一、利用课本原型知识，从暴露知识的发生，发展形成过程，培养学生探索性思维
教科书是学生学习知识，获取经验的主要渠道，在编排体系上，以教育理论为依据，遵循学生的认识规律。特别是数学定理的教学，教师应抓住原型知识的发生，发展形成过程，创设情境，为学生的思维加梯、搭桥，从而培养学生的探索性思维。
例：在三角形内角和定理证明的教学中。（指导学生完成命题证明的前三步骤：1.根据命题含义画图；2.写出已知项；3.写出求证项）
命题：三角形三个角的和为180°。
已知：如图Ⅰ―1，ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
学生在初接触定理证明时，极易产生如下疑问。
疑问一：三个并不知大小的角的度数和怎能恰好为180°
疑问二：三角形形状的任意性，并不能体现出三角的特殊位置而决定度数和。
疑问三：三角形三内角和为180°，以前是在实验中，通过撕纸拼图体会结论，无法符号化逻辑推理。
教师如何引导学生思索，寻求解决疑问的方法，这是教学的关键。
引导学生思考：已学过哪些几何知识，能产生180°的角的关系？
分析一：一个平角为180°。
分析二：两直线平行，同旁内角互补。
这样学生的思维自然就将三角形的三个角转化成①一个平角、②平行直线中的同旁内角上来了。当图形结构不符合条件要求时，也就顺理成章的出现添加辅助线，让学生的思维不断深入探索。
如图Ⅰ-2、3中通过辅助线将三个角转移到三角形的某一顶点处；
图Ⅰ-4、5、6中通过平行将三个角转移到三角形的某一边上、三角形内任一点处、三角形外任一点处。方法的多种形式紧紧抓住了“把三个角搬到一起，让三个顶点重合，两边形成一条直线。”暴露的是“平角为180°”的这一原型知识。
而（图Ⅰ-7）中将三角形的三个角经过平行转化成平行直线中的同旁内角。暴露的是“两直线平行，同旁内角互补。”的这一原型知识。通过上述灵活多变的形式分析，引导学生抓住课本“原型知识”不变之根本，充分联系新旧知识间关系，化解难易知识间矛盾，在发生、发展中探索解决问题的方法，培养了学生的能力。
二、引申演变例、习题，在听讲、练习中培养学生的探索性思维
课本例、习题具有一定的典型性、示范性，教学中正确引导学生对典型例、习题展开探索，适当的引申、拓展，一方面可激发学生的学习兴趣，另一方面也可探索出一些新的结论，新的解决问题的思想方法，从而逐步培养学生的探索性思维。
例：已知：如图Ⅱ-1，AD是ABC的高，AE是ABC的外接圆直径。求证：AB・AC=AE・AD
此题为初中几何考察学生双基，逻辑思维的典型例题，它的引申、演变对学生掌握几何知识的综合应用及思维发展有较好的帮助。
引申分析：
1.连结BE，直径所对圆周角为90°，构造两Rt相似。
2.解证此题的基本思想方法是什么？（构造相似三角形，对应边成比例）
3.指出重要知识点，叙述证明的重要步骤。
学生对此题思想、解法了然于胸后，教师顺势进行演变、变式。
演变变式（1）：如图Ⅱ-2，圆内接ABC中AB=AC，D是BC边上任一点，E是直线AD和外接圆的交点。求证：AB=AE・AD
解析：连结CE，等弧所对的圆周角相等，构造ACD与AEC相似.
演变变式（2）：如图Ⅱ-3，AE是O的直径，BC是过E点O的切线，若AB、AC与O相交于F、M时。求证：AF・AB=AM・AC
解析：连结FM，由弧度得∠BAE+∠AMF=90°，RtABE得∠B+∠BAE=90°，构造AMF与ABC相似.
演变变式（3）：如图Ⅱ-4，若将图Ⅱ-3中的BC向上平移，使BC与O相交于两点，AB、AC与O相交于F、M。
求证：AF・AB=AM・AC
解析：连结FM，图形变化，思维方法不变。
这一组例题由简单到难，条件逐步变化，在多向探索条件的基础上充分体现的思想方法是：构造相似三角形，对应边成比例来证题。此例题的3种变式，体现出该例题的典型性。原题与变式（1）强调的是条件与结论的探索，变式（2）、变式（3）则是在原题基础上进一步挖掘知识的应用。学生在题目条件不断变化中激发了思维的活跃性，创设出了探索平台，提高了学生学习兴趣。探索性思维得到充分训练。
综上所述，探索是一种重要的思维方法，它可以使我们发现真理和论断。作为教育工作者，把培养学生的探索性思维做为长期潜心研究的课题。本文只是从数学课堂教学中紧抓“课本原型知识”；“利用例、习题的典型性，开放性”，浅谈培养学生的探索性思维。
参考文献：
这类题目的特点是由给定的结论逆求需具备的条件.解答时，我们要注意变换思维角度.
例1已知：如图1，CD是RtABC斜边上的高，∠BAC的角平分线AE交CD于F，G是AB上一动点，试求当AG满足什么条件时，FG∥ BC.
分析：若FG∥ BC，则∠B =∠AGF.由∠ACB=∠BDC = 90O可得∠ACD +∠BCD＝∠B +∠BCD，所以∠ACD =∠B =∠AGF.又因为∠1 =∠2，AF = AF，故ACF≌AGF，于是AG = AC.故 当AG = AC时，FG∥BC.
二、探索结论型
这类题目一般是由给定的已知条件探求相应的结论，它突破了过去那种题设和结论都明确的封闭模式.同学们须具有较强的综合分析的能力和归纳推理的能力，才能轻松解决此类问题.
例2 如图2，BE和CF是ABC的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截取CG = AB，探究AG与AD之间的关系，并证明.
分析：由题设知∠1 +∠BAE = 90O，∠2 +∠BAE = 90O，所以∠1=∠2. 又因为BD = AC，CG = AB，故ABD≌ACG. 则有AD = AG，∠3 =∠G.由∠4 +∠G=90O得∠3 +∠4 = 90O，即AGAD，所以AG与AD之间是垂直且相等的关系.
三、探索开放型
此类题目的条件和结论都不明确，答案多样，具有开放性，不仅检测了同学们对基本数学思想方法的掌握程度，还考查了同学们的创新意识.
例3如图3，D、E分别是AB、AC上的点，有下列三个论断：①AB = AC；②∠B =∠C； ③BD = CE.请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写一个正确的命题并说明理由.
分析：本题的答案较多，如选择①②可推出③.
如图3，AB = AC，∠B =∠C，求证 BD = CE.理由如下：由已知及隐含条件公共角∠A，可得BAE ≌CAD ，所以AD = AE，于是ABAD = ACAE，故BD = CE.
四、探索存在型
此类题目要求同学们准确把握问题的方向，再经过严密的逻辑推理，对“是否存在”作出正确的判断.一般的解题思路是：假设“存在”――演绎推理――得出结论（合理，则存在；矛盾，则不存在）.
例4 如图4，ABC中，∠C=90O， AC= BC，AD是∠CAB的角平分线，问能否在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长？请说明理由.
分析：过D作DE AB于E，只需证E点为所求即可.由∠1=∠2， ∠C =∠DEA = 90O，AD = AD，可得ACD≌AED. 则有AC = AE，DC = DE，于是DE + BD + BE = CD + BD + BE = BC + BE = AE + BE = AB.故能在AB上找到一点E，使BDE的周长等于AB的长.
五、探索变换型
这类题目的特点是图形不断进行演变，要求同学们能够探索变化前后的图形的结构特征，并合理地猜想，严谨地论证.
例5 已知：如图5，在ABC中，∠BAC=90O，AB = AC，AE是过A点的一条直线，BDAE于D，CE AE于E.
（1）求证：DE = BD + CE；
（2）若直线AE绕A点旋转到图6的位置时，其余条件不变，问DE与BD、CE的关系如何？请将图形画完整并给予证明.
分析：（1）在图5中，因为∠1 +∠2 =90 O，∠2 +∠3 = 90O，所以∠1=∠3.又∠BDA =∠AEC = 90O，AB = AC，故ADB≌CEA.则有BD = AE，CE = DA，故DE = DA + AE = CE + BD.
（2）在图6中，用与（1）类似的方法可得到DE = BDCE.有兴趣的同学可以证一证.
练习：
1.如图7，AD是∠BAC的角平分线，DE AB，DFAC，垂足分别是E、F， 连接EF. 探究EF与AD之间的关系，并证明你的结论.
2.如图8，在四边形ABCD中，AB = AD，AC平分∠BCD，AEBC于E，AF CD于F. 判断图中有无与ABE全等的三角形，并说明理由.
八年级上册数学教案人教版《矩形》教案
教学目标：
知识与技能目标：
1.掌握矩形的概念、性质和判别条件。
2.提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力。
过程与方法目标：
1.经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法。
2.知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想。
情感与态度目标：
1.在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神。
2.通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美。
教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握。
教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用。
教学方法：分析启发法
教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件。
教学过程设计：
一、情境导入：
演示平行四边形活动框架，引入课题。
二、讲授新课：
1.归纳矩形的定义：
问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形?(学生思考、回答。)
结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。
2.探究矩形的性质：
(1)问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质?(学生思考、回答.)
结论：矩形的四个角都是直角。
(2)探索矩形对角线的性质：
让学生进行如下操作后，思考以下问题：(幻灯片展示)
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的?
②当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系?当∠α是钝角时呢?
③当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系?
(学生操作，思考、交流、归纳。)
结论：矩形的两条对角线相等.
(3)议一议：(展示问题，引导学生讨论解决)
①矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?如果不是，简述你的理由.
②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗?
(4)归纳矩形的性质：(引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”)
矩形的对边平行且相等;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等且互相平分;矩形是轴对称图形.
例解：(性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能)
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=OA=4
厘米，求BD与AD的长。
(引导学生分析、解答)
探索矩形的判别条件：(由修理桌子引出)
(5)想一想：(学生讨论、交流、共同学习)
对角线相等的平行四边形是怎样的四边形?为什么?
结论：对角线相等的平行四边形是矩形.
(理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.)
(6)归纳矩形的判别方法：(引导学生归纳)
有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
三、课堂练习：(出示P98随堂练习题，学生思考、解答。)
四、新课小结：
通过本节课的学习，你有什么收获?
(师生共同从知识与思想方法两方面小结。)
五、作业设计：P99习题4.6第1、2、3题。
板书设计:
1.矩形
矩形的定义：
矩形的性质：
前面知识的小系统图示：
2.矩形的判别条件：
例1
课后反思：在平行四边形及菱形的教学后。学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证一些矩形的特殊性质。一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决。总的看来这节课学生掌握的还不错。当然合情推理的能力要慢慢的熟练。不可能一下就掌握熟练。
八年级上册数学教案人教版《梯形》教案
教学目标：
情意目标：培养学生团结协作的精神，体验探究成功的乐趣。
能力目标：能利用等腰梯形的性质解简单的几何计算、证明题;培养学生探究问题、自主学习的能力。
认知目标：了解梯形的概念及其分类;掌握等腰梯形的性质。
教学重点、难点
重点：等腰梯形性质的探索;
难点：梯形中辅助线的添加。
教学课件：PowerPoint演示文稿
教学方法：启发法、
学习方法：讨论法、合作法、练习法
教学过程：
(一)导入
1、出示图片，说出每辆汽车车窗形状(投影)
2、板书课题：5梯形
3、练习：下列图形中哪些图形是梯形?(投影)
4、总结梯形概念：一组对边平行另以组对边不平行的四边形是梯形。
5、指出图形中各部位的名称：上底、下底、腰、高、对角线。
(投影)
6、特殊梯形的.分类：(投影)
(二)等腰梯形性质的探究
【探究性质一】
思考：在等腰梯形中，如果将一腰AB沿AD的方向平移到DE的位置，那么所得的DEC是怎样的三角形?(投影)
猜想：由此你能得到等腰梯形的内角有什么样的性质?(学生操作、讨论、作答)
如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。求证：∠B=∠C
想一想：等腰梯形ABCD中，∠A与∠D是否相等?为什么?
等腰梯形性质：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。
【操练】
(1)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60o，BC=10cm，AD=4cm，则腰AB=cm。(投影)
(2)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，CA平分∠BCD，求证：∠B=2∠E.(投影)
【探究性质二】
如果连接等腰梯形的两条对角线，图中有哪几对全等三角形?哪些线段相等?(学生操作、讨论、作答)
如上图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，求证：AC=BD。(投影)
等腰梯形性质：等腰梯形的两条对角线相等。
【探究性质三】
问题一：延长等腰梯形的两腰，哪些三角形是轴对称图形?为什么?对称轴呢?(学生操作、作答)
问题二：等腰梯是否轴对称图形?为什么?对称轴是什么?(重点讨论)
等腰梯形性质：同以底上的两个内角相等，对角线相等
(三)质疑反思、小结
让学生回顾本课教学内容，并提出尚存问题;
学生小结，教师视具体情况给予提示：性质(从边、角、对角线、对称性等角度总结)、解题方法(化梯形问题为三角形及平行四边形问题)、梯形中辅助线的添加方法。
人教版八年级上册数学教案《因式分解》教案
教学目标:
1、理解运用平方差公式分解因式的方法。
2、掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。
3、进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。
教学重点:
运用平方差公式分解因式。
教学难点:
高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。
教学案例:
我们数学组的观课议课主题:
1、关注学生的合作交流
2、如何使学困生能积极参与课堂交流。
在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示:
1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述?把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述?
2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗?若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么?
①-x2+y2②-x2-y2③4-9x2
④(x+y)2-(x-y)2⑤a4-b4
3、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么?
4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解吗?
5、试总结因式分解的步骤是什么?
师巡回指导，生自主探究后交流合作。
生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。
生展示自学成果。
生1:-x2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+x)(y-x)
生2:-x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)
师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。
生3:4-9x2也能用平方差公式分解，可分解为(2+9x)(2-9x)
生4:不对，应分解为(2+3x)(2-3x)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。
生5:a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2)
生6:不对，a2-b2还能继续分解为a+b)(a-b)
师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。……
反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的'条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生练习很少，作业有很大一部分同学不能独立完成，反思这节课主要有以下几个问题:
(1)我在备课时，过高估计了学生的能力，问题2中的③、④、⑤多数学生刚预习后不能熟练解答，导致在小组交流时，多数学生都在交流这几题该怎样分解，耽误了宝贵的时间，也分散了学生的注意力，导致难点、重点不突出，若能把问题2改为:
下列多项式能用平方差公式因式分解吗?为什么?可能效果会更好。
(2)教师备课时，要考虑学生的知识层次，能力水平，真正把学生放在第一位，要考虑学生的接受能力，安排习题要循序渐进，切莫过于心急，过分追求课堂容量、习题类型全等等，例如在问题2的设计时可写一些简单的，像④、⑤可到练习时再出现，发现问题后再强调、归纳，效果也可能会更好。
